2009年高考數學應用問題的命題特點綜述

注重數學應用教育與考查，是當前我國數學教育一項不可或缺的重要內容，從2009年全國高考數學試卷看，數，學應用問題的命題方向依然堅持：數學模型百花齊放、以隨機性模型為主，背景結合現實、富有時代氣息，題型穩定、難度適中、適度考查數學建模創新能力，

一、隨機性應用問題，模型穩定，概率統計融合緊密。考查數據處理能力

概率與統計已經成為高中數學的主干內容，隨機思想的培養、統計方法的運用，成為世界各國高中數學課程的基本目標概率與統計是高中數學聯系實際的重要內容，由2009年全國37份高考文理數學試卷不難看到，除浙文、蘇、閩理、滬文理外，其余32份試卷都設有概率統計等隨機性數學應用問題的解答題，占86，5％，已成為近年高考數學應用問題的命題主流，

從知識內容看，隨機事件(互斥事件、對立事件、等可能事件、相互獨立事件等)的概率原理與取有限個值的離散型隨機變量的分布列、均值(數學期望)，隨機抽樣(簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣方法)、用樣本估計總體(統計圖表、平均數和標準差等數據的基本數字特征)、變量的相關性等主干知識，是考查的重點；從命題與解題方法看，貼近生活、背景公平、注重學科的內在聯系和知識綜合(如算法與統計的結合)、控制難度是命題的基本原則，沒有偏題難題怪題，注重通性通法；從數學能力看，著力考查閱讀理解(特別是現場閱讀理解)能力、數據處理與合理選擇運算途徑能力、數學建模能力等綜合能力，

1、分布列、數學期望等相關模型，核心知識重點考查

考查隨機事件的概率、離散型隨機變量的分布列與數學期望等相關模型，一直是理科數學高考的熱門話題，而文科則大多為理科的姊妹題(即去掉分布列與數學期望術語，轉而求復雜事件的概率)，以2009年高考數學應用問題解答題為例，京、湘、贛、陜、川、渝、全國I、全國Ⅱ等非課標卷，屬于姊妹題系列(鄂理也考查分布列與數學期望，但文科題不設；上海不設)；魯、皖、浙、津、遼等課標卷，理科主要考查分布列與數學期望，但文科則考核分層抽樣、莖葉圖、事件概率、獨立檢驗等，文理有別，

不難發現，對于分布列、數學期望等相關應用問題，加強隨機事件概念的深入理解，正確區分等可能事件、互斥事件、對立事件、相互獨立事件等的概率原理，把握特殊概率分布(如二項分布、幾何分布)的概率、期望公式，是正確解題的關鍵，

2、概率和統計知識緊密結合，關注新增內容，著力考核數據處理能力

概率和統計的有機結合是2009年課標卷高考數學應用問題命題的重要亮點，如廣東理17文18題、寧夏(海南)理18文19題、山東文19題、江蘇6題、安徽文17題、天津文18題等，都是以統計為主概率為輔的命題模式，著力考核頻率分布直方圖、莖葉圖、數據的基本數字特征、分層抽樣、事件概率等數據處理能力，

值得關注的是，隨著高中數學新課程高考的全面展開，變量的相關性、線性回歸方程、莖葉圖，幾何概型、超幾何分布、條件概率，獨立檢驗、假設檢驗、聚類分析、回歸分析等常見的統計方法等，將逐步進入高考數學試卷，考查新增內容初露端倪，自2007年廣東卷首次出現利用最小二乘法處理線性回歸方程試題后，2009年寧夏(海南)卷文理3題的變量相關性、遼寧卷文9題的幾何概型與20題零件品質的獨立檢驗等，都具有開創先河的意義，

二、確定性應用問題，模型多樣，重點知識常考常新

盡管概率統計應用問題主導著高考數學應用性試題，但排列組合、函數、不等式(線性規劃)、三角函數、向量、數列和立體幾何等傳統確定性數學應用題并沒有退出高考舞臺，各種模型爭奇斗艷、異彩紛呈，題量不多但有難度，突出重點知識重點考核的命題理念，

函數仍然是高考數學應用性試題的命題大戶，2009年湖南卷理19題是運用導數解決最優化問題的典范；而2009年山東卷理21題、江蘇卷19題、湖北卷文17題，都原于相同的數學應用問題模型y=f(x)=ax+b/x，這是繼2008年高考數學試題湖北文19題與廣東文17題、2006年湖南理卷清洗問題、2006年天津文理卷15題、2005年天津文理卷觀塔題、2004年上海卷木料制作題、2001年廣東河南卷宣傳畫問題、2001年春季上海卷鋼錠澆注容器題、1999年上海卷水溝題、1998年全國卷無蓋長方體沉淀箱題、1997年全國卷運輸成本題、1993年全國卷無蓋水池造價題等等之后又相繼出現的，常考常新，

三、注重數學本質，適度考查數學建模與創新能力

數學應用問題是由情節結構與數學(數量)關系結構有機結合的整體，而解決數學應用問題實質是把握情節并跳出情節，建立、解決并檢驗數學模型與應用問題情境是否匹配的過程，簡言之，解決數學應用問題需經歷用模(用數學語言符號表征問題情境與主要關系)、建模、解模、驗模四個基本環節，

總體而言，2009年高考數學應用問題堅持控制難度、以中檔題為主的命題思想，但適度考查了數學建模與創新能力，注重概念建模、突出解模過程、講究數學思維是其主要特征，如廣東卷理8題的甲乙車行駛路程的比較(定積分定義)、上海卷理17題文18題的新增疑似病例問題(眾數、中位數、均值、方差的概念)等，沒有清晰的數學概念與數學推理素養是無法正確解答的；上海卷理13題文14題的發行站間路程和最短問題、福建卷理15題文16題的循環報數游戲問題，則側重考核解模能力，缺乏過硬而靈活的數學運算求解能力只能望題興嘆；而廣東卷文10題的廣州2010年亞運會火炬傳遞最短路線距離問題，只需直覺思維與分類討論思想就可順利解決，主要考查思維量，突出情境創新，

總之，深入研究數學課標(大綱)，明確數學應用問題的教學要求，注重發展學生的數學應用意識，強調數學概念形成的背景，重視數學知識發生發展的過程，加強數學與日常生活及其他學科的聯系；突出數學閱讀理解能力的培養，把握如何從情節中挖掘數學關系、將日常語言轉化為數學語言從而建立數學模型；強化對高考數學應用試題及其背景的剖析，揭示其中蘊涵的常考常新的數學核心知識，這是2009年高考數學應用問題的命題特點賦予數學應用問題解決教與學的重要啟示。