知識分類學說指導下的數學課堂教學設計

目前，我國正在實施新一輪課程與教學改革。要想使課程改革與教學改革取得良好的成效，我們必須更新觀念，積極嘗試新的教學方法來實行有效教學。實行有效教學的其中一個關鍵環節就是課堂教學設計。數學學習具有人類一般學習的特征，也有它自身的規律。數學學習既遵循數學認知結構發展變化的普遍規律，也會因為其具體的學習內容的不同而有所差異。美國心理學家安德森(John R.Anderson.1947-)對知識在人的頭腦中的表征性質做了兩種最基本的劃分：陳述性知識(知道某事是什么)和程序性知識(知道如何做事)。陳述性知識主要以命題、表象、線形序列和圖式為表征形式：程序性知識主要以產生式或產生式系統為表征形式。這種廣義的知識分類對數學知識分類是合適的，但需做一定的延拓。孔凡哲將數學知識做如下分類：

以上的知識分類體現了數學的一種動態趨勢。當陳述性知識在運用過程中就轉化為程序性知識。各種不同類型數學知識的學習，彼此之間存在比較顯著的差異。根據加涅的教學設計原理，不同的知識類型或者說不同的學習目標具有不同的實施最佳學習條件的程序和教學處方。教師在教學設計中要充分處理好各種知識的合理學習方式，促進知識的動態轉化，讓學生形成清晰的圖式和牢固的產生式系統并習得一定的認知策略。下面以《解直角三角形》(第一課)為例來說明在知識分類學說指導下如何進行教學設計。謹對教學設計中的某些環節進行說明。

加涅建議教師使用有如下四種成分的備課表：1 陳述課的目標及其類型；2 列出打算使用的教學事件；3 列出每一個教學事件賴以完成的媒體、材料和活動；4 注明每個所選事件中教師或培訓者的作用和各種活動。可以看出教學活動設計是備課的重要組成部分，本文謹從活動設計方面加以探討。

《解直角三角形》的知識內容側重于規則和認知策略的學習，首先教師要讓學生回憶概念和規則。用言語陳述演示規則，再演示規則的應用。因此，在教學活動設計中，第一個活動可設計為讓學生找出直角三角形(如圖1)中三個角和三條邊之間的所有數量關系，并加以分類整理如下：

這三類關系概括了直角三角形中所有邊、角之間的關系，是本節課解直角三角形的理論基礎，均屬于陳述性知識。在解直角三角形時，往往是對邊角關系的綜合應用。教師要想辦法加強學生對邊角關系的理解記憶以形成知識網絡(或圖式)。而在具體教學過程中，解直角三角形就是要讓學生把陳述性知識轉化為程序性知識以形成產生式或產生式系統。達到自動化程度以提高解題的速度和準確性。

在解直角三角形的活動設計中，教師要注重知識的梯度、題目的變式和產生式系統的形成。以如下教學設計為例說明：

如圖2所示，要解決的問題是邊b，∠A，∠B。引導學生將已知條件與三條陳述性知識對照，很明顯有(2、根號3)²+b²=4²和2根號3/4sinA，于是求出b=2，A=60°，從而B=30°。這個學習過程將三邊關系由陳述性知識轉化成了程序性知識。形成了一個產生式：如果a，c已知要求6，∠A，∠B，那么6=根號下c²-a².sinA=a/c，B=90°-A，記為P，如何將這個產生式自動化，那么就需要一定的變式訓練。因此，可以讓學生針對圖3和圖4給出與圖2不同兩組邊的值進行解直角三角形。圖3只給b，c，圖4只給a，b。通過這樣的訓練。可以達到對產生式的鞏固。

如圖5，當知己b=2，A=30°時，讓學生把條件和陳海性知識對照，利用∠A+∠B=90°求得∠B=60°。6=2.A：30∠必須用三角函數關系加以聯系，可以用：a/c=smA，a/b=tanA，求出a=2根號3，b=4。已知一個角和一條邊要解直角三角形時，求邊長時需要學生選擇合適的三角函數關系。即要把陳述性知識轉化為程序性知識。這里。教師要為學生建立如下產生式：如果要求c，b，B，是否A已知和邊。已知?若A已知，那么利用∠A+∠B=90°可達到目標求B；若a，A已知，那么尋找c與a，A的聯系可達到目標求c，記該產生式為P₂。

接下來。讓學生進行變式練習圖6、圖7、圖8、圖9、圖10，使學生熟練掌握，形成新的產生式，在此基礎上形成產生式系統。

活動四：當僅知道∠A、∠B時，請學生說明能否解直角三角形。

上述教學活動完成后。學生已基本建立產生式及產生式系統。而學生的解題活動還需要一定的認知策略。因此，教師需要把在活動中學生習得產生式系統和認知策略知識進行整合，使學生真正掌握解直角三角形的靈活方法。教師可以引導學生設計如下思維流程圖：

上述思維流程圖實質上是不同已知條件下的產生式形成的產生式系統，網絡中的每個箭頭都會到達一個終點，它就代表一個產生式。教師要讓學生將知識動態化。形成一系列的產生式，并通過科學的訓練達到自動化程度，從而有利于學生對知識的學習和掌握，形成一定的解題策略。

知識分類學說指導下的教學設計注重不同類型知識采用不同的學習方法，科學的教學設計使學生形成清晰而牢固的圖式和一系列自動化的產生式系統，降低例題學習中的認知負荷，提高學習效率。從而，學生在理解的基礎上通過科學訓練達到熟能生巧，取得良好的學習效果。