簡化數列運算的八種策略

因為數列問題具有較強的靈活性、技巧性、綜合性，能達到考查學生各種能力的目的，所以在每年高考中都占有一定的比重。因此，研究解數列問題的技巧與策略，以求做到選擇捷徑、避繁就簡、合理解題有一定的意義。我對求解高考數列題的一些常用方法進行了歸納，提煉出八種常見策略，供參考。

一、活用概念

數列的概念是求解數列問題的基礎，靈活運用數列的概念，往往簡捷明了，出奇制勝。

例1.設{a}是公差為2的等差數列，如果a+a+a+…+a=100，那么a+a+a+…+a=()

A.166 B.66 C.34 D.100

解析:若以條件求出a，再求和，則運算較為繁瑣。注意到兩個和式中的項數相等，且均是等差數列。

由于(a+a+a+…+a)-(a+a+a+…+a)=(a-a)+(a-a)+(a-a)+…+(a-a)=33d=66，所以a+a+a+…+a=(a+a+a+…+a)+66=100+66=166，故選擇答案:A。

評析:活用等差、等比數列的概念，溝通了有關元素間的內在聯系，且使運算得以簡化。

二、巧用性質

數列的性質是應用數列的深化，巧妙運用數列的性質，往往可以使問題簡單明了，合理利用相關性質可以更快捷方便地解題。

例2.各項均為正數的等比數列{a}，若aa=9，則loga+loga+…+loga=()。

A.12 B.14 C.10 D.10+log2

解析:本題若設數列的首項為a和d，則利用基本量法求解，顯然運算量較大。若利用性質“等比數列{a}中，若m+n=p+q，m、n、p、q∈N，則有aa=aa”來解，則顯得簡單方便。

由于aa=aa=…=aa=9，則aa…a=(aa)=9，

所以loga+loga+…+loga=log9=14，故選擇答案:B。

評析:數列的性質是對概念內涵的揭示與顯化，是求解數列問題的有力武器。

三、靈用變式

在實際求解數列問題過程中，往往可以利用等差數列或等比數列的通項公式的變形公式等方法來處理有關的通項公式求解問題。

例3.已知等差數列{a}中，a=3，a=388，則該數列的通項a=?搖 ?搖?搖?搖。

解析:利用等差數列的變形公式求得相應的公差，再結合等差數列的變形公式求得對應的通項。

設等差數列{a}的公差為d，結合等差數列的變形公式可得:d===55。

則由等差數列的變形公式可得:a=a+(n-3)d=3+(n-3)×55=55n-162，故填答案:55n-162。

評析:常規方法是利用等差數列的通項公式聯立求解方程組，先算出等差數列的首項與公差，再由數列的通項公式求解。而利用變形公式就可以回避求解數列的首項，直接通過求解公差，再結合變形公式就可以求解通項。

四、整體考慮

從整體上考慮問題，研究問題的整體形式、整體結構，往往能夠避免局部運算的困擾，使問題得以簡捷迅速求解。

例4.設S表示等差數列{a}的前n項和，且S=18，S=240，若a=30，試求n的值。

解析:此題常規解法是設出基本量a，d，列出方程組求解，但較繁;若能利用整體思維，則可少走彎路，使計算合理又迅速。

由S=18，即=18，于是a+a=4=2a，故a=2，

又===240，所以n=15。

評析:本解法不在求a，d上做文章，而是將S變形整理用a+a表示，使解過程大大簡化。

五、數形結合

數列是一類特殊的函數，在數列的學習中，可以借助函數的圖像，通過數形結合，使我們的思維能力得以不斷發展與提高。

例5.已知在公差d小于0的等差數列{a}中，S=S，則此數列的前多少項和最大?

解析:用數形結合解等差數列題主要抓住兩個方面:①通項a聯系一次函數，對于等差數列的有關問題通過構造點共線模型，可簡化解題過程，實現繁題巧解;②前n項和S聯系二次函數:利用二次函數的對稱性及最值。

設f(n)=S=na+d=dn+(a-)n，由于S=S，d<0，因此拋物線y=f(n)的對稱軸是n=13，且其開口向下，故當n=13時，f(n)有最大值，即數列{a}的前13項和最大。

評析:從直觀性角度研究數列問題，可使問題變得形象生動，易于求解。

六、分解重組

在處理數列中，特別是數列求和中，若數列的通項公式可分解為幾個容易求和的部分，則對數列的和式進行重新分解，分別求和，最終達到求和的目的。

例6.已知數列{a}中，a=，a=，且數列{b}是公差為-1的等差數列，其中b=log(a-a)。數列{c}是公比為的等比數列，其中c=a-a。求數列{a}的通項公式及它的前n項和。

解析:a是關于n的未知函數。由已知條件，事先無法估計a的解析式的形式結構，因此不能用待定系數法求a。但是利用等差數列{b}和等比數列{a}可以列出關于a和a的兩個等式。視它們為關于a和a的方程組，消去a即可得a。從而再根據a求解對應的前n項和。

評析:分析通項雖不是等比數列，若是由等比數列的和的形式，則可進行分組拆分，分別利用基本數列的求和公式求和。注意觀察數列的特點和規律，在分析數列通項的基礎上，或分解為基本數列求和，或轉化為基本數列求和。

七、巧取特例

在有關等差(或等比)數列的選擇題或填空題中，若條件中含有若干項的和(或積)為定值時，可巧取特殊數列，特殊化解之，這樣大大提高了解題速度和準確度。

例7.在等差數列{a}中，已知a+a+a+a+a=20，那么a等于()。

A.4B.5C.6D.7

解析:此題常規解法是設出基本量a、d，列出方程組求解，也可以結合數列的性質，但較繁;若能利用特殊數列，則可迅速作出判斷。

引入滿足a+a+a+a+a=20的特殊數列a=a(a為常數)，則有a+a+a+a+a=5a=20，即a=a=4，所以a=a=4，故選擇答案:A。

評析:通過引入特殊的常數列，可以直接口算求解，簡單明了。

八、合理化歸

化歸意識是指把待解決的問題轉化、歸納為已有知識范圍內可解的問題的一種數學意識，包含著在復雜的式子面前的化簡意識、為達某一目的對數學表達式進行變形的意識、從目標入手進行分析的意識等。

例8.數列{a}的前n項和記為S，已知a=1，a=S(n=1，2，3，…)。證明:數列{}是等比數列。

解析:根據題意，要證明數列{}是等比數列，必須把問題化歸成討論與這個整體有關的問題，通過等比數列的定義加以分析證明。

由于a=S，a=S-S，則(n+2)S=n(S-S)，

整理得:nS=2(n+2)S，即=2，則=2，

所以數列{}是以1為首項、2為公比的等比數列。

評析:數列中諸多較復雜的問題都是通過化歸轉化獲得的。關鍵是找準方向，再利用已知的等差數列或等比數列的相關知識來求解。