利用概率方法證明數學命題

摘要:概率方法的應用已成為概率論的一個很新穎的方向。下文利用概率方法證明了其他數學領域中的一些數學命題，例如代數恒等式、組合恒等式和積分不等式等等。

關鍵詞:概率方法;數學證明;隨機模型

20世紀以來，起源于機會游戲的概率論飛速發展，已經成為一門理論嚴謹的數學科學。其內容豐富，結論深刻，趣味性濃厚，有獨特的思想和方法。并且概率論的應用很廣泛，其中運用概率論的思想方法來解決其他數學領域中的問題已成為概率論的一個很新穎的方向。下文將利用概率方法證明其他數學領域中的一些數學命題。例如利用概率方法證明代數恒等式、組合恒等式和積分不等式等。利用概率方法的關鍵，是根據不同的數學問題，巧妙建立隨機模型，然后利用概率論中的相關知識來解決該數學問題。

一、 利用概率方法證明一些代數恒等式

例1:求證:1+++#8226;#8226;#8226;+=.證明:建立隨機模型，假設口袋中有N個球，其中m個為白球，從中每次取出一球，不放回。令A=“遲早取到白球”，則有P(A)=1。令 A=“前i次取球，只有第i次取出的球為白球”，i=1，2，3#8226;#8226;#8226;N+m-1，則有P(A)=P(A)=P(A)==+++#8226;#8226;#8226;+.故++#8226;#8226;#8226;+=1.所以，1+++#8226;#8226;#8226;+=.

二、 利用概率方法證明一些組合恒等式

例2 :求證CCC=C，s=0，1，2，#8226;#8226;#8226;，n+n+n.證明:建立隨機模型:設~b(n，p)，i=1，2，3且，，相互獨立，記1-p=q，則有P(++=s)=P(=k，=k，=s-k-k)=P(=k)P(=k)P(=s-k-k) =CpqCpqCpq=CCCpq，s=0，1，2，#8226;#8226;#8226;，n+n+n.另一方面，可以認為是n+n+n重貝努里試驗中前n次試驗中成功次數，是第n+1次到n+n次試驗中成功的次數，為從第n+n+1次到n+n+n次試驗中成功的次數，所以，++~b(n+n+n，p).故P(++=s)=Cpq，s=0，1，2，#8226;#8226;#8226;，n+n+n所以CCC=C，s=0，1，2，#8226;#8226;#8226;，n+n+n

三、 利用概率方法求級數的和

例3 :求證:e=. 證明:建立隨機模型:設#8226;#8226;#8226;為獨立同分布隨機變量，且P(=k)=e，即~P(1). 根據泊松分布的可加性，所以，~P(n)則 P(=k)=e，k=0，1，2，#8226;#8226;#8226;.而E()=n，D()=n.由中心極限定理，得P≤0=P≤0=P≤n=P(=k)=e=edt=.

例4 :求證:=1.證明:建立隨機模型:令E是只有兩個基本事件A與的隨機試驗，試驗E獨立重復進行可列無限多次，在第n次試驗中，A出現的概率為，不出現的概率為1-=.設B=“A首次出現在第n次試驗中”，則=“A在所用試驗中都沒發生”.P(B)=#8226;#8226;#8226;#8226;#8226;#8226;=，P===0.故 P(B)=P(B)==1.

四、 利用概率方法證明積分不等式

例5: 設?漬(x)，p(x)在(a，b)上可積，且?漬(x)有界，p(x)>0，g(x)是(a，b)上的凹函數，證明:g()≤.證明:建立隨機模型:設連續性隨機變量的密度函數為f(x)=，x∈(a，b).顯然f(x)滿足f(x)dx=1， 且f(x)非負.又設?濁=?漬()，所以E(?漬())=?漬(x)f(x)dx=?漬(x)dx=.而E(g(?漬()))=g(?漬(x))f(x)dx=g(?漬(x))dx=.因為g(x)是(a，b)上的凹函數，由Jessen不等式得，g(E(?漬(x)))≤E(g(?漬()))，故g()≤.

五、 利用概率方法證明積分的極限

例6:設G=(x，x，x，#8226;#8226;#8226;，x):x+x+#8226;#8226;#8226;+x≤，0≤x，x，x，#8226;#8226;#8226;，x≤1.

證明:?驀∫dxdx#8226;#8226;#8226;dx=1.證明:建立隨機模型:設隨機變量(n=1，2…)在[0，1]上服從均勻分布，且相互獨立，則有E()=，E()=，(n=1，2…).?驀∫dxdx#8226;#8226;#8226;dx=P((，，…，)∈G)=P(++…+≤)=P((++…+)≤)=P((++…+)-E()≤)≥P(-E()≤).由于，，…，，#8226;#8226;#8226;獨立同分布，所以，，#8226;#8226;#8226;，，#8226;#8226;#8226;也獨立同分布.由辛欽大數定律，得P(-E()≤)=1.由于1≥?驀 ∫dxdx…dx≥P(-E()≤)=1，所以?驀∫dxdx#8226;#8226;#8226;dx=1.

六、 利用概率方法證明數學中的一些重要定理

例7: 設a≥0(i=1，2，3，…，n)，則 a≤a.證明:建立隨機模型:設隨機變量的分布列為P(=a)=，(i=1，2，3，…，n).由Jessen不等式得 E (ln)≤ln(E).則lna≤ln，即a≤a.

參考文獻:

[1]茆詩松.概率論與數理統計教程[M].北京:高等教育出版社，2004.

[2]嚴士健.測度與概率[M].北京:北京師范大學出版社，2003.

(1.臺前縣第一高級中學，2.安陽師范學院數學與統計學院)