簡化數(shù)列運算的八種策略

因為數(shù)列問題具有較強的靈活性、技巧性、綜合性，能達到考查學生各種能力的目的，所以在每年高考中都占有一定的比重。因此，研究解數(shù)列問題的技巧與策略，以求做到選擇捷徑、避繁就簡、合理解題有一定的意義。我對求解高考數(shù)列題的一些常用方法進行了歸納，提煉出八種常見策略，供參考。

一、活用概念

數(shù)列的概念是求解數(shù)列問題的基礎(chǔ)，靈活運用數(shù)列的概念，往往簡捷明了，出奇制勝。

例1.設(shè){a}是公差為2的等差數(shù)列，如果a+a+a+…+a=100，那么a+a+a+…+a=()

A.166 B.66 C.34 D.100

解析:若以條件求出a，再求和，則運算較為繁瑣。注意到兩個和式中的項數(shù)相等，且均是等差數(shù)列。

由于(a+a+a+…+a)-(a+a+a+…+a)=(a-a)+(a-a)+(a-a)+…+(a-a)=33d=66，所以a+a+a+…+a=(a+a+a+…+a)+66=100+66=166，故選擇答案:A。

評析:活用等差、等比數(shù)列的概念，溝通了有關(guān)元素間的內(nèi)在聯(lián)系，且使運算得以簡化。

二、巧用性質(zhì)

數(shù)列的性質(zhì)是應用數(shù)列的深化，巧妙運用數(shù)列的性質(zhì)，往往可以使問題簡單明了，合理利用相關(guān)性質(zhì)可以更快捷方便地解題。

例2.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a}，若aa=9，則loga+loga+…+loga=()。

A.12 B.14 C.10 D.10+log2

解析:本題若設(shè)數(shù)列的首項為a和d，則利用基本量法求解，顯然運算量較大。若利用性質(zhì)“等比數(shù)列{a}中，若m+n=p+q，m、n、p、q∈N，則有aa=aa”來解，則顯得簡單方便。

由于aa=aa=…=aa=9，則aa…a=(aa)=9，

所以loga+loga+…+loga=log9=14，故選擇答案:B。

評析:數(shù)列的性質(zhì)是對概念內(nèi)涵的揭示與顯化，是求解數(shù)列問題的有力武器。

三、靈用變式

在實際求解數(shù)列問題過程中，往往可以利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式的變形公式等方法來處理有關(guān)的通項公式求解問題。

例3.已知等差數(shù)列{a}中，a=3，a=388，則該數(shù)列的通項a=?搖 ?搖?搖?搖。

解析:利用等差數(shù)列的變形公式求得相應的公差，再結(jié)合等差數(shù)列的變形公式求得對應的通項。

設(shè)等差數(shù)列{a}的公差為d，結(jié)合等差數(shù)列的變形公式可得:d===55。

則由等差數(shù)列的變形公式可得:a=a+(n-3)d=3+(n-3)×55=55n-162，故填答案:55n-162。

評析:常規(guī)方法是利用等差數(shù)列的通項公式聯(lián)立求解方程組，先算出等差數(shù)列的首項與公差，再由數(shù)列的通項公式求解。而利用變形公式就可以回避求解數(shù)列的首項，直接通過求解公差，再結(jié)合變形公式就可以求解通項。

四、整體考慮

從整體上考慮問題，研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)，往往能夠避免局部運算的困擾，使問題得以簡捷迅速求解。

例4.設(shè)S表示等差數(shù)列{a}的前n項和，且S=18，S=240，若a=30，試求n的值。

解析:此題常規(guī)解法是設(shè)出基本量a，d，列出方程組求解，但較繁;若能利用整體思維，則可少走彎路，使計算合理又迅速。

由S=18，即=18，于是a+a=4=2a，故a=2，

又===240，所以n=15。

評析:本解法不在求a，d上做文章，而是將S變形整理用a+a表示，使解過程大大簡化。

五、數(shù)形結(jié)合

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，在數(shù)列的學習中，可以借助函數(shù)的圖像，通過數(shù)形結(jié)合，使我們的思維能力得以不斷發(fā)展與提高。

例5.已知在公差d小于0的等差數(shù)列{a}中，S=S，則此數(shù)列的前多少項和最大?

