淺談滾動剛體的摩擦力

摘 要:摩擦力是我們生活中最平常的力，它直接影響我們的日常生活和產生不同的效應。摩擦力，就我們所學的知識來說它有不同的分類。本文主要是從實例出發談了一下生活中常見的物體先滾還是先滑的判斷條件，并詳細討論了對滾動剛體所受摩擦力的方向的簡易判法。

關鍵詞:摩擦力;靜摩擦力;滾動摩擦力

引言:摩擦力是我們日常生活離不開的一種力，自從盤古開天以來摩擦力伴隨著我們人類的發展而逐漸地讓我們大家對它有了新的認識和發現。本文主要從實例中提出物體先滾還是先滑的判斷條件，并詳細討論了對滾動剛體所受摩擦力的方向的簡易判法。

一、 滾動摩擦力

物體滾動時，接觸面一直在變化著，物體所受的摩擦力，稱為“滾動摩擦力”。它實質上是靜摩擦力。接觸面愈軟，形狀變化愈大，則滾動摩擦力就愈大。一般情況下，物體間的滾動摩擦力遠小于滑動摩擦力。在交通運輸及機械制造工業上廣泛應用滾動軸承，就是為了減少摩擦力。例如，火車的主動輪的摩擦力是推動火車前進的動力，而被動輪所受之靜摩擦則是阻礙火車前進的滾動摩擦力。

二、 剛體摩擦力方向的判斷

如果把剛體與接觸物均看做絕對剛體，就不必考慮滾動摩擦力矩的影響，以下討論均以此假設為前提。作純滾動的剛體，它與其他物體接觸點處的速度為零，因此觸點處如有摩擦力存在，必為靜摩擦力。由于靜摩擦力的大小和方向均與運動狀態有關，對我們來說，判斷較為困難。為此，我提出一個較為簡易的具體的判斷方法，如下。判斷作純滾動剛體的靜摩擦力的方向，可先假設其不受到靜摩擦力的作用，判斷出此時觸點相對于接觸面運動的加速度方向或運動趨勢，為保證剛體作純滾動，接觸點受摩擦力的方向應與假定無摩擦力時的加速度方向相反。這里所指的加速度是指觸點沿接觸面的切向加速度。

下面以實例說明。① 恒力F作用在半徑為r的均質小球的質心C處，使之在粗糙的平面上作純滾動，如圖1所示。若假定摩擦力f不存在，因F過質心，故小球有向F方向平動的趨勢，因此觸點A也有向F方向運動的趨勢，所以靜摩擦力f水平向左，以阻礙觸點A向右運動。② 若開始小球以角速度ω0，質心以速度V0。在水平面上向右作純滾動，在質心上作用一水平向左的外力F，如圖2所示。如果不考慮摩擦力，由于質心受到一水平向左的恒力F作用，會產生一向左的加速度，因而觸點A會產生一相同的切向加速度，而純滾動條件下觸點A處的速度為零，為了阻礙這種運動的趨勢，以保證點A處的速度仍為零而作純滾動，所以A點的靜摩擦力f一定水平向右，與F反向。③若是質量為m，半徑為r的小球在半徑為R的粗糙大球面底部作純滾動如3圖所示。則小球的質心要受到一個指向平衡位置O的切向外力F=mgsinθ作用，顯然觸點A有向點O運動的趨勢，所以摩擦力f仍與F反向，且總是背離平衡位置O，由于過了平衡位置后向上運動時，切向力F若調向了，所以摩擦力f也跟著調向，在平衡位置處因F=0，所以f=0，由此可知在來回滾動的過程中，f總是隨著切向力動的變化不斷由大到小再到零，然后又由零到小再到大，平衡位置即是f=0的那一點。與此相對應即可得知，小球沿斜面向下滾動時，摩擦力向上，小球沿斜面向上滾動時，摩擦力仍然向上。由于在斜面上運動切向力mgsinθ的大小不變可推知，此時摩擦力的大小也不變。由以上討論可知，只要外力F作用在剛體的質心上使之作純滾動，則摩擦力總是與外力反向，且為靜摩擦力。④若外力作用線不通過質心，此時觸點A處的摩擦力的方向不僅與外力的方向有關，而且還與力的作用線至質心的垂直距離有關。避免因作用力F不過質心平面而產生側向的旋轉，實際生活中產生此類運動的以圓柱體為多。

三、 “連滑帶滾”剛體所受的摩擦力

有些情況下，剛體并非作純滾動，而是既有滾動，又有滑動，稱之為“連滑帶滾” ，此時觸點與接觸面間的相對速度不再為零，剛體受到的摩擦力應為滑動摩擦力，條件ω0=rω不再成立，但f=uN產成立了。利用上面的判斷方法，也可先不考慮摩擦，判斷出觸點相對地面運動的方向，然后再判斷摩擦力的方向。例1:設一面粗糙一面光滑的平板，質量為M，光滑面放在水平桌面上，粗糙一面上放一質量為m半徑為r的球。若沿木板長度方向突然給木板一初速v0，問此球經多少時間以后開始滾動而不滑動?如圖4所示，由于木板向右運動，因而球的觸點A有向后運動的趨勢，所以其受到的摩擦力水平向右與v0同向，且f=uN。對小球用質心運動定理及相對質心的動量矩定理，可求出觸點A的速度表達式為V0+rω=ugt;再對木板用牛頓第二定律得其速度表達式為V=V0-ugt;當VA=V0時觸點A對板的相對速度為零，球開始作純滾動，此時f=uN不再成立。由此算出所經歷的時間為t=V0÷()ug。此后因觸點無相對運動的趨勢，且F=0，所以摩擦力f=0，小球將保持勻速滾動狀態不變。

小結:以上我們討論了純滾動或“連滑帶滾” 的剛體所受摩擦力的方向的判斷方法，至于摩擦力的大小，則可通過對剛體用質心運動定理及相對于質心的動量矩定理，聯列求解，并對純滾動加上約束方程a0=rω，對“連滑帶滾”用f=uN，即可求出摩擦力的大小。

參考文獻:

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(大連市經貿高級中學)