基于數(shù)學方法論中的“數(shù)感”研究

摘 要: 本文通過對數(shù)學方法論中“數(shù)感”概念、作用的闡述，提出在高中數(shù)學教學中如何培養(yǎng)學生“數(shù)感”的四種方法。

關鍵詞: 數(shù)感 培養(yǎng) 研究

一、數(shù)感的概念

數(shù)感不是一個新的概念，早在20世紀初，英國數(shù)學大師哈代(Hardy)發(fā)現(xiàn)了印度天才數(shù)學家拉馬努金(Ramanujan，Srinivasa Aaiyangar)，他沒有受過嚴格的數(shù)學訓練，卻能獨立發(fā)現(xiàn)3000—4000個公式的高超技巧，唯一的解釋就是拉馬努金具有超凡的數(shù)感。何為數(shù)感?它是一種高層次的思維，是指對數(shù)的含義、計數(shù)技能、數(shù)的順序大小、數(shù)的多種表達方法、模式、數(shù)運算及結果的準確感知和理解等。數(shù)感是人的一種基本的數(shù)學素養(yǎng)，它是建立明確的數(shù)概念和有效地進行計算等數(shù)學活動的基礎，是將數(shù)學與現(xiàn)實問題建立聯(lián)系的橋梁。[1]

二、數(shù)感的作用

我國基礎教育課程改革《高中數(shù)學課程標準》第一次明確把數(shù)感作為數(shù)學學習內容的首要核心概念提了出來，并對它進行淺顯的解讀:數(shù)感是人對數(shù)與運算的一般理解，可以幫助人們用靈活的方法做出數(shù)學判斷和為解決復雜的問題提出有用的策略;在數(shù)學方法論中，數(shù)感是一種主動地、自覺地或自動化地理解數(shù)和運用數(shù)的態(tài)度和意識，是人的一種基本的數(shù)學素養(yǎng)。

美國心理學家和教育家、結構主義教育思想的代表人物布魯納(Bruner)強調:“數(shù)學知識不是一個簡單的結果，而是一個過程。”學生的年齡特點決定他們的思維在認知活動中正從具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展。在數(shù)學教學中發(fā)展學生的“數(shù)感”是極其重要的。“數(shù)感”的建立可以理解為讓學生學會“數(shù)學地”思考問題，這對學習數(shù)學的每個人都是非常重要的。

三、課堂教學中培養(yǎng)學生的數(shù)感的方法

如何在具體的教學中培養(yǎng)學生的“數(shù)感”，根據(jù)實際教學經(jīng)驗與調查研究，我們認為下面幾種方法必不可少。

1.構建探索平臺，在表達與交流中培養(yǎng)學生數(shù)感。

心理學研究表明，每個人有一種與生俱有的、以自我為中心的探索性學習方式。而這種探究性學習非常有助于培養(yǎng)學生的數(shù)感。數(shù)感不是通過教師的傳授而能得到培養(yǎng)的，重要的是讓學生自己去感知、體驗、發(fā)現(xiàn)，主動探索，使學生在探索中不斷積累數(shù)學經(jīng)驗的同時，數(shù)感也得以培養(yǎng)。《高中數(shù)學課程標準》強調:“要引導學生聯(lián)系自己身邊具體、有趣的事物，通過觀察事物的特征建立解決數(shù)學問題的模型和實驗等活動，深刻感受數(shù)學的內涵和思想，體會用數(shù)學語言來交流和表達的作用，初步建立數(shù)感。”在教學中，教師應為學生創(chuàng)設數(shù)學問題情境，讓學生在討論的過程中互相啟發(fā)、互相借鑒，體會數(shù)學的廣泛用途，使學生在交流對數(shù)學思想的感知時，拓展思維，豐富自己對數(shù)學概念、思想的認識，進一步體會數(shù)學的核心價值，從而促進數(shù)感的快速形成。

2.創(chuàng)設生活情境，在體驗中培養(yǎng)數(shù)感。

數(shù)學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫的科學，它源于生活，并優(yōu)化生活。荷蘭著名數(shù)學家和教育家弗蘭登塔爾(H.Freudenthal)提出:要從學生的生活中發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)造數(shù)學。即強調從學生熟悉的生活環(huán)境和生活經(jīng)驗出發(fā)進行教學。數(shù)學教學只有從學生的生活經(jīng)驗和已有的知識出發(fā)，創(chuàng)設與學生生活環(huán)境、知識背景密切相關，引人入勝、充滿誘惑的生活情景，才能激發(fā)學生學習興趣，調動學生學習積極性和主動性，使學生的好奇心得到滿足，產生情感共鳴和極大的求知欲，幫助學生真正理解“數(shù)感”的意義。

3.在解決問題中培養(yǎng)學生數(shù)惑。

美籍匈牙利數(shù)學家喬治·波利亞指出:解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的?”“是什么促使你這樣想，這樣做的?”這就是說，解題過程還是一個思維過程，是一個把知識與問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的過程。在這個思維過程中可以培養(yǎng)數(shù)學生的“數(shù)感”。[2]比如說:在數(shù)學家費馬和笛卡爾的時代，數(shù)學家就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)多項式的根與多項式的因式之間的關系。如果多項式f(x)=0有根x=a，則f(x)有因式x-a。