解析:用數(shù)形結(jié)合解等差數(shù)列題主要抓住兩個方面:①通項a聯(lián)系一次函數(shù)，對于等差數(shù)列的有關(guān)問題通過構(gòu)造點共線模型，可簡化解題過程，實現(xiàn)繁題巧解;②前n項和S聯(lián)系二次函數(shù):利用二次函數(shù)的對稱性及最值。

設(shè)f(n)=S=na+d=dn+(a-)n，由于S=S，d<0，因此拋物線y=f(n)的對稱軸是n=13，且其開口向下，故當n=13時，f(n)有最大值，即數(shù)列{a}的前13項和最大。

評析:從直觀性角度研究數(shù)列問題，可使問題變得形象生動，易于求解。

六、分解重組

在處理數(shù)列中，特別是數(shù)列求和中，若數(shù)列的通項公式可分解為幾個容易求和的部分，則對數(shù)列的和式進行重新分解，分別求和，最終達到求和的目的。

例6.已知數(shù)列{a}中，a=，a=，且數(shù)列{b}是公差為-1的等差數(shù)列，其中b=log(a-a)。數(shù)列{c}是公比為的等比數(shù)列，其中c=a-a。求數(shù)列{a}的通項公式及它的前n項和。

解析:a是關(guān)于n的未知函數(shù)。由已知條件，事先無法估計a的解析式的形式結(jié)構(gòu)，因此不能用待定系數(shù)法求a。但是利用等差數(shù)列{b}和等比數(shù)列{a}可以列出關(guān)于a和a的兩個等式。視它們?yōu)殛P(guān)于a和a的方程組，消去a即可得a。從而再根據(jù)a求解對應的前n項和。

評析:分析通項雖不是等比數(shù)列，若是由等比數(shù)列的和的形式，則可進行分組拆分，分別利用基本數(shù)列的求和公式求和。注意觀察數(shù)列的特點和規(guī)律，在分析數(shù)列通項的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和。

七、巧取特例

在有關(guān)等差(或等比)數(shù)列的選擇題或填空題中，若條件中含有若干項的和(或積)為定值時，可巧取特殊數(shù)列，特殊化解之，這樣大大提高了解題速度和準確度。

例7.在等差數(shù)列{a}中，已知a+a+a+a+a=20，那么a等于()。

A.4B.5C.6D.7

解析:此題常規(guī)解法是設(shè)出基本量a、d，列出方程組求解，也可以結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)，但較繁;若能利用特殊數(shù)列，則可迅速作出判斷。

引入滿足a+a+a+a+a=20的特殊數(shù)列a=a(a為常數(shù))，則有a+a+a+a+a=5a=20，即a=a=4，所以a=a=4，故選擇答案:A。

評析:通過引入特殊的常數(shù)列，可以直接口算求解，簡單明了。

八、合理化歸

化歸意識是指把待解決的問題轉(zhuǎn)化、歸納為已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種數(shù)學意識，包含著在復雜的式子面前的化簡意識、為達某一目的對數(shù)學表達式進行變形的意識、從目標入手進行分析的意識等。

例8.數(shù)列{a}的前n項和記為S，已知a=1，a=S(n=1，2，3，…)。證明:數(shù)列{}是等比數(shù)列。

解析:根據(jù)題意，要證明數(shù)列{}是等比數(shù)列，必須把問題化歸成討論與這個整體有關(guān)的問題，通過等比數(shù)列的定義加以分析證明。

由于a=S，a=S-S，則(n+2)S=n(S-S)，

整理得:nS=2(n+2)S，即=2，則=2，

所以數(shù)列{}是以1為首項、2為公比的等比數(shù)列。

評析:數(shù)列中諸多較復雜的問題都是通過化歸轉(zhuǎn)化獲得的。關(guān)鍵是找準方向，再利用已知的等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)知識來求解。