概率在生活中的幾個(gè)典型問(wèn)題

概率論是研究現(xiàn)實(shí)世界隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門科學(xué)，其思維方法獨(dú)特。概率論不僅是當(dāng)代科學(xué)的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一，而且還是當(dāng)代社會(huì)和人類日常生活最重要的知識(shí)之一。正如十九世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯所說(shuō)，“對(duì)于生活中的大部分最重要的問(wèn)題，實(shí)際上只是概率問(wèn)題，你可以說(shuō)幾乎我們所掌握的所有知識(shí)都是不確定的，只有一小部分我們能確定，甚至數(shù)學(xué)科學(xué)本身，歸納法、類推法和發(fā)現(xiàn)真理的首要手段都是建立在概率論的基礎(chǔ)之上的。因此，整個(gè)的人類知識(shí)系統(tǒng)是與這一理論相聯(lián)系的。” 的確，我們只要瀏覽一下當(dāng)今的報(bào)紙，看一看電視，就會(huì)發(fā)現(xiàn)在某種程度上概率統(tǒng)計(jì)的語(yǔ)言已經(jīng)成為人類生活中重要的一部分。然而，饒有趣味的是，這門被拉普拉斯稱為“人類知識(shí)的最重要的一部分”的數(shù)學(xué)，卻直接地起源于一種相當(dāng)獨(dú)特的人類行為的探索——人們對(duì)于機(jī)會(huì)性游戲的研究思考。所謂機(jī)會(huì)性游戲，就是靠運(yùn)氣取勝。隨機(jī)事件與概率是概率論中最重要和最基本的概念，只有正確地理解和真正掌握，才能學(xué)好概率論。在自然界及各種社會(huì)活動(dòng)中，人們所觀察到的現(xiàn)象大致可分為兩類：一類稱為確定性現(xiàn)象，另一類稱為隨機(jī)現(xiàn)象。我們把在一定的條件下必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象。例如，從10件產(chǎn)品(其中2件是次品，8件是正品)中，任意地抽取3件進(jìn)行檢驗(yàn)，這3件產(chǎn)品絕不會(huì)全是次品；向上拋擲一枚硬幣必然下落，等等。這類現(xiàn)象的一個(gè)共同點(diǎn)是事先可以斷定其結(jié)果。我們把在一定的條件下，具有多種可能發(fā)生的結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。例如，從10件產(chǎn)品(其中2件是次品，8件是正品)中，任取1件出來(lái)，可能是正品，也可能是次品；向上拋擲一枚硬幣，落下以后可能是正面朝上，也可能是反面朝上；將要出生的嬰兒可能是男性，也可能是女性。這類現(xiàn)象的一個(gè)共同點(diǎn)是事先不能預(yù)知多種可能結(jié)果中究竟出現(xiàn)哪一種。本文主要是對(duì)隨機(jī)事件和概率的一些容易混淆的概念進(jìn)行辨析，探討生活中與概率相關(guān)的一些例子。

一、 抽獎(jiǎng)問(wèn)題

例如：如果有5張可當(dāng)場(chǎng)兌獎(jiǎng)的彩票，其中2張是有獎(jiǎng)的。有甲、乙、丙、丁、戊5人依次各抽一張彩票，甲中獎(jiǎng)的概率為。當(dāng)已知甲中獎(jiǎng)，乙再去抽獎(jiǎng)，則乙的中獎(jiǎng)概率，乙似乎吃虧了；當(dāng)已知甲沒(méi)有中獎(jiǎng)，乙再去抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)概率，乙似乎又占便宜了，你認(rèn)為這樣公平嗎?解：這樣的抽獎(jiǎng)方案是公平的。因?yàn)檫@里的和分別是在已知甲中獎(jiǎng)和甲沒(méi)有中獎(jiǎng)的情況下，乙中獎(jiǎng)的條件概率，都不能算是這個(gè)抽獎(jiǎng)方案中乙中獎(jiǎng)的概率。因?yàn)榧字歇?jiǎng)的概率是，故出現(xiàn)“乙中獎(jiǎng)概率為”這件事的概率是；同樣，甲不中獎(jiǎng)的概率為是，故出現(xiàn)“乙中獎(jiǎng)概率為”這件事的概率是，而“甲中獎(jiǎng)”和“甲不中獎(jiǎng)”是互斥事件。按互斥事件的和的概率計(jì)算方法可知，這個(gè)抽獎(jiǎng)方案中乙中獎(jiǎng)的概率應(yīng)為。由此可見(jiàn)，這個(gè)抽獎(jiǎng)方案，每個(gè)人中獎(jiǎng)概率都是一樣的，與抽獎(jiǎng)的次序無(wú)關(guān)，無(wú)論先抽還是后抽，對(duì)每個(gè)人都是公平的。

