動中取定

一、案例背景分析

1.二次函數在閉區間上的最值問題是高考中重點考查的內容，因此這塊內容的學習顯得尤為重要。

2.二次函數，作為非常重要的基本函數，當它引入參數后，其內容千姿百態、豐富多彩，是倡導學生自主探索、動手實踐、合作交流的良好題材，有助于發揮學生的主動性，使學生的學習過程成為教師引導下的“再創造”過程。

3.數學中的動態問題是令學生頭痛的問題中的一類。怎樣使得處理慣了靜態問題的學生也能自如地處理動態問題?教師可利用幾何畫板，歸納出解題的要領，體會“轉化”思想，將“動”化“靜”。

4.數形結合和分類討論思想是數學最基本的思想方法，滲透于高中教學的全過程，但卻是學生不易接受的內容。在幾何畫板的幫助下，教師可以讓學生經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、抽象概括、運算求解、演繹證明、反思與構建等思維過程，這些過程是數學思維能力的具體體現，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數學模式進行思考和做出判斷。

基于以上的背景，我決定利用幾何畫板為工具，以二次函數為主要研究內容，利用單調性探究其最值，并設計了如下教學案例《二次函數在閉區間的最值問題》。

二、教學案例設計

(一)三維目標定向

【知識與技能】使學生進一步掌握二次函數在閉區間求最值及含參數的二次函數在閉區間求最值問題的解法。

【過程與方法】借助幾何畫板，體會圖像在解決函數有關問題中的重要作用，提高應用知識解決問題的能力。

【情感、態度與價值觀】體會數形結合、分類討論和動靜轉化思想的應用，培養學生的邏輯思維能力，以及合作與交流的能力。

(二)重點難點

【重點】利用數形結合的方法求解二次函數在閉區間上的最值問題。

【難點】對參數的討論及整體把握。

(三)教學過程設計

1.引例

求函數y=x-x+1在區間[-1，1]上的最值。

拓展思考:那你們會求函數y=-x-x+1的最值嗎?那函數y=sinx-sinx+1呢?那函數y=lgx-lgx+1呢?

歸納性思考:那二次函數在閉區間上的最值取決哪幾個方面?(學生回答，并相互補充。)

(1)開口方向;(2)對稱軸;(3)閉區間與對稱軸的關系。

即:二次函數在閉區間上的最值與其單調性有關系，而并非簡單地計算左右端點值。

2.學生探究

探究(1):求函數f(x)=x+3x-5在閉區間[t，t+1]的最小值h(t)的表達式。

求解策略:

問題1:這個問題與引例有什么異同?

生答:①所討論的問題相同:都是求二次函數在閉區間上的最值;②二次函數確定，即開口方向、對稱軸、頂點坐標都已知;③閉區間不確定，與對稱軸有關系。

問題2:借助幾何畫板給出的圖形，根據已有解決此類問題的經驗(引例)，討論應如何解決這個問題。

經過激烈的討論后，生甲總結答道:引例可看作是這類問題中的靜態問題，即定區間定拋物線的最值問題。我們已經總結過:只要緊抓開口方向、對稱軸和閉區間與對稱軸間的關系即可順利解決定區間定軸的最值問題。而探究1是最值問題中的動態問題。現在面臨的問題是弄清楚閉區間[t，t+1]與對稱軸間可能存在的關系即可。

問題3:你們能自己畫圖說明它們之間可能存在哪幾種關系嗎?并且解決這個題目嗎?

這個問題學生獨自探究，總結后作答。

生乙:最好的方法是作好拋物線的圖像，將閉區間[t，t+1]看成是在數軸上變動的量，觀察易得，大致有三種關系:

配方得，f(x)=(x+)-。

①當t+1≤-時，即t≤-時，函數在[t，t+1]上是單調遞減，所以當x=t+1時，函數有最小值h(t)=f(t+1)=t+5t-1;

②當t<-，函數有最小值h(t)=f(-)=-;

③當t≥-時，函數在[t，t+1]上是單調遞增，所以當x=t時，函數有最小值h(t)=f(t)=t+3t-5。

綜上所述，h(t)=t+5t-1(t≤-)-(-

探究(2):求函數f(x)=x+2ax+2在閉區間[-5，5]的最值。

求解策略:

問題:類比(1)的研究方法，探究問題(2)的求解方法。(課件演示輔助思考)

采取小組討論，派代表總結發言的方式。

3.案例拓展

(1)問題1:根據本節課的收獲，你能自己命一道二次函數在閉區間上的最值的題目嗎?并且解答它。

生甲:求函數f(x)=2x+3x-5在閉區間[t，t+1]的最值。

師:很好。那也就是說你應該可以求解這一類形如f(x)=ax+bx+c(a>0)的函數在閉區間[t，t+1]的最值的問題了。收獲頗豐。

生乙:求函數f(x)=-x+3x-5在閉區間[t，t+1]的最大值。

師:你和生甲的問題是一類嗎?有什么不同嗎?

生乙:不同。這兩類函數的開口方向是不一樣的。開口方向對函數的最值也是有影響的。

師:非常好。你已經從歸納的層面上升到變式了，可以注意到其他條件的改變對解法的影響。能做到這一點很不容易。(此時班級中的氣氛異常活躍)

生丙:求函數f(x)=-x+2ax+2在閉區間[-1，2]的最值。

師:不錯，可以借鑒別人的好的想法。

生丁:求函數f(x)=sinx+2asinx+2在閉區間[-5，5]的最值。

師:這個可以嗎?你可以求解嗎?

