應用復數解題舉隅

摘要：虛數的引進和復數理論的建立是數學發展中的大事之一. 它不僅使方程理論得以完善，而且大大擴展了數學理論及其應用的發展前景，同時也給數學在實踐中的應用增添了工具。

關鍵詞：復數；解析幾何問題；證明三角恒等式；求值

一、 應用復數解解析幾何問題

復平面內的點集與復數是一一對應的，在這種對應下，復數的各種運算都有特定的幾何意義. 借助復數的幾何意義及運算法則去求解解析幾何問題，常能簡化運算過程。

例1：已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1)，B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上且BP:PA=1:2，當點B在拋物線上運動，求點P軌跡方程。

解：由已知可得=2，設P(x，y)，B(y12-1，y)，則（3-x)+(1-y)i=2[(x-y12+1)+(y-y1)i]，由復數相等的條件得：y=y= ，從而得(y-)2=(x-)，這就是所求的點P的軌跡方程。

例2 ：已知直線l過原點，拋物線C頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，若點A(-1，0)和點B(0，8)關于l的對稱點都在C上，求直線l和拋物線C的方程。

解：設直線與拋物線方程分別為y=kx、y2=2px，A、B關于l的對稱點分別為A'、B'且A'(2pt2，2pt)。因為OA'⊥OB'且|OB'|=|OB|=8|OA|=8|OA'|，所以所對應的復數為8i(2pt2，2pti)，即B'(-16pt，16pt2)。因為B'在拋物線上，所以（16pt2)2=2p(-16pt)，得t=-，又|OA'|=|OA|=1，即=1，解得p=，此時A'(，-)，所以k=，故直線l與拋物線C方程分別為y= x及y2=x

二、 應用復數求三角函數的值

例3 ：已知<β<α<，cos(α-β)=，sin(α+β)=-，求sin2α的值.

解：由條件易得，α-β∈(0，)，α+β∈(π，)，2α∈(π，)。設z1=12+5i=13[cos(α-β)+isin(α-β)]，z2=-4-3i=5[cos(α+β)+isin(α+β)]，z1z2=(12+5i)(-4-3i)=-33-56i=65(cos2α+isin2α)。比較虛部，得sin2α=-.

例4：求cos+cos+cos+cos+cos+cos的值.

分析：式中的角成等差數列，若再添上cos，則可用“復數z的所有n次方根之和為零”來求解.解：因為(cos+isin)+(cos+isin)+……+(cos+isin)=0，所以cos+cos+……+cos+cos=0，從而cos+cos+cos+cos+cos+cos=-1.

三、 應用復數證明三角恒等式

例5 ：設α≠0，α∈R，求證

=tanα.證明：數列{cosnα+isinnα}是等比數列，其中a1=q=cosα+isinα，Sn==

== · [cosα+isinα] ，比較數列{cosnα+isinnα}和Sn的實部、虛部，得sinα+sin2α+……+sinnα=sinα，cosα+cos2α+……+cosnα=cosα.因此，=tanα

四、 應用復數討論帶字母系數的二次方程

例6：已知關于x的方程2x2+3ax+a2-a=0至少有一個模等于1的根，求實數α的值。

解：如果模等于1的根為實數x0，則x0=1，或x0=-1. 若x0=1代入原方程得a2+2a+2=0 ，此方程無實數根（因Δ<0），與a為實數矛盾. 所以x0≠1.將x0=-1代入原方程a2-4a+2=0得a2-4a+2=0 ，解得a=2±。如果模等于1的根為虛數z，則必有另一根z，依據韋達定理有1=zz=，即a2-2a-2=0 ，解得a=-1或a=2，但當a=2時，原方程2x2+3ax+a2-a=0的判別式Δ=a2+8a>0和有虛根矛盾，所以a=-1.因此，滿足題意的實數a的值為-1或2±。

數學問題千變萬化，解題方法多種多樣。在解決各類問題時，若能用好復數這一工具，將會使解題過程變得更加輕松自如。

（鹽城紡織職業技術學院）