函數極限兩個重要定理的教學方法初探

摘 要: 極限的概念和思維方法在高等數學中占有重要的地位，它貫穿于整個高等數學的始終。本文作者介紹了在計算函數極限時經常使用的兩個重要定理的教學感想。

關鍵詞: 函數極限 無窮小 復合函數

1.引言

高等數學是工科院校最重要的基礎課程，又是理工科學生進入大學首先必須接觸的課程之一，具有高度抽象性、嚴密邏輯性和廣泛適用性。它既是學習后繼課程的基礎，又是對大學生思維習慣和學習方法的訓練。而且，中學與大學的學習方式和思考問題的方法有較大的區別。所以，從中學升到大學的學生，常常對大學的教學方式感到困惑或難以適應。因此，高等數學教師就必須承擔起讓他們盡快從中學的學習和思維方式轉變到大學的學習和思維方式的引導任務。高等數學的教學就需要從思維習慣和學習方法上加以改變，教學應以培養分析思維能力、解決實際問題的能力為主要目標。

函數極限是高等數學中最抽象的概念，是高等數學的難點和重點，高等數學中的許多概念和定理都與極限有關。從連續到導數、從微積分到級數等都是用極限來定義的，極限貫穿了高等數學的始終。因此，全面掌握函數與求極限的方法及技巧是學好高等數學的基本要求。下面兩個定理在求解函數極限時起了極其重要的作用。

定理1[2]:有界函數與無窮小的乘積是無窮小。

定理2[2]:設函數y=f(g(x))由函數u=g(x)與函數y=f(u)復合而成，g(x)的值域包含在f(u)的定義域中。若g(x)=u，且函數y=f(u)在u=u連續，則:f(g(x))=f(u)=f(u)= fg(x)。

我在教學過程中發現有部分學生對上述定理只是單純地記憶和應用，只是機械性地去計算極限，而不是加以理解性地應用，這與鍛煉數學的思維方法和解題思路相違。因此，為了加深學生對上述兩個定理的理解和應用的熟練程度，教師需要適當地講解一些相關例題，讓他們加深理論基礎、計算方法的能力和技巧。

2.利用定理巧解函數極限

下面我從幾個實例來闡述在教學過程中對這兩個定理的應用。

例1.求，其中α>0。

分析:當x→∞時，分子及分母的極限都不存在，故關于商的極限的運算法則不能應用。但把分解為與sinx的乘積，由于為當x→∞時的無窮小，而sinx是有界函數，則根據上述定理1就有:=·sinx=0。

例2.求。

分析:把分解為xsin與的乘積。當x→0時，函數f(x)=x為無窮小;雖然函數g(x)=sin的極限不存在，但g(x)是有界函數;利用定理1可得xsin=0。再利用第一個重要極限的結論，知=1。于是有:=·xsin=1·0=0。

定理2的結論可以看作求連續復合函數的極限時，連續函數符號與極限符號交換次序的理論基礎，即先取極限后求函數值，該方式可簡化求復合函數極限的過程。

例3.求。

分析:利用對數函數的性質，上述函數可等價變形為f(x)=log(1+x)。顯然，它是由函數f(u)=logu與u=(1+x)復合而成。由第二個重要極限結論知:(1+x)=e;又函數f(u)=logu在u=e處連續，于是根據定理3可得:=log(1+x)=log(1+x)=loge=。

例4.求(1+2x)。

分析:利用對數函數的性質，則f(x)=(1+2x)=e。可以分解為f(u)=e與u=6··ln(1+2x)復合，且6··ln(1+2x)·又分解為與ln(1+2x)的乘積。根據極限乘法法則及兩個重要極限的結論，可得:

6··ln(1+2x)=6··ln(1+2x)=6e，

又函數f(u)=e在u=6e處連續，于是根據定理2可得:

(1+2x)=e=e=e=e。

3.結語

本文將教學過程中遇到的困惑提出來，目的是提醒學生不能只重視計算方法，應把計算過程及方法的理論基礎弄清楚，奠定扎實的理論基礎。我們通過對例題的分析和求解方法分析，使學生加深了對道理的理解，加強了定理的應用能力，達到了預期的效果。

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