求新 求逆 求異

摘 要: 在數學習題教學中，教師應及時啟發、引導學生對課本習題進行深入研究，鼓勵學生從各個方面去類比、聯想、延拓，從中發現一些新的成果，爭取做一題、得一串、收一片，在單向、正向思維的基礎上，有目的、有計劃、有意識地引導學生進行多向、逆向思維，促使學生的思維向多層次、多方位發散，從而有效地培養學生的創新思維能力。

關鍵詞:數學習題教學 創新思維能力 教學實踐

新課標非常關注學生能力的培養，尤其是創新能力的培養。數學課堂教學的大部分內容都是習題教學，因此，在新一輪的教學改革中，數學教師面臨的問題是:怎樣通過習題教學有效地培養學生的創新思維能力?我結合自己的教學實踐談幾點做法，和大家交流。

一、注重引申，拓展創新

課本中的習題都是經過精心篩選的，具有一定的典型性、代表性。教師只要求學生就題解題，收獲不大，充其量不過是解決了一個問題。如果教師注意引導學生對習題加以聯想、延拓，鼓勵學生進行深入研究，爭取做一題、得一串、收一片，就能有效開拓學生的創新思維能力。

例1【蘇科版八上數學P148例2】在彈性限度內，彈簧伸長的長度與所掛物體的質量成正比。(1)已知一根彈簧自身的長度為bcm，且所掛物體的質量每增加1g，彈簧長度增加kcm，試寫出彈簧長度y(cm)與所掛物體質量x(g)之間的函數關系式。(2)已知這根彈簧掛10g物體時的長度為11cm，掛30g物體時的長度為15cm，試確定彈簧長度y(cm)與所掛物體質量x(g)之間的函數關系式。

在本例探究完成后，教師應及時提出原教材中沒有的新問題進行延拓:

①如果這根彈簧最多能掛200g的物體，那么你能說出自變量x的取值范圍嗎?

彈簧的最大長度是多少?你能說出y的取值范圍嗎?

②如果撇開實際意義，只告訴我們“y是x的一次函數，且x=10時，y=11;x=30時，y=15”，那么怎樣確定y與x的函數關系式呢?【由此引入“待定系數法”】

③大家能總結一下這種題型的解題步驟嗎?

這樣及時延拓，既增強了課本習題的活力，又開拓了學生的創新思維能力。

例2【蘇科版八上數學P101T`2】如圖1，在△PAB中，點C，D在邊AB上，PC=PD=CD，∠APB=120°，△APC與△PBD相似嗎?為什么?

分析:由條件易知∠A+∠APC=∠PCD=60°，∠BPD+∠APC=120°-60°=60°，從而∠A=∠BPD，同理∠APC=∠B，故△APC∽△PBD。

解完該題后，教師可引導學生作如下拓展:如果將條件改為“如圖2，在△PAB中，點C，D在邊AB上，PC=PD，∠CPD=30°，∠APB=105°”，上面的結論還成立嗎?若設PC=PD=1，AC=x，BD=y，請你寫出y與x之間的函數關系式。

分析:這里，只是把原題中的“等邊三角形”換成了“頂角為30°的等腰三角形”，學生聯想到原題的解題思路就很容易得到∠A+∠APC=∠PCD=75°，∠BPD+∠APC=105°-30°=75°，從而∠A=∠BPD同理∠APC=∠B，故△APC∽△PBD，再由相似三角形對應邊成比例即可得到y與x之間的函數關系式是y=。

再作進一步拓展，將上面“拓展”中的條件改為:“如圖2，在△PAB中，點C，D在邊AB上，PC=PD，∠CPD=α，∠APB=β”，試探索:當α、β滿足怎樣的關系時，上述函數關系式還成立?

分析:這里，一是把角度由具體度數換成了字母，使問題更具有一般性，二是要求學生從要探索的結論下手作反向思考。由前面的分析易得∠A+∠APC=，∠BPD+∠APC=β-α，要使函數關系式還成立，就須有△APC∽△PBD，從而∠A=∠BPD，故=β-α，即β=。

二、逆向聯想、求逆創新

逆向思維能使學生對問題的本質掌握得更清楚、更深刻，是激發學生創新思維的重要因素。許多數學知識都有可逆的結構，我們在教學中應注意數學定義、定理、公式、法則與方法的逆用，特別是在習題教學中，要有意識地把具有逆反關系的習題放在一起，或引導學生探究習題的逆命題，以促進學生創新思維能力的發展。

例3【蘇科版八上數學P170T11】袋中裝有1個白球、1個藍球、2個紅球，它們除顏色外都相同。若從袋中摸出1個球，然后把它放回袋中并搖勻，再從袋中摸1個球。像這樣有放回地從袋中先后摸球3次，至少有1次摸到紅球的概率是多少?

分析:若按常規思維，畫樹狀圖列出所有等可能的64種結果，再從中找出“至少有1次摸到紅球”的56種結果(需分“只有1次摸到紅球”、“有2次摸到紅球”、“3次摸到的球都是紅球”三種情況討論)，從而得到所求事件的概率是=，這樣雖能求解，但相當復雜。如果采用逆向思維，從“至少有1次摸到紅球”的反面考慮，即先求“沒有1次摸到紅球”的概率P==，再求所求概率P=1-=。這樣，通過逆向思維，簡潔明了地解決了問題。

例4.已知:x=3，x=7，求x的值。

分析:本題逆用同底數冪的運算法則即可。

解:原式=x÷x=(x)÷(x)=3÷7=。

例5.填空:①1、0、-1的立方根分別是?搖?搖?搖?搖。

②一個數的立方根是它本身，這個數是?搖?搖?搖?搖。

分析:這是兩個具有逆反關系的問題，如果分開讓學生做，那么只有少數學生能準確完成第②題。現在把它們放在一起，大多數學生都能感受到②與①的逆反關系而正確地完成第②題。

三、變換角度、求異創新

教師引導學生從不同角度思考問題，能促使學生的思維向多層次、多方位發散，從而提高學生的創新思維能力。

例6【蘇科版九上數學P19】已知:如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，點F在CD上，∠FAE=∠BAE。求證:AF=BC+FC。

證法一:(截長法)如圖1，在AF上截取AG，使AG=AB，連接EG、EF，易證△AGE≌△ABE(SAS)，可得∠AGE=∠B=90°，EG=EB，由于EC=EB，所以EG=EC，故Rt△EGF≌Rt△ECF(HL)，所以FG=FC，從而AF=AG+FG=AB+FC=BC+FC。

證法二:如圖2，延長AB到點H，使AH=AF，連接EH、EF，顯然△AHE≌△AFE(SAS)，可得EH=EF，故Rt△EBH≌Rt△ECF(HL)，所以BH=FC，從而AF=AH=AB+BH=BC+FC。

證法三:(補短法)如圖3，分別延長AE、DC相交于點K，顯然△KCE≌△ABE(ASA)，所以KC=AB，∠K=∠BAE=∠FAE，從而AF=KF=KC+FC=AB+FC=BC+FC。

在數學習題教學中探求一題多解不是目的，不是提供的解法越多越好，重要的是解題后的反思總結，在多解的類比中發現合理的、簡捷的解法，獲得經驗，形成技能，達到培養學生創新思維能力的目的。