如何判定二元函數的可微性

摘 要: 判定二元函數的可微性，關鍵要理解二元函數連續、偏導數存在、方向導數存在、偏導數存在且連續這四個概念與可微之間的關系。本文著重分析這四種關系，給出判定二元函數在某點可微的方法。

關鍵詞: 二元函數 連續 偏導數 可微 方向導數

對于一元函數，可微性比較容易判定。因為一元函數在某個點連續、可導、可微這三個概念的關系是很清楚的，可簡單地表示為:可微?圳可導?圯連續。

而關于二元函數可微性的判定卻較復雜，因為二元函數中連續、偏導數存在、方向導數存在、偏導數連續與可微之間的關系比較復雜。為了便于學生進一步理解多元函數全微分的概念，正確判定多元函數的可微性，下面我們通過一些具體的例子來分析這四種關系。

一、二元函數全微分的定義

二元函數z=f(x，y)在點M(x，y)的鄰域內有定義，給x、y以改變量△x、△y，得到z的全改變量△z=f(x+△x，y+△y)-f(x，y)=A△x+B△y+o(ρ)，(ρ→0)。

A、B僅與點(x，y)有關，而與△x、△y無關，ρ=，則稱z在(x，y)可微，A△x+B△y稱為z=f(x，y)的全微分，記作dz=A△x+B△y。

二、二元函數可微的三個必要條件

定理1:若z=f(x，y)在點M(x，y)可微，則f(x，y)在點M的兩個偏導數存在，且f(x，y)=A，f(x，y)=B。

證明:若z=f(x，y)在點M(x，y)可微，

即有:△z=A△x+B△y+o(ρ)。

當△y=0時，上式仍成立，此時ρ=|△x|，

f(x+△x，y)-f(x，y)=A△x+o(|△x|)……①

①式兩邊同時取△x→0時的極限有:

=A=f(x，y)，所以偏導數f(x，y)存在，同理f(x，y)存在。

注意:定理1的逆命題不成立。即:偏導數存在是可微的必要非充分條件。

例如:f(x，y)= (x，y)≠(0，0)0(x，y)=(0，0)，

因為f(0，0)==0，

同理，f(0，0)=0，兩個偏導數均存在。

但=不存在，

即△z-[f(0，0)△x+f(0，0)△y]不是較ρ高階的無窮小，從而推知f(x，y)在(0，0)處不可微。

由定理1及全微分的定義可總結出如下兩點:

(1)若f(x，y)在點M的偏導數不存在，則z=f(x，y)在點M(x，y)不可微。

(2)當ρ→0時，考察△z-[f(x，y)△x+f(x，y)△y]是否為的高階無窮小。若是，則可判斷f(x，y)在點(x，y)可微;若非，則可判斷f(x，y)在點(x，y)不可微。

定理2:若z=f(x，y)在點M(x，y)可微，則f(x，y)在點M連續。

證明:因為z=f(x，y)在點M(x，y)可微，

所以，△z=f(x+△x，y+△y)-f(x，y)，△z=0。

從而f(x+△x，y+△y)=[f(x，y)+△z]=f(x，y)，

故函數z=f(x，y)在點M(x，y)連續。

注意:定理2的逆定理不成立。即:連續是可微的必要非充分條件。

例如:f(x，y)=|x|+|y|在點(0，0)連續，但當y=0時，

f(0，0)==顯然不存在，同理f(0，0)也不存在。

兩個偏導數不存在，當然f(x，y)在點(0，0)處不可微。

由定理2可推知:若z=f(x，y)在點M(x，y)不連續，則f(x，y)在點M不可微。

定理3:若z=f(x，y)在點M(x，y)可微，則f(x，y)在點M處沿任何方向l的方向導數存在，且f(x，y)=f(x，y)cosα+f(x，y)cosβ(其中cosα，cosβ為l的方向余弦)。

證明:由于函數在M(x，y)可微，則增量可表示為:

f(x+△x，y+△y)-f(x，y)=f(x，y)△x+f(x，y)△y+ o(ρ)

等式兩邊同時除以ρ，得:

=f(x，y)+f(x，y)+

從而有:f(x，y)=

=[f(x，y)+f(x，y)+]

=f(x，y)cosα+f(x，y)cosβ

注意:定理3的逆定理不成立。即:方向導數存在是可微的必要非充分條件。

例如:f(x，y)= (x+y≠0)0 (x+y=0)在點(0，0)處有f(0，0)==0及f(0，0)==0，

于是由方向導數定義，在(0，0)點沿任何方向l有:f(0，0)=0。

但= ①

(1)當點(x，y)沿直線y=x趨于點(0，0)時，①=;

(2)當點(x，y)沿直線y=0趨于點(0，0)時，①=0。

所以①的極限不存在，即△z-[f(0，0)△x+f(0，0)△y]不是較ρ高階的無窮小，從而推知f(x，y)在(0，0)處不可微。

三、二元函數可微的一個充分條件

定理4:若z=f(x，y)在點M(x，y)的某一鄰域內存在偏導數f、f，且它們在點M處連續，則z=f(x，y)在點M可微。

證明:由于偏導數在點M(x，y)連續，0<θ，θ<1，α=0，

△z=f(x+△x，y+△y)-f(x，y)

=[f(x+△x，y+△y)-f(x，y+△y)]+[f(x，y+△y)-f(x+y)]

=f(x+θ△x，y+△y)△x+f(x，y+θ△y)△y

=[f(x，y)+α]△x+[f(x，y)+β]△y

=f(x，y)△x+f(x，y)△y+α△x+β△y

而||≤|α|+|β|，

所以△z=f(x，y)△x-f(x，y)△y+o(ρ)，即f(x，y)在點M可微。

注意:定理4的逆定理不成立。即:偏導數存在且連續是可微的充分非必要條件。

例如:f(x，y)=(x+y)sin (x+y≠0)0 (x+y=0)，

因為f(0，0)===0，同理:f(0，0)=0，所以f(x，y)在(0，0)點的偏導數存在。

又f(x，y)=2xsin+(x+y)cos(x+y≠0)0 (x+y=0)

所以f(x，y)=(2xsin-cos)，

其中2xsin=0，

而 cos中，若取路徑y=x，

顯然cos=cos不存在，所以f(x，y)不存在。

因此f(x，y)在點(0，0)處偏導數存在但不連續。

而 =

(△x+△y)sin=0，所以f(x，y)在(0，0)點可微。

關于二元函數在某點連續、偏導數存在、方向導數存在、偏導數存在且連續與可微之間的關系可表述如下圖:

函數連續

偏導數存在且連續?圯 可微?圯方向導數存在

偏導數存在

四、結語

綜上所述，可總結出如下判別f(x，y)在點(x，y)是否可微的方法:

1.若f(x，y)在點(x，y)不連續，或偏導不存在，則若f(x，y)在該點必不可微;

2.若f(x，y)在點(x，y)的鄰域內偏導存在且連續，則若f(x，y)在該點必可微;

3.當ρ→0時，檢驗△z-[f(x，y)△x+f(x，y)△y]是否為的高階無窮小。若是，則可判斷f(x，y)在點(x，y)可微;若非，則可判斷f(x，y)在點(x，y)不可微。

參考文獻:

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