關(guān)于數(shù)學(xué)題解題結(jié)果的檢驗(yàn)方法

摘 要: 很多學(xué)生都有題訓(xùn)練了不少，但是解題的正確率沒有提高的感受，本文作者認(rèn)為是因?yàn)槿鄙俦匾臋z驗(yàn)。本文列舉了兩個(gè)檢驗(yàn)的方法，并運(yùn)用于解題過程，希望對(duì)高中學(xué)生提供一點(diǎn)幫助。

關(guān)鍵詞: 解數(shù)學(xué)題 檢驗(yàn) 檢驗(yàn)方法

很多學(xué)生有這樣的感受:書讀了不少，題目解了很多，但是成績(jī)卻沒有很大的進(jìn)步。我認(rèn)為，缺少檢驗(yàn)是一個(gè)原因。在解題完成后，對(duì)解題的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)、總結(jié)、歸納，從中發(fā)現(xiàn)一些新方法，就能夠使解題的技能不斷提高。

一、檢驗(yàn)方法

解題后的檢驗(yàn)，就是要對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行分析，對(duì)解題過程進(jìn)行反思。題目解完了，有學(xué)生就認(rèn)為可以高枕無(wú)憂，可以沉浸在勝利的喜悅中。實(shí)際上，在解完某一道題后，應(yīng)該這樣考慮:結(jié)果有沒有錯(cuò)?錯(cuò)誤的原因是什么?能否簡(jiǎn)化解題過程?能夠檢驗(yàn)這結(jié)果嗎?能夠檢驗(yàn)這論證嗎?對(duì)解題者來(lái)說(shuō)，檢驗(yàn)很重要:可以知道答案的正確性，可以豐富解題經(jīng)驗(yàn)。以下列舉兩個(gè)檢驗(yàn)方法，并且運(yùn)用于解題過程。

1.代入檢驗(yàn)法

對(duì)我來(lái)講，代入檢驗(yàn)法的靈感來(lái)自初中數(shù)學(xué)分式方程的驗(yàn)根。求出未知數(shù)的值后必須驗(yàn)根。驗(yàn)根時(shí)把根代入原式，如果分母為0，那么這個(gè)根就是增根。否則這個(gè)根就是原分式方程的根，比如:解方程=，兩邊乘以(x-1)(x+1)，得2(x+1)=4，x=1，經(jīng)檢驗(yàn)，x=1使分母為0，是增根，舍去，所以原方程無(wú)解。(解分式方程要驗(yàn)根)我認(rèn)為，解所有方程都應(yīng)該檢驗(yàn)。

2.特殊化檢驗(yàn)

經(jīng)常可以取特殊情景(特殊函數(shù)、特殊點(diǎn)或值、特殊圖形)驗(yàn)證或推理，例如條件是f(x+1)=f(1-x)，可以研究函數(shù)f(x)=(x-1)，f(x)=-(x-1);如果比較ab，ab的大小，嘗試取情況一:a=2，b=2;情況二:a=2，b=3;情況三:a=3，b=2，代入一試，得初步的判斷ab≥ab(此題用作商法可解決，不過，代入特殊值可首先得出判斷)。如果是正四面體或者底面是正方形的正棱錐，可以馬上想到安放在正方體中，正方體又可以安放在球體中，兩正方體可構(gòu)成一長(zhǎng)方體……

平常可以看些數(shù)學(xué)史方面的書，就會(huì)有檢驗(yàn)的靈感。比如:可以這樣發(fā)散思維:0和1是最重要的數(shù)(例如:比較大小是作差、作商再與0、1比較:a，b∈R，a/b≥1?圳a-b≥0?圳a≥b;等差數(shù)列分公差d=0，d≠0兩種情況討論，等比數(shù)列分公比q=1，q≠1兩種情況討論等，都和0、1有關(guān)系)，由0和1可以獲得一系列重要的數(shù)，比如:正數(shù)方向:2=1+1，3=1+1+1等，=，……負(fù)數(shù)方向:-1=0-1，有了-1，其余的數(shù)可以類推。由0和1再有特殊坐標(biāo)點(diǎn):(x，y)=(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，(-1，-1)，(x，y，z)=(1，1，1)……可以用于檢驗(yàn)的素材就豐富了。又如函數(shù):從f(x)=1，f(x)=x出發(fā)，可以派生出:f(x)=±1， ±x，±2x，±3x;增大次方:f(x)=x， f(x)=x;組合:g(x)=1+x+x+x;取負(fù):t(x)=-(1+x+x+x);一般化:h(x)=a+bx+cx+dx……;又如:用平面去截正方體，考慮以下情況:有沒有正三角形?有沒有正方形?五邊形呢?六邊形呢?正方體可以用平面截得正四面體嗎?正方體本身是正六面體，可以用平面截得八面體嗎?(連接正方體各面的中心可得)

又例如:等差數(shù)列的求和公式為S=na+=n+(a-)n，因?yàn)槭醉?xiàng)、公差為常數(shù)，所以令=A，a-=B，則求和公式是二次函數(shù):S=An+Bn(A，B是常數(shù))，所以，只要看到某數(shù)列的求和公式為S=An+Bn的形式，就可以想到該數(shù)列是等差數(shù)列(出題者可以和二次函數(shù)聯(lián)系起來(lái)出題;對(duì)于通項(xiàng)公式，可以和一次函數(shù)聯(lián)系起來(lái)出題)。

我們甚至可以想到:由于1+2+3+4+…+n==+=An+Bn，是關(guān)于n的二次函數(shù)，那么，正整數(shù)的平方構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和:

1+2+3+4+5+…+n=An+Bn+Cn+D(關(guān)于n的三次函數(shù))成立嗎?