生丁:這個函數可以利用換元法將其轉化為二次函數，解法與探究(2)的類似。

師:能想到這一點，我真的是激動無比啊，出得太好了，那就把它留做作業吧。

(2)問題2:在同學們踴躍思考的同時，老師也出了一道題目，不知道符合上述要求嗎?你們能替我解決嗎?題目為:設函數y=sinx+acosx-a-的最大值為1，求實數a的值。

三、案例分析與反思

(一)從失敗中成長

本案例經過實驗—失敗—反思、討論—重新整合這樣幾個過程，首先，我在此之前已經上過一節課，但效果不盡如人意。在第一次的教學中，我主要通過讓學生抓住“三點一軸”的位置關系，然后進行拓展(其中三點指的是區間的兩個端點和區間中點，一軸指的是對稱軸。)。這個問題的講解的過程中用到的數學思想方法包括數形結合思想、分類討論思想及歸納、總結思想。學生對用這種方法學習二次函數在閉區間上的最值問題掌握的效果較好。

在那節課的教學中，我雖然能夠把基本概念講清楚，能夠突出重點，突破難點，但仍感覺存在很多問題。

第一，如何充分調動學生的學習興趣，提高學生在課堂45分鐘的學習效率。數學是條理性較強的學科，如何讓學生學并快樂著，以提高學生的學習興趣，促使學生變“要我學為我要學”就顯得猶為重要。

第二，充分發揮學生學習主體的力度還不夠，學生不能適應改變。雖然本堂課的講解已經比較到位，但稍稍改變題型，學生仍會感到有難度。

第三，在教學中，如何才能做到“授人以漁”?值得深思。即我們培養的是有能力的學生，還是能解題的學生?如何才能培養學生的能力呢?

(二)在學習中進步

帶著問題與困惑，聽了一位同事的公開課，與資深的教師探討了本節課的教學，茅塞頓開，得到了很多解決二次函數在閉區間上最值問題的方法和理解。

(三)在嘗試中進步

1.把課堂還給學生

每一個學生都有豐富的知識體驗和生活積累，每一個學生都會有各自的思維方式和解決問題的策略。而我對他們的能力經常低估，在以往的上課過程中，總喋喋不休，生怕講漏了什么，一堂課下來，學生收獲甚微。本堂課，我賦予學生較多的思考和交流的機會，試著讓學生成為數學學習的主人，我自己充當了一回數學學習的組織者，沒想到取得了意想不到的效果。學生不但掌握了二次函數在閉區間上的最值問題，而且能自編自解這類題目，也注意到開口方向對此類題目解答的影響。

2.適當地使用現代教育技術輔助教學

函數的圖像是教學的重點，大部分性質可經歷直觀感知而得，但卻是學生學習的障礙，尤其是引進參數后，由于圖像或區間的變化，需對其進行分類討論，學生因其過于抽象而難以理解，本案例充分利用幾何畫板的強大的作圖功能，讓圖像或區間動起來，直觀地展示參數對圖像的影響情況，實現信息技術與課程內容的有機整合。

3.在課堂中進行有效的設問

教育學家陶行知先生對于“設問”曾有詩云:“發明千千萬，起點是一問。智者問得巧，愚者問得笨。人力勝天工，只在每事問……”他對“設問”的作用、藝術進行了總結，賦予了生動有趣的概括。審視我們的數學課堂，往往是以設問開始的，以向學生提供有現實背景的問題，并以“搭梯子”式的問題鏈指導學生的自主探究。“設問”也是教師作為“組織者、引導者與合作者”的重要體現。

在本案例的引例中，我通過拓展思考將二次函數在閉區間的最值問題深化到可轉化為二次函數在閉區間的最值問題，使學生的思維得以擴展和發散。

又如，在本案例的案例拓展中，我通過讓學生自編自解題目，讓學生不僅掌握了探究中兩個問題(即定軸動區間和定區間動軸的最值問題)的解法，而且引申出很多有價值的問題:開口方向對最值的影響;增加參數，通過換元法可轉化為二次函數求最值的。借著學生們學習熱情高漲，我又提出了問題:設函數y=sinx+acosx-a-的最大值為1，求實數a的值。這個問題不僅開闊了學生的眼界，而且引出了最值問題中的另一種題型:已知最值，求參數的值。這個問題的拋出，使得這節課不因下課鈴聲而結束，而是另一種意義上的開始。

在整個一節課上，基本上是學生講為主，教師講為輔。一些較為困難的問題，我也鼓勵學生大膽思考，積極嘗試，不怕困難，一個人完不成、講不透，第二個人、第三個人補充，直到完成整個例題。這樣上課氣氛非常活躍，學生之間常會因為某個觀點的不同而爭論。這就給教師提出了更高的要求，一方面要控制好整節課的節奏，另一方面要察言觀色，適時地對某些觀點作出判斷，或與學生一同討論。題是無窮盡而且活的，只有學生主動探索，才能真正地理解，鞏固知識點，從而運用知識點，即真正知其所以然。今后，我將不斷嘗試，不斷完善自身，使學生的討論和思考更有意義，更有活力。