從已知的自然倒數(shù)平方和的求解方法可以大致地看到:雖然發(fā)現(xiàn)這樣奇怪的級數(shù)和存在某種偶然性，但是人們通過“數(shù)感”還是可以推斷當初求和的直觀情景。培養(yǎng)學生的數(shù)感要讓學生有意識地將現(xiàn)實問題與數(shù)量關系建立起聯(lián)系。教師應使學生學會從現(xiàn)實情境中提出問題，從一個復雜的情境中提出問題，選擇恰當?shù)姆椒ń鉀Q問題，并對運算結果的合理性做出解釋，同時也使原來已具備的“數(shù)感”得到了更進一步的強化。

4.引導動手實踐，在體驗中培養(yǎng)數(shù)感。

數(shù)學家費登塔爾認為:“數(shù)學源于現(xiàn)實，寓于現(xiàn)實，用于現(xiàn)實。”在教學中教師應盡可能地創(chuàng)設條件抓住契機，帶領學生走出課堂，參加社會實踐活動。在活動中教師應為解決問題而選擇適當算法，并對結果合理性作出解釋，使學生感受到數(shù)是人們生活、勞動和學習不可缺少的工具。

瑞士心理學家皮亞杰說:“兒童思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯(lián)系，思維就得不到發(fā)展;智慧的鮮花是開在手上的。”而動手實踐活動又是學生學習過程的展示，學生在動手實踐時若是眼、手、口、心齊動，并在此過程中自主探索、交流，往往能更好、更深刻地體驗到數(shù)感的存在和奇妙。前蘇聯(lián)教育家贊可夫說過:“從學生生活經(jīng)驗中舉出的例子，將有助于他們把所學習的概念跟日常生活中十分熟悉的事物之間建立起聯(lián)系來。”

下面舉例說明:反三角函數(shù)的性質。具體作法是:抓住函數(shù)中“對應”這一實質，從圖形上去觀察這種“對應”，從而使學生發(fā)現(xiàn)，當自變量取全體實數(shù)時，正弦函數(shù)不具有反函數(shù)。利用電腦多媒體技術的優(yōu)勢，以鮮艷的色彩、生動的動畫來激起學生了解新知識的興趣。正弦函數(shù)在定義域內沒有反函數(shù)，那么這里的反正弦函數(shù)概念是怎樣得到的呢?

提出問題:在(-∞，+∞)內正弦函數(shù)沒有y→x的一一對應存在，但在定義域的局部會不會存在這種對應呢?如果有，又應找出哪一段呢?學生可能指出[-π/2，π/2]區(qū)間，也可能指出[π/2，5π/2]區(qū)間……哪一個是正確答案呢?這時我出示電腦投影，由學生逐個分析(在出示的局部圖形中應包括[0，5π/2]這樣的區(qū)間)，應該選取怎樣的區(qū)間來得到y(tǒng)→x的一一對應。最終，學生逐漸得到結論:(1)[0，5π/2]這部分不符合要求，因為在這一區(qū)間內，有y→x的一對二的對應存在。(2)[-π/2，0]，[0，π/2]不符合要求，因為它們的函數(shù)值不能取到[-1，1]內所有值，這會導致反函數(shù)的定義域不符合要求。(3)[-π/2，π/2]，[π/2，5π/2]這兩個區(qū)間哪一個可以呢?我引導學生發(fā)現(xiàn):從利于研究問題的角度看，以[-π/2，π/2]這一部分來得到反正弦函數(shù)最好。在這一部分中，有y→x的一一對應存在，有正負銳角這種比較容易處理的自變量，而且y取到[-1，1]的全體值，確保反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域。整個過程逐步培養(yǎng)數(shù)感，數(shù)感也得到了充分體現(xiàn)。

數(shù)學知識比較抽象，學生大腦中不能較好地建立數(shù)感表象，更不能真正理解知識的內涵。只有當學生把所學知識與生活經(jīng)驗聯(lián)系起來，才能更好地掌握知識，內化知識。教師在教學中要讓學生更多地接觸和理解現(xiàn)實問題，引導學生從現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡單的數(shù)學問題，探究解決問題的有效途徑。

總之，學生數(shù)感的建立不是一朝一夕的事，而是需要學生在長時間數(shù)學學習生活中慢慢體驗，不斷進行數(shù)學思維，領悟數(shù)學思想方法，不斷積累經(jīng)驗，逐步建立。教師在具體的數(shù)學教學中應根據(jù)學生的認知水平和思維特點進行教學，要結合學情，提供豐富的數(shù)學素材，采用多種手段，諸如:利用現(xiàn)代化的多媒體教學手段，強化數(shù)學的感性認識，幫助他們理解抽象的數(shù)學概念、定理和命題等。在生活體驗中加強對學生數(shù)感的培養(yǎng)，以促進學生數(shù)學素養(yǎng)的進一步提高。學生在解決問題的過程中選擇適當?shù)乃惴ǎ瑢\算結果的合理性作出解釋，也是形成和強化數(shù)感的具體體現(xiàn)。

參考文獻:

[1]http://blog.eduol.cn/25/47926/archives/2007/390629.html.

[2]波利亞著.閻育蘇譯.怎樣解題.北京:科學出版社，1982.