小波分析用于信號(hào)消噪處理淺析

摘 要: 本文作者通過(guò)對(duì)多尺度下小波變換系數(shù)及模極大值的分析發(fā)現(xiàn)，在實(shí)際工程中，有用信號(hào)通常表現(xiàn)為低頻部分或者是一些比較平穩(wěn)的信號(hào)，所以可以對(duì)已經(jīng)被噪聲污染的信號(hào)進(jìn)行小波分解，對(duì)分解后的小波系數(shù)使用門(mén)限閾值處理，以達(dá)到消噪目的，仿真結(jié)果表明，這一方法有其有效性與可行性。

關(guān)鍵詞: 信號(hào)消噪處理 小波分析 小波系數(shù)閾值量化

1.引言

實(shí)際采集的信號(hào)中常常包含有噪聲，只有作消噪處理，才能有效地表現(xiàn)信號(hào)中的有用信息，常規(guī)的信號(hào)消噪處理可以采用傅立葉分析方法，但是傅立葉分析有著其自身的缺陷，即使是加窗傅立葉分析也因?yàn)槠浞直媛蕟我欢沟闷湓诤芏嗟膱?chǎng)合的應(yīng)用受到限制。我采用一種基于小波分析方法的降噪處理方法，可以使得消噪處理效果有很好的提高。

小波變換是一種把時(shí)間和頻率結(jié)合起來(lái)的時(shí)頻分析方法，D.L.Dohono在小波變換的基礎(chǔ)上提出了小波軟、硬閾值消噪法，此方法簡(jiǎn)單有效，得到了廣泛的重視和研究。小波閾值去噪根據(jù)噪聲通常表現(xiàn)為高頻信號(hào)的特性，對(duì)小波分解的高頻系數(shù)進(jìn)行門(mén)限閾值處理，達(dá)到去噪的目的。小波包分解是小波分析的進(jìn)一步推廣，它對(duì)小波分析沒(méi)有細(xì)分的高頻進(jìn)一步分解，因此可以將高頻噪聲和高頻信號(hào)區(qū)分開(kāi)來(lái)，從而獲得更為理想的去噪效果。由于通常采用的硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性，以及軟閾值函數(shù)中估計(jì)小波系數(shù)與帶噪信號(hào)的小波系數(shù)之間存在著恒定的偏差的缺陷。

2.小波分析原理[1]

小波分析方法是一種窗口面積大小固定，但其形狀可改變，時(shí)間窗和頻率窗都可改變的時(shí)頻局部分析方法，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，正是這種特性，使小波變換具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性。

定義:設(shè)ψ(t)∈L(R)，其傅立葉變換為()，當(dāng)(ω)滿(mǎn)足允許條件(完全重構(gòu)條件或恒等分辨條件)C=dω<∞(1.1)時(shí)，我們稱(chēng)ψ(t)為一個(gè)基本小波或母小波[5]。將母函數(shù)ψ(t)經(jīng)伸縮和平移后得ψ(t)=ψ()a，b∈R;a≠0 (1.2)稱(chēng)其為一個(gè)小波序列。其中a為伸縮因子，b為平移因子。對(duì)于任意的函數(shù)f(t)∈L(R)的連續(xù)小波變換為W(a，b)==|a|f(t)dt(1.3)。

其重構(gòu)公式(逆變換)為:

f(t)=?蘩?蘩W(a，b)ψ()dadb(1.4)。

基小波ψ(t)生成的小波ψ(t)在小波變換中對(duì)被分析的信號(hào)起著觀測(cè)窗的作用。

3.基于小波分析的信號(hào)消噪

3.1小波分析消噪原理

小波包分析是在小波分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，它們之間既相互聯(lián)系又有所區(qū)別。小波分析只將V(尺度空間)進(jìn)行分解，而沒(méi)有對(duì)W(小波)空間進(jìn)行分解。同時(shí)，由于信號(hào)小波分析的空間分辨率和頻譜分辨率受Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理的制約，使得高頻段的頻率分辨率變差，從而使小波分析的應(yīng)用受到一定限制。然而，小波包分析不僅對(duì)V空間進(jìn)行分解，而且對(duì)W空間進(jìn)行分解，從而實(shí)現(xiàn)更高頻段的頻率分解，是信號(hào)分析的一種更加精細(xì)的頻率分析方法。圖1(a)、(b)分別是對(duì)信號(hào)作4層小波分解和小波包分解的結(jié)構(gòu)示意圖。

把這一部分的ω保留下來(lái)(硬閾值方法)或者按某一個(gè)固定量向零收縮(軟閾值方法);當(dāng)時(shí)|ω|<λ時(shí)，此時(shí)的ω主要是由噪聲引起的，予以舍棄。小波包系數(shù)經(jīng)閾值化處理后得到新的小波包系數(shù)，然后用進(jìn)行小波包重構(gòu)，再根據(jù)重構(gòu)的小波包得到降噪后的信號(hào)。

3.2小波包信號(hào)降噪的步驟[1]

對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪處理是小波包分析的一項(xiàng)最基本的功能。具體的操作步驟如下。

3.2.1信號(hào)小波包分解。選擇一個(gè)小波并確定所需分解的層次，然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波包分解。

3.2.2確定最優(yōu)小波包基。對(duì)于一個(gè)給定的熵標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算最優(yōu)樹(shù)(這一步不是必需的步驟，可根據(jù)不同的目的進(jìn)行有選擇性的使用)。

3.2.3小波包分解系數(shù)的閾值量化。對(duì)于每一個(gè)小波包分解系數(shù)，選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)拈撝挡?duì)系數(shù)進(jìn)行閾值量化。

