數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的三個(gè)基本規(guī)律

[摘要]數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)教學(xué)適時(shí)適當(dāng)?shù)姆磋睔w真，可以有效地克服學(xué)生認(rèn)知上的障礙與困難；微觀教學(xué)有宏觀教學(xué)加入其中，一方面可使紛繁多頭的微觀教學(xué)內(nèi)容有清晰的主干脈絡(luò)，另一方面可以使學(xué)生有明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，目標(biāo)具有導(dǎo)向功能，并能夠激勵(lì)思維產(chǎn)生追求；既要培養(yǎng)學(xué)生的收斂思維，又要發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維，才能有效培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力和發(fā)現(xiàn)、發(fā)明以及創(chuàng)新能力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué)；返璞歸真；微觀教學(xué)；宏觀教學(xué)；收斂思維；發(fā)散思維

數(shù)學(xué)教學(xué)是傳授數(shù)學(xué)知識(shí)和培養(yǎng)能力的高級(jí)心智活動(dòng)，它有著自己的規(guī)律性，教學(xué)如果順應(yīng)這些規(guī)律性就會(huì)成功，否則就會(huì)失敗，然而這種規(guī)律性不像物質(zhì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律那樣，不僅能夠定性描述，而且能定量描述，它需要我們每一個(gè)從事數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的教師去認(rèn)真探索、研究和深刻體驗(yàn)，本文主要論述數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)教學(xué)要適當(dāng)?shù)姆磋睔w真，微觀教學(xué)要有宏觀教學(xué)加入其中以及數(shù)學(xué)教學(xué)既要培養(yǎng)學(xué)生的收斂思維，又要發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維等數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的三個(gè)基本規(guī)律。

1、數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)教學(xué)適當(dāng)?shù)姆佃睔w真，能有效克服學(xué)生認(rèn)知障礙與困難

前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家亞力山大洛夫指出：“數(shù)學(xué)的抽象性、嚴(yán)密性以及應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，”數(shù)學(xué)之所以抽象，是因?yàn)樗难芯繉?duì)象和研究方法都具有抽象性從研究對(duì)象上看，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象具有特殊的抽象形式和特殊的抽象高度，從而形成了數(shù)學(xué)對(duì)象的高度抽象，其他學(xué)科的抽象，往往還保留著事物的質(zhì)的內(nèi)容，例如，化學(xué)研究的是什么物質(zhì)(如水、二氧化碳等)的分子是由什么原子(如氫、氧等)組成的，明顯的保留著事物的質(zhì)的內(nèi)容，雖然研究中也涉及量的問題，但這個(gè)量的研究完全是為了質(zhì)的研究的需要，數(shù)學(xué)則不同，數(shù)學(xué)抽象僅保留了對(duì)象的“量”與“形”的特征，而完全徹底的舍去了質(zhì)的內(nèi)容，例如：“1”是從1個(gè)人、1棵樹、1只羊等客觀事物中抽象出來的，只保留了這些對(duì)象在數(shù)量上的特征，即量的多少，而根本不考慮這些對(duì)象究竟代表什么，又如，“圓”是從許許多多具體形體中抽象出來的“形”的概念，并不顧及它所代表的質(zhì)的內(nèi)容，不僅如此，而且“量”與“形”都已經(jīng)有了很大的發(fā)展，已經(jīng)不再僅僅是傳統(tǒng)意義上“量”與“形”，比如，量可以是數(shù)量，也可以是向量、張量等，正是由于數(shù)學(xué)對(duì)象的這種高度抽象性，使數(shù)學(xué)對(duì)象已不再局限于代表任何一種特定的物質(zhì)，從而應(yīng)用也就不受任何限制，具有廣泛性。