正整數(shù)的立方構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和:

1+2+3+4+…+n=An+Bn+Cn+Dn+E(關(guān)于n的四次函數(shù))成立嗎?

通過代入n=1，2，3，4，5以后，得到A，B，C，D，E的值，和熟知的公式:

1+2+3+4+5+…+n=，

1+2+3+4+…+n=[]。進(jìn)行對(duì)比，猜想得到了檢驗(yàn)。

對(duì)于等比數(shù)列，有類似的結(jié)果:當(dāng)公比q≠1時(shí)，因?yàn)槭醉?xiàng)和公比是常數(shù)，所以:

S==-q=T-Tq(T是常數(shù))，

可以和指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來(lái)出題。所有這些，都可以作為檢驗(yàn)的素材。

二、例題

例1.已知數(shù)列{a}中，a=b，a=ca+d，求{a}的通項(xiàng)公式。

分析:如果直接就用遞推法，即:a=ca+d=c(ca+d)+d=…=cb+(c+c+…+c+1)d=cb+d，顯然可以得部分答案。但是，可以這樣分析，結(jié)果既然出現(xiàn)了分母為c-1，是否分母可能為0?于是，在解完后檢驗(yàn)結(jié)果，聯(lián)想到分類討論思想。首先，分c=0，c≠0，c=1，c≠1四種情況討論;其次，可以特殊化檢驗(yàn)取b=1，c=2，d=1探索解題規(guī)律，可以用b=3，c=4，d=5檢驗(yàn)結(jié)果。再次，此題可以用構(gòu)造方法解答。

解:(1)當(dāng)c=0時(shí)，則a=b，a=d(n≥2)(必須首先考慮到)。

(2)當(dāng)c≠0時(shí)，設(shè)a=ca+d可以轉(zhuǎn)化為:a+x=c(a+x)。

則cx-x=d，x=，則數(shù)列{a+}是首項(xiàng)為a+，公比為c的等比數(shù)列。a+=c(a+)，整理后，得a=(構(gòu)造法)。

(3)當(dāng)c=1時(shí)，

a=a+d，{a}為首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列。a=b+(n-1)d。

(4)當(dāng)c≠1時(shí)，a=ca+d=c(ca+d)+d=…=cb+d(遞推法)。

最后，檢驗(yàn)(在草稿上進(jìn)行)。

對(duì)解答過程的總結(jié):解答采用了分類討論思想，是在沒有分類討論的情況下得出結(jié)果后進(jìn)行檢驗(yàn)而聯(lián)想到分類討論思想，解答完成后，經(jīng)過檢驗(yàn)當(dāng)b=3，c=4，d=5時(shí)，符合一般的結(jié)果:a=，還采用了構(gòu)造轉(zhuǎn)化的思想，解答的結(jié)果與用遞推法解答的結(jié)果一致(構(gòu)造法與遞推法對(duì)照檢驗(yàn))。

例2(2009年理數(shù)全國(guó)卷一):不等式<1的解集為()。

A.{x|01} B.{x|0

解:從最簡(jiǎn)單的備選項(xiàng)D入手，取特殊化x=-1代入，則<1滿足題意，即x=-1是不等式的解，排除A、B、C，選擇D。

例3.(2009年理數(shù)全國(guó)卷二):設(shè)集合A={x|x>3}，B={x|<0}，則A∩B=()。

A.?覫B.(3，4)C.(-2，1)D.(4，+∞)

解:由于觀察到x>3，所以取x=3.5，則<0，滿足題意，排除A、C、D，選B。

例4(2009年文數(shù)全國(guó)卷一):設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，公比是正數(shù)的等比數(shù)列{b}的前n項(xiàng)和為T，已知a=1，b=3，a+b=17，T-S=13，求{a}，{b}的通項(xiàng)公式。

解:設(shè){a}的公差為d，{b}的公比為q。公比是正數(shù)，則q>0。

由a+b=17得:1+2d+3q=17，由T-S=12得:q+q-d=4，

于是:q=2，d=2，a=2n-1，b=3×2。

代入檢驗(yàn)(在草稿紙上進(jìn)行):數(shù)列{a}為1，3，5……，數(shù)列{b}為:3，6，12……，滿足:a+b=17，T-S=3+6+12-(1+3+5)=12，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，答案正確。

例5(2009文數(shù)全國(guó)卷二):設(shè)等差數(shù)列{a}中，aa=-16，a+a=0，求{a}的前n項(xiàng)和S。

解:設(shè){a}的公差為d，則有:(a+2d)(a+6d)=-16a+3d+a+5d=0，

解得:a=-8d=2或a=8d=-2。

(在草稿上進(jìn)行代入檢驗(yàn)，a=-4，a=-2，a=2，a=4，經(jīng)檢驗(yàn)，答案正確;或者a=4，a=2，a=-2，a=-4，經(jīng)檢驗(yàn)，答案正確)。

故S=-8n+n(n-1)=n(n-9)或S=8n-n(n-1)=-n(n-9)。

在解題過程中，用于檢驗(yàn)的方法很多，可以檢驗(yàn)的也題很多，以上只舉了兩個(gè)方法四個(gè)例子，學(xué)生平常稍加注意，多積累檢驗(yàn)的方法，就可以提高解題的正確率。當(dāng)然，檢驗(yàn)答案需要花費(fèi)時(shí)間，不過，如果學(xué)生在平時(shí)就養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣，加上適當(dāng)?shù)慕忸}速度訓(xùn)練，那么，在考試時(shí)，就可以節(jié)約時(shí)間來(lái)對(duì)一部分題進(jìn)行檢驗(yàn)，以保證答案的正確性。