3.2.4信號(hào)的小波包重構(gòu)。根據(jù)最低層的低頻小波包分解系數(shù)(一般不做閾值化處理)和經(jīng)過(guò)閾值量化處理的高頻小波包系數(shù)，進(jìn)行小波包重構(gòu)。

3.3小波分析消噪方法

實(shí)際工程采集的信號(hào)常含有白噪聲，而有用信號(hào)通常表現(xiàn)為低頻信號(hào)或者一些比較平穩(wěn)的信號(hào)，而噪聲通常表現(xiàn)為高頻噪聲，對(duì)含有噪聲的有用信號(hào)作小波分解。噪聲主要表現(xiàn)在各個(gè)尺度的信號(hào)中的高頻信號(hào)部分。

根據(jù)以上分析，有兩種方法可以達(dá)到消噪目的[7]。

一種是把小波分解結(jié)構(gòu)中高頻系數(shù)全部變?yōu)?，即把各個(gè)尺度的高頻分量全部濾掉，然后在對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，這種方法比較簡(jiǎn)單，重構(gòu)后的信號(hào)比較平滑，但容易丟失原來(lái)信號(hào)中的有用成分。

另一種是門(mén)限消噪處理辦法[4]，對(duì)信號(hào)小波分解中的高頻系數(shù)用門(mén)限值來(lái)處理，即大于門(mén)限閾值的部分保留，低于門(mén)限閾值的部分的系數(shù)變?yōu)?，這符合噪聲在高頻部分均勻密集的特點(diǎn)，對(duì)其他各尺度的高頻系數(shù)改變門(mén)限閾值，隨著分解層數(shù)的增多，門(mén)限值可按2倍減小[8]，然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)即可達(dá)到消噪的目的，這種門(mén)限閾值消噪處理方法往往符合實(shí)際要求。

閾值的選擇分硬閾值和軟閾值兩種處理方式。軟閾值處理即把信號(hào)的絕對(duì)值與閾值進(jìn)行比較，當(dāng)數(shù)據(jù)的絕對(duì)值小于或等于閾值時(shí)，令其為零，大于閾值的數(shù)據(jù)點(diǎn)則向零收縮，變?yōu)樵擖c(diǎn)值與閾值之差;對(duì)于硬閾值處理，是把信號(hào)的絕對(duì)值與閾值進(jìn)行比較，小于或等于閾值的點(diǎn)變?yōu)榱悖笥陂撝档狞c(diǎn)不變。

硬閾值法:=W，|W|≥λ0，|W|<λ。

軟閾值法:=sgn(W)(|W|-λ)，|W|≥λ0，|W|<λ。

硬閾值方法中，在W=λ處是不連續(xù)的，這就給重構(gòu)信號(hào)帶來(lái)振蕩;而軟閾值方法計(jì)算出的，雖然整體連續(xù)性好，但是與含噪信號(hào)的小波系數(shù)之間存在恒定的偏差，重構(gòu)信號(hào)顯得過(guò)于光滑，精度有所下降。

從圖2、3中可以看出，用小波進(jìn)行信號(hào)消噪可以很好地保存信號(hào)的尖峰和突變部分，而用傅立葉分析進(jìn)行濾波時(shí)，由于信號(hào)集中在低頻部分，噪聲分布在高頻部分，因此用低通濾波器進(jìn)行濾波。但是，它不能將有用信號(hào)的高頻部分跟噪聲的高頻部分有效區(qū)分。因此，若低通濾波器太窄，則將一部分有用信號(hào)當(dāng)作噪聲而濾掉了，若低通濾波器太寬，在濾波后信號(hào)中仍存在大量的噪聲。采用的小波是db1小波，分解層數(shù)為4層，閾值λ采用變尺度的σ(2logN)/log(j+i)，其中j為分解尺度，N為信號(hào)長(zhǎng)度，噪聲方差σ總是不可知的，降噪處理時(shí)可以取σ=median(|ω|)/0.6745[9]。從上圖的實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果可以看出小波分析對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)消噪有著傅立葉分析不可比擬的優(yōu)點(diǎn)。

4.結(jié)語(yǔ)

本文分析了待處理信號(hào)的特征，指出小波分析用于信號(hào)消噪可以擺脫傅立葉分析所帶來(lái)的局限性，通過(guò)使用軟閾值進(jìn)行小波系數(shù)閾值量化，然后進(jìn)行消噪處理，該方法能有效消除信號(hào)中的干擾。

參考文獻(xiàn):

[1]飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心.小波分析理論與MATLAB7實(shí)現(xiàn)[M].電子工業(yè)出版社，2005.

[2]Donoho D L，Johnstone I M.Ideal Spatial Adaptation Via Wavelet shrinkage[J].Biometrika，1994，81，(12):425-455.

[3]Donoho D L.De-noising by Soft-thresholding[J].IEEE Trans on IT，1995，41，(3):613-627.

[4]Donoho D L，Johnstone I M.Adapting to Unknown Smoothness Via Wavelet Shrinkage[J].Journal of American Stat Assoc，1995，12，(90):1200-1224.

[5]葉裕雷，戴文戰(zhàn).一種基于新閾值函數(shù)的小波信號(hào)去噪方法[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2006，(7).

[6]周偉.MATLAB小波分析高級(jí)技術(shù)[M].西安電子科技大學(xué)出版社.

[7]張維強(qiáng)，宋國(guó)鄉(xiāng).基于一種新的閾值函數(shù)的小波域信號(hào)去噪.西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)[J].自然科學(xué)版，2004，(4).

[8]謝杰成，張大力，徐文力.小波圖像去噪綜述[J].中國(guó)圖像圖形學(xué)報(bào)，2002，7，(3):209-217.