然而，也正是由于數(shù)學(xué)對(duì)象的這種高度抽象性，使數(shù)學(xué)對(duì)象已不再有任何的物質(zhì)含義，從而遠(yuǎn)離了人們的直接經(jīng)驗(yàn)，先天的造成了數(shù)學(xué)認(rèn)知上的困難與障礙，人們對(duì)一些空洞抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象確實(shí)不好理解，即認(rèn)知上的困難；因?yàn)殡y理解，也就很難懂得它有什么用，學(xué)它干什么，而且對(duì)它的真假性產(chǎn)生懷疑，當(dāng)這些問題得不到解答時(shí)，就會(huì)在心理上形成一種很大的阻抗，阻滯人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的灌注與吸收。即認(rèn)知上的障礙。

按照現(xiàn)代心理學(xué)原理，認(rèn)識(shí)一個(gè)新事物或接受一個(gè)新概念，就是將這個(gè)新事物或新概念同已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)或觀念銜接，并用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與觀念去詮釋新的事物與觀念，這個(gè)原理對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)理解是非常重要的，數(shù)學(xué)概念，對(duì)初學(xué)的人來說是一種全新的事物，從形式上來說它是一種超現(xiàn)實(shí)的東西，因而也是超經(jīng)驗(yàn)和超物質(zhì)的，要理解它，我們需要將它與人在物質(zhì)世界上取得的已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)相銜接，因此，如果教學(xué)中我們只是將定義、定理、推論一成不變的直接講授，效果肯定是不佳的，相反，如果教學(xué)中做適當(dāng)?shù)姆佃睔w真或?qū)⒊橄蟮母拍钗镔|(zhì)化，使學(xué)生了解這些抽象的數(shù)學(xué)概念是從哪里來的，它們是怎樣從現(xiàn)實(shí)的物質(zhì)世界中發(fā)源和發(fā)展起來的，它們有什么價(jià)值；一些數(shù)學(xué)思想方法是怎樣產(chǎn)生發(fā)展的，所學(xué)的學(xué)科是怎樣建立起來的，等等，就可以有效地克服認(rèn)知上的困難與障礙，使教學(xué)收到好的效果。

事實(shí)上，在科學(xué)發(fā)展的歷史上，任何一種新概念或新思想，都不是從天上掉下來的，而是人們?cè)谔剿魇澜绾驼J(rèn)識(shí)的發(fā)展過程中應(yīng)運(yùn)而生的，數(shù)學(xué)當(dāng)然也不例外，數(shù)學(xué)的任何分支都是更初級(jí)的內(nèi)容演化發(fā)展的結(jié)果，它之所以具有超物質(zhì)、超現(xiàn)實(shí)的形式，是由于它的高度抽象性，即對(duì)物質(zhì)的無限高度的概括，追本溯源，它們都是自現(xiàn)實(shí)發(fā)端的有源之水，有本之木，它們所包含的抽象概念、思想方法都有它們的背景和源泉，如幾何中的點(diǎn)、線、面等基本概念是理想化抽象的結(jié)果，現(xiàn)實(shí)世界中的水點(diǎn)、雨點(diǎn)、出發(fā)時(shí)的起點(diǎn)以及某學(xué)校所在的地點(diǎn)等都可以作為點(diǎn)的現(xiàn)實(shí)原型，這些實(shí)例中的點(diǎn)的物理性質(zhì)各不相同，大小也不一樣，而幾何中的點(diǎn)，則不具有任何的物質(zhì)性，且沒有大小，主要用來表示位置，再如解析幾何的產(chǎn)生，由于科學(xué)的發(fā)展已導(dǎo)致人們不能再僅限于用綜合幾何的方法來研究幾何問題了，比如開普勒發(fā)現(xiàn)了行星沿橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，伽利略發(fā)現(xiàn)拋出去的物體沿拋物線運(yùn)動(dòng)等，這些都要求數(shù)學(xué)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來研究和解決問題，要求提供數(shù)量的工具，從而促使人們把代數(shù)與幾何聯(lián)系起來，建立了用代數(shù)的方法來研究幾何問題的思想方法，于是解析幾何也就應(yīng)運(yùn)而生了，我們講數(shù)學(xué)，很多時(shí)候就是要把這個(gè)“運(yùn)”字講清楚。

