利用整體思想解三角問題

整體思想是將需要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式，在三角函數中主要是整體代入、整體變形、整體換元、整體配對、整體構造等進行化簡求值、研究函數性質等，并注意與已知條件的聯系，實現等價化歸，使問題得到解決。三角函數一章要求學生靈活運用公式S，C，T，S，C，T進行化簡、求值和證明。對角的整體認識和等價化歸是解決這類題目的關鍵，學生掌握好這種三角變換中的基本思想方法對解決問題能夠起到熟中生巧和事半功倍的作用。本文僅舉幾例，加以說明。

例1.已知-

(1)求sinx-cosx的值;

(2)求的值。

解析:由條件和問題聯想到公式(sinx±cosx)=1±2sinxcosx，可實施整體代換求值。

(1)由sinx+cosx=平方，得:

sinx+2sinxcosx+cosx=，

即2sinxcosx=-。

因為(sinx-cosx)=1-2sinxcosx=，

又因為-

所以sinx<0，cosx>0，sinx-cosx<0，

故sinx-cosx=-。

(2)

=

=sinxcosx(2-cosx-sinx)

=(-)×(2-)

=-

例2.若銳角α、β滿足cosα=，cos(α+β)=，求sinβ。

分析:本題的解法主要要求觀察出β=(α+β)-α，使已知條件的角與所求式中的角聯系起來。此外，角的變換方法還有2α+β=(α+β)+α，2α=(α+β)+(α-β)等，要避免出現將cos(α+β)展開，通過解方程cosβ-sinβ=，再求sinβ的情況。

解析:∵銳角α滿足cosα=，

∴sinα=。

又∵銳角α、β滿足cos(α+β)=，

則0<α+β<，

∴sin(α+β)==，

sinβ=sin[(α+β)-α]

=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα

=×-×=。

例3.如果tan(α+β)=，tan(β-)=，求tan(α+)的值。

分析:將tan(α+)展開，發現tanα難求，所以應把α+看成整體，尋找其與已知角(α+β)和(β-)的關系，發現α+=(α+β)-(β-)，問題由此獲得解決。

解:∵tan(α+β)=，

tan(β-)=，

∴tan(α+)=tan[(α+β)-(β-)]

==。

例4.已知sin(+α)sin(-α)=，α∈(，π)，求sin4α的值。

分析:觀察未知，4α可轉化為2·2α。

觀察已知角(+α)，(-α)，它們之間的聯系為:

(+α)+(-α)=。

所以運用誘導公式和倍角公式就可以發現求解的途徑了。

解:sin(+α)sin(-α)

=sin(+α)sin[-(+α)]

=sin(+α)cos(+α)

=sin(+2α)

=cos2α=。

∴cos2α=。

又∵α∈(，π)，

∴2α∈(π，2π)，

∴sin2α=-

=-

=-，

∴sin4α=2sin2αcos2α

=2×(-)×

=-。

例5.已經cos(-α)=，且0<α<，求tan(α-)的值。

分析:觀察題目中的有關角，是特殊角，但不是，所以不宜將cos(-α)展開。那么怎樣由未知角α-轉化為已知角-α呢?首先將-α前面加負號:-(-α)，再補一個特殊角，使之與未知角α-相等，即α-=-(-α)。

略解:∵α-=-(-α)，

∴tan(α-)=tan[-(-α)]

=。

再求出sin(-α)的值，進而得到tan(-α)的值，即可得答案:。