條件“點在曲線上”用法探究

解析幾何中，“點在曲線上”這一條件經(jīng)常出現(xiàn)在各種數(shù)學(xué)問題中，由于這一條件不易被初學(xué)者掌握，因此本文從“如何用”這個角度來探究。

一、引入點的坐標(biāo)(x，y)，用消元思想減少變量

條件“點在曲線上”一般方法是，引入點的坐標(biāo)(x，y)，讓x，y參加運(yùn)算，這樣比較直接。

例1.已知點P(x，y)在雙曲線x2-2y2=4上，求x+y的取值范圍。

分析:如果式子x2-2y2=4中的x，y用一個元素表示另一個元，這樣式子x+y中會出現(xiàn)根號，且有兩種情況，問題太復(fù)雜，我們不妨換位思考，從結(jié)論入手，注意到x+y中的x，y都是一次的，不妨整體換元，設(shè)x+y=t，則y=t-x，代入曲線方程中，就可以用x限制出t的范圍，注意x?綴(-∞，-2]∪[2，+∞)。

二、引入點的坐標(biāo)(x，y)，用另一組量替代x，和y

數(shù)學(xué)中，選取適當(dāng)?shù)牧孔鳛榻忸}過程中參加運(yùn)算的量往往在解決問題中起到了重要作用，如常見的換元法和整體參加運(yùn)算等數(shù)學(xué)方法和技巧。

例2.經(jīng)過點P(3，0)的直線L與雙曲線x2-2y2=4相交于A，B兩點，求線段AB的中點Q的軌跡方程。

分析:設(shè)點Q(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x-2y=4①，x-2y=4②，x1+x2=2x③，y+y=2y④。

由①②可得(x1+x2)(x1-x2)-2(y+y)(y-y)=0，

即(x1-x2)x-2(y-y)y=0⑤

由四點P，Q，A，B共線，利用共線可得:

(x1-x2)(x-3)+(y-y)(y-0)=0⑥

由⑤⑥可得點Q的軌跡方程為x2-2y2-3x=0。

點評:本問題中直線上有兩點在曲線上，一種方法是設(shè)出直線方程x=my+3(特殊情況y=0單獨驗證)，與雙曲線聯(lián)立方程組，用根與系數(shù)的關(guān)系解決，這里雖然只引進(jìn)一個基本變量m，但運(yùn)算量大，而上面的分析采用的是“點差法”，其中x1+x2，y+y與線段AB的中點有關(guān)，而x1-x2，y-y與直線AB的斜率有關(guān)，一般來說，如遇到與中點及斜率有關(guān)的問題用“點差法”比較方便 。

三、引入一個元設(shè)出點的坐標(biāo)，用減元思想使目標(biāo)更明確

數(shù)學(xué)中，我們總是想方設(shè)法減少變量的個數(shù)，因此，在用“點在曲線上”這一條件時，我們可直接用一個元設(shè)出點的坐標(biāo)。

例3.設(shè)點P在橢圓x2+2y2=4上，求x+y的取值范圍。

分析:設(shè)點P(2cos?茲，sin?茲)，則x+y=2cos?茲+sin?茲=sin(?茲+?漬)，其中?漬=arctan，

所以x+y的取值范圍是[-，]。

點評:此法又稱參數(shù)法或三角換元法，而本質(zhì)是用第三個元?茲替換原來的兩個元x，y以減少元的個數(shù)。可見當(dāng)我們用x，y中的一個表示另一個比較復(fù)雜時，可設(shè)法尋找第三個元，這個元的標(biāo)準(zhǔn)是使問題簡單些。

四、挖掘點的幾何特征，用幾何法簡化過程

解析幾何主要是研究幾何問題，而有時借助曲線的幾何意義去看問題就顯得直觀、明了，因此更易解決。

例4.設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓+=1的兩個焦點，P為橢圓上一點，若△PF1F2為直角三角形，且PF1>PF2，求PF1:PF2的值。

分析:PF1+PF2=6，|F1F2|=2。所以若∠PF2F1為直角，由PF=PF+F1F可求得PF1:PF2=2。

點評:若在本題中設(shè)P(x，y)用兩點間的距離公式及勾股定理，列出關(guān)于x，y的關(guān)系式，計算量就偏大。如果研究的問題與焦點有關(guān)，常用圓錐曲線的定義中的幾何關(guān)系完成，又如點在圓或直線上，我們則常用平面幾何知識去審題。

(唐山市豐南區(qū)第一中學(xué))