二、 體育運(yùn)動(dòng)的概率問(wèn)題

例如： 在斯諾克臺(tái)球比賽中，我國(guó)運(yùn)動(dòng)員丁俊暉與國(guó)外運(yùn)動(dòng)員奧沙利文相遇，根據(jù)實(shí)際排名和以往的戰(zhàn)績(jī)統(tǒng)計(jì)，每賽一局丁俊暉勝的概率為0.45，奧沙利文勝的概率為0.55。若比賽既可采用三局兩勝制，也可以采用五局三勝制，問(wèn)采用哪種賽制對(duì)丁俊暉更有利? 分析： （1）采用三局兩勝制：設(shè)A1表示丁俊暉勝前兩局，A2表示前兩局中二人各勝一局，第三局丁俊暉勝，A表示丁俊暉勝，則A=A1∪A2，而P=（A1）=0.452=0.2025，P=（A2）=(0452×0.55)×2=0.22275。由于A1與A2互斥，由加法公式得: P（A）=P（A1∪A2）=P（A1）+P（A2）=0.2025+0.22275=0.42525。（2）采用五局三勝制：設(shè)Ｂ表示丁俊暉勝，Ｂ１表示前三局丁俊暉勝，Ｂ２表示前三局中丁俊暉勝兩局，奧沙利文勝一局，第四局丁俊暉勝，Ｂ３表示前四局兩人各勝兩局，第五局丁俊暉勝，則Ｂ＝Ｂ１∪Ｂ２∪Ｂ3 ，而Ｐ（Ｂ１）=

0.453=0.091125，P（Ｂ2）=C23×0.452×0.55

×0.45=0.150356，P（Ｂ3）=C24×0.452×

0.552×0.45=0.165392。所以P（B）=

P（Ｂ１∪Ｂ2∪Ｂ3）=P（Ｂ１）+P（Ｂ2）+P（Ｂ3）

=0.091125+0.150356+0.165392=0.4069.由于P（B）45，奧沙利文勝的概率為0.55，所以“五局三勝制”更公平、更合理。在實(shí)際比賽中，采用的是十九局十局勝制，更為公平、合理，結(jié)果是丁俊暉輸了（斯諾克大師賽中的比賽結(jié)果）。如果采用三局兩勝制，丁俊暉就有可能戰(zhàn)勝奧沙利文。

三、 湖中的魚的數(shù)量

例如：生活在湖邊的漁民想方便而且快速地知道湖中有多少魚。他們用什么方法呢?漁民常用一種稱為“標(biāo)記后再捕”的方法。先從湖中隨意捕捉些魚上來(lái)，比如捕到1000條魚，在每一條魚的身上作記號(hào)后又放回湖中。隔一段時(shí)間，，又從湖中隨意地捕捉一些魚。如果第二次捕到200條魚，其中僅有10條魚有記號(hào)，那么你能預(yù)測(cè)該湖中的魚有多少條嗎？解：假設(shè)湖中的魚的分布是均勻的，200條魚中有10條有記號(hào)的，那么，每條有記號(hào)的魚被捕到的概率是若湖中有條魚，其中1000條魚是有記號(hào)的，則每條有記號(hào)的魚被捕到的概率則n=2000，由此可預(yù)測(cè)該湖中大約有20000條魚。事實(shí)上，湖中魚的分布不可能非常均勻，因此漁民們常常重復(fù)這種方法多次，然后取所有這些結(jié)果的平均數(shù)，即可得到比較精確的預(yù)測(cè)。

四、 出租車肇事情況

例如：深夜，一輛出租車被牽扯進(jìn)一起交通事故，某市有兩家出租車公司，分別是紅色出租車公司和藍(lán)色出租車公司，其中藍(lán)色出租車公司和紅色出租車公司分別占整個(gè)城市出租車的85%和15%.據(jù)現(xiàn)場(chǎng)目擊證人說(shuō)，事故現(xiàn)場(chǎng)的出租車是紅色的。經(jīng)測(cè)試證人的辨別能力，測(cè)得他辨認(rèn)的正確率為80%.于是，警察就認(rèn)定紅色出租車具有較大肇事嫌疑。請(qǐng)問(wèn)，警察認(rèn)定對(duì)紅色出租車公平嗎？解：設(shè)該城市有出租車1000輛，那么依題意可得信息如表1。從表中可以看出，當(dāng)證人說(shuō)出租車是紅色且它確實(shí)是紅色的概0.41;而它是藍(lán)色的概率為.59.在這種情況下，以證人的證詞為推斷的依據(jù)，對(duì)紅色出租車公司顯然不公平。

概率論不僅為人們研究科學(xué)和社會(huì)問(wèn)題提供了有效和方法，更改變了人們看待世界的角度。這個(gè)世界不是絕對(duì)必然的，它充斥著大量的偶然性，所謂規(guī)律也只是在相當(dāng)程度上被我們所接受和信任的命題而已。運(yùn)用概率，我們就可以避免由歸納法和決定論帶來(lái)的許多問(wèn)題和爭(zhēng)論。我們應(yīng)該清楚一點(diǎn)：概率不可能由一個(gè)事件的發(fā)生而產(chǎn)生出來(lái)。在整個(gè)概率歷史中，某個(gè)事件具有重要的意義，但不能認(rèn)為，概率論就是由于這一事件的出現(xiàn)才誕生的，它是由于大量的隨機(jī)事件產(chǎn)生概率從而就有了概率論這門學(xué)科。所以說(shuō)，在概率論中最重要的是隨機(jī)事件與概率，它們是緊密聯(lián)系的一個(gè)整體。學(xué)好概率論最基本的就是正確理解隨機(jī)事件與概率中的一些概念和能夠靈活地運(yùn)用到生活中。本文雖然對(duì)概率論中的一些概念進(jìn)行了類比分析，但是并不能把它們徹底地分析透徹，所以說(shuō)概率論中的許多知識(shí)都有待我們?nèi)ヌ剿餮芯俊?/p>

（邳州市新河中學(xué)）