排列\\組合中的能力素質培養方法

排列組合是高中數學的重點和難點之一，也是進一步學習概率的基礎，也是高考的必考內容。下面僅就排列、組合中的能力素質培養問題做一些探討。

一、 學會“分類”，是解排列、組合問題的關鍵

對于一個較復雜的應用問題，一下子把排列數或組合數求出來，常常是不可能的，因此需要將該事件進行分類，分類的要求是標準要前后一致，做到不重、不漏、一般來說，有兩種分類辦法。一種是窮舉法:按某一個條件將所有可能的情況一一列舉分類，且各類之間沒有相同的辦法。第二種是兩分法:按某條件A分為滿足A、不滿足A兩類，再對這兩類按兩分法分類，直至每一類都可以用乘法原理計算方法種數。例如:用0、1、2、3、4、5、6這7個數字能組成多少個數字不重復比2351046大的數?解:分類標準是比2351046大，從高位向低位逐次分類。分類1:百萬位數字是3、4、5、6時，有A41.A66個數。分類2:百萬位數字是2，十萬位是4、5、6時，A31.A55個數。分類3:百萬位數字是2，十萬位是3，萬位是6，A44個數。分類4:百萬位數字是2，十萬位是3，萬位是5，千位是4、6時，A21.A33個數。分類5:百萬位數字是2，十萬位是3，萬位是5，千位是1，百位是4，6時，有A21 .A22個數。而百位是0的數只有后兩位排成64才比已知數大。所以，比2351046大的七位數有A41.A66+ A31.A55+ A44+ A21.A33+ A21 .A22+1=3281(個)。

二、 掌握特元法和特位法

特殊條件優先是解排列、組合問題的一個原則，而特元法或特位法是這一原則的體現。特元法或特位法是指在需排列的元素中某些元素有特殊要求，或是某個位置有特殊要求。此時，可先考慮此元素或此位置的排列辦法，再考慮其他元素的排列辦法。例如:8個人排成一排，某人既不站在排頭，也不站在排尾，有多少種排法? 解法1:從位置考慮，因為頭與尾不能排某人，故先從其他7個人中選2人打頭和排尾，有A72種排法。再讓其余的6 個人(含某人)排在中間6個位置上，有A66種排法。根據乘法原理，共有A72.A66 =30240(種)。解法2:從元素考慮，因為某人既不打頭也不能排尾，故先讓他排在首尾之間的任意一個位置上，有 A61種排法。然后讓其他7個人排在其他7個位置上，有A77種排法。根據乘法原理，共有A61. A77 =30240(種)。解法3:讓元素插空考慮，先讓除某人以外的7個人排隊，有A77種排法。因為某人既不打頭也不能排尾，故讓他插到這7個人之間的6個空擋中去，有 A61 種排法。根據乘法原理，共有A77. A61=30240(種)。解法4:先不考慮限制條件，8個人排成一排有A88種排法，而其中某人打頭或排尾的排法有2A77 種應減去，所以符合題意的排法共有A88-2A77=30240(種)。

三、 正確運用排除法

排除法的依據是容斥原理，而在排列、組合中，常用到容斥原理的特例:結論1:n(I)=n(A∪ )=n(A)+n();結論2:n(I)=n(A∩B)∪=n(A∩B)+n()+n()-n(∩)。用排除法解題時，應先設是全集I，集合A、B、、等的含義，再利用容斥原理。例如:甲、乙等6人排成一隊，甲不站在排頭，乙不站在排尾，有多少種排法?解:設I= {6人任意排的排法}，A={甲不在排頭的排法}，則={甲在排頭的排法}，類似定義B、分別為乙不在排尾和乙在排尾的排法，則欲求n(A∩B)，所以n(A∩B)=n(I)-n()-n()+n(∩)= A66-A55-A55+ A44=504(種)。注意:在實際問題中A、的表述，如:A:至少一個a、:沒有a;A:至少兩個a、:沒有a或一個a;A:都不相鄰，;不都相鄰(而不是都相鄰)。A:a或b去，:a、b都不去。有限制條件的組合問題，主要有“含”與“不含”，“至少”與 “至多”等問題，解決方法分直接法與間接法，而“至少”問題往往可采用排除法。例如:50件產品中有3件是次品，從中任意抽取4件，至少有1件次品的抽法有多少種?解:從50件產品中任意抽取4件，有C504種抽法，沒有次品的抽法共有C474種，因此，至少有1件次品的抽法有C504-C474=51935(種)。

四、 培養建立排列、組合模型的能力

某些比較復雜的問題通過分析將其轉化為最基本的排列與組合問題，可以合理運用直觀圖，如“數圖”，“方框”等，使問題具體化。例如:A、B、C、D為海上的四個小島，要建三座橋，將這四個島連接起來，不同的建橋方案共有多少種。分析:若就題目本身來考慮，則較煩瑣。但是，把問題歸結為如下兩個排列模型，則簡單明了。①□?圮□?圮□?圮□ 將A、B、C、D排在四個框里，有A44=24(種)。

②將A、B、C、D按箭頭單方向填在方框里，有4種排法。

(先將A、B、C、D之一填在箭頭起始處，其余只有一種排法)，所以共有24+4=28(種)建橋方案。

排法組合這一節內容與實際生活密切相連，同時題型多樣，思路靈活，因此對于這部分內容進行能力素質培養具有重大意義。

(凌源市職教中心)