對一道習題的解法探究及推廣

摘 要: 本文對一道高一數(shù)學題的解法進行了探究，獲得了五種解法，并對題目作出了一般性的推廣。

關鍵詞: 高一數(shù)學題 解法探究 推廣

一道在各種輔導材料里多次出現(xiàn)的題目[1]，[2]如下:

最常見的解法是數(shù)形結(jié)合。

解法一:畫出函數(shù)y=x2-2|x|+3的圖像。

圖像與y軸交于(0，3)，最低點是(-1，2)，(1，2)，

作圖像得，圖像最低點是(-1，2-k)，(1，2-k)，與軸交點為(0，3-k)，當且僅當3-k>0且2-k<0時，圖像與X軸有四個交點，所以2

解法一和解法二大同小異。它充分利用了函數(shù)的圖像，得到了簡潔的解答。問題是，本題中函數(shù)圖像的獲得恰好是一個難點。那么有沒有更自然的代數(shù)解法呢?

解法三:記|x|=y，方程x-2|x|+3=k有四個不相等的實根，當且僅當y-2y+3-k=0有兩個不相等正實根，于是:

Δ=4-4(3-k)>0y+y=2>0yy=3-k>0，

解不等式得:2

解法四:因為y-2y+3-k=0有兩個不相等正實根。

故得:Δ=4-4(3-k)>0，即k>2。

同時由求根公式得y=，解得2≤k<3。

所以，2

這兩個解法充分利用了一元二次方程知識，規(guī)避了作出圖像之難點，顯得自然簡潔。進一步探究，充分利用函數(shù)的性質(zhì)，獲得了以下的解法。

解法五:令

f(x)=x-2|x|+3-k=(x-1)+2-k(x≥0)(x-1)+2-k(x<0)，

f(x)是偶函數(shù)，故只需考查當x>0時，f(x)與x軸有兩個交點即可，此時函數(shù)為二次函數(shù)的一個部分。

x∈[0，1)時，f(x)為減函數(shù)，

x∈[1，+∞)時，f(x)為增函數(shù)，

x∈[0，1)時，圖像與x軸相交。

當且僅當f(0)f(1)<0，即(3-k)(2-k)<0，所以2

由對稱性知x∈(1，+∞)時，圖像必與x軸有一個交點。此時函數(shù)f(x)=x-2|x|+3-k與x軸有四個交點。

解法五:從一個側(cè)面反映了命題人之意圖，充分利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，體現(xiàn)了由局部研究整體和數(shù)形互化的思維方法。

利用以上解法一、解法二、解法五很容易得到本題的以下推廣。

因為ax+p|x|+q=r(a≠0)總可以化成x+b|x|+c=k的形式。

推廣:若b，c，k是實數(shù)，方程x+b|x|+c=k的實根情況如下。

1.當

2.當k=c時，方程有三個不相等實根。

3.當k=或k>c時，方程有兩個不相等實根。

4.當k<時，方程沒有實根。

證明:令f(x)=x+b|x|+c，作出f(x)的圖像。

圖像與y軸交于(0，c)，圖像最低點是(-，)、(，)。

由圖像得當c時，函數(shù)y=k與函數(shù)f(x)=x+b|x|+c有兩個交點;當k<時，函數(shù)y=k與函數(shù)f(x)=x+b|x|+c有一個交點。

參考文獻:

[1]三維設計——高中新課標同步課堂#8226;數(shù)學(必修一).南方出版社，2009.

[2]薛金星.中學教材全解#8226;高一數(shù)學.陜西人民教育出版社，2009.