如何確定函數(shù)問題中參數(shù)的范圍

函數(shù)歷來是高考的熱點(diǎn)問題，而這些問題中往往含有參數(shù)，從而增加了題目的難度和靈活性，解決此類問題的關(guān)鍵是分析出參數(shù)的變化是如何影響函數(shù)的。

1.引入新的參數(shù)，利用參數(shù)方程求解。

例1.已知函數(shù)f(x)=x-(2a+1)x+a-1的圖像與x軸的負(fù)半軸恒有交點(diǎn)，求a的取值范圍。

解:由題意可知方程x-(2a+1)x+a-1=0恒有負(fù)解，對(duì)方程進(jìn)行變形得:(x-a)=1+x(x<0)。設(shè)t=x-a，得到x=t-1，其中-1

因此a的取值范圍為[-，1)。

點(diǎn)評(píng):此題是引入新的參數(shù)，將自變量和參數(shù)用新的變量表示，根據(jù)已知條件求出新的參數(shù)的范圍，從而求出原來參數(shù)的范圍。

2.分離參數(shù)，將自變量和參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

例2.已知函數(shù)f(x)=x+tx-2對(duì)于任意t∈[-1，1]是恒負(fù)的，求x的取值范圍。

解:把函數(shù)f(x)看成關(guān)于t的函數(shù)。

設(shè)g(t)=x+tx-2=xt+(x-2)。

由題意設(shè)g(-1)=x(-1)+(x-2)≥0g(1)=x·1+(x-2)≥0

?圯x≥2或x≤-2

點(diǎn)評(píng):此類問題由于常見的思維定勢(shì)，學(xué)生易把它看成關(guān)于x的函數(shù)討論，但處理起來比較麻煩，而變換一個(gè)角度以t為變量，就可轉(zhuǎn)化為比較容易處理的形式。

3.對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，找準(zhǔn)參數(shù)的量變點(diǎn)和結(jié)果的質(zhì)變點(diǎn)。

例3.若函數(shù)f(x)=log(x-ax)(a>0且a≠1)在區(qū)間(-，0)內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍。

解:對(duì)a分情況討論，設(shè)g(x)=x-ax，由題意知:當(dāng)a∈(0，1)時(shí)，g(x)在區(qū)間(-，0)上單調(diào)遞減，即g′(x)=3x-a≤0，得a≥。

當(dāng)a∈(1，+∞)時(shí)，g(x)在區(qū)間(-，0)上單調(diào)遞增，即g′(x)=3x-a>0，得a≤0。

綜上可知，a的取值范圍為[，1)。

點(diǎn)評(píng):對(duì)于此類含參數(shù)的問題，應(yīng)結(jié)合參數(shù)在題目中的意義，以及對(duì)結(jié)果的影響而進(jìn)行分類討論，否則可能適得其反，增加解題的難度和復(fù)雜度。

4.等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為不等式或方程問題。

例4.已知f(x)=4x+ax-x(x∈R)在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)。(1)求實(shí)數(shù)的值組成的集合A;(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=2x+x(x∈R)的兩個(gè)非零實(shí)根為x，x，試問是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m+tm+1≥|x-x|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，若存在，求m的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說明理由。

解:(1)f′(x)=4+2ax-2x，由于f(x)在[-1，1]上為增函數(shù)，則f′(x)≥0對(duì)x∈[-1，1]恒成立，即x-ax-2≤0對(duì)x∈[-1，1]恒成立，設(shè)φ(x)=x-ax-2，則有φ(1)=1-a-2≤0，φ(-1)=1+a-2≤0得-1≤a≤1，對(duì)于x∈[-1，1]，只有當(dāng)a=1時(shí)，f′(-1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí)，f′(1)=0，∴A={a|-1≤a≤1}。

(2)略。

點(diǎn)評(píng):根據(jù)已知將函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式或方程，得到含參數(shù)的不等式或方程，把問題轉(zhuǎn)化為解不等式或方程。