在這里需要強(qiáng)調(diào)的是“適時(shí)適當(dāng)”，并且主要是指數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)教學(xué)，事實(shí)上，雖然數(shù)學(xué)是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的，是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界從一個(gè)方面的反映，其內(nèi)容是不依賴于認(rèn)識(shí)主體而存在的，但是數(shù)學(xué)對(duì)象是可以依靠邏輯的力量而不斷發(fā)展的，人們可以從少數(shù)極簡(jiǎn)單的規(guī)定，如數(shù)字、線段、弧、連線等出發(fā)，依靠邏輯的力量，通過心智活動(dòng)的反復(fù)構(gòu)造，推演出各種復(fù)雜離奇的數(shù)學(xué)對(duì)象，我們并不是也不可能對(duì)所有的內(nèi)容都亦步亦趨地重復(fù)原來的思維和發(fā)展過程。

2、微觀教學(xué)要有宏觀教學(xué)加入其中

數(shù)學(xué)教學(xué)中有這樣一種現(xiàn)象，一些學(xué)生覺得課是聽得懂的，但是一旦做起題來，只要題目稍有變化，就會(huì)感到茫然不知如何著手，也問不出什么問題來，這種現(xiàn)象實(shí)質(zhì)上就是不能把所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于新的情境之中，究其原因是多方面的，但最主要的是只注重微觀教學(xué)，忽視宏觀教學(xué)所形成的結(jié)果。

所謂微觀教學(xué)是指對(duì)課程各章節(jié)的具體內(nèi)容及各個(gè)知識(shí)點(diǎn)按教材編排的順序講授的教學(xué)，這是實(shí)體教學(xué)，顯然是非常重要的，所謂宏觀教學(xué)，是指從更高處以更廣的視野對(duì)課程內(nèi)容的審視，或?qū)φn程內(nèi)容全局性、宏觀性的概括，或?qū)φn程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)體系和思想方法的剖析，任何一門基礎(chǔ)課程都有很強(qiáng)的邏輯結(jié)構(gòu)性和獨(dú)特的思想方法，例如，用代數(shù)的方法來研究幾何是解析幾何獨(dú)特的思想方法，為了使幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化、數(shù)量化，首先引進(jìn)向量及其運(yùn)算，引進(jìn)坐標(biāo)系，然后以此為基礎(chǔ)從最簡(jiǎn)單最基本的幾何圖形開始循序漸進(jìn)的對(duì)幾何圖形展開研究，形成了解析幾何課程的結(jié)構(gòu)體系，一門課程的這種結(jié)構(gòu)性和思想方法是具體知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)必須加以理解和掌握的，數(shù)學(xué)教學(xué)如果只是僅僅限于微觀教學(xué)，那么就只能是讓學(xué)生處在一種無目標(biāo)意識(shí)的狀態(tài)下進(jìn)行盲目的機(jī)械式的模仿學(xué)習(xí)，這種學(xué)習(xí)所學(xué)到的知識(shí)只是一招一式，因?yàn)橹恢淙欢恢匀唬瑳]有學(xué)到真正的思想方法，當(dāng)然也就不能把所學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用于新的情境之中。

從教學(xué)法的角度看，處于無目標(biāo)意識(shí)狀態(tài)的機(jī)械式的模仿學(xué)習(xí)是一種被動(dòng)學(xué)習(xí)，現(xiàn)代認(rèn)知科學(xué)研究表明，認(rèn)知并非是一個(gè)被動(dòng)的反映過程，而是一個(gè)以主體已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主體構(gòu)造過程，因此，數(shù)學(xué)教學(xué)不能只注重微觀教學(xué)而忽視宏觀教學(xué)，微觀教學(xué)有宏觀教學(xué)加入其中，一方面可使學(xué)生的學(xué)習(xí)有明確的目標(biāo)，目標(biāo)具有導(dǎo)向功能，并能激勵(lì)思維產(chǎn)生追求；另一方面，可使紛繁多頭的微觀教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)出清晰的主干脈絡(luò)和條理性，使學(xué)生明確微觀教學(xué)中的各章節(jié)的具體內(nèi)容或本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是在做什么，明確它在整體課程體系中的地位以及應(yīng)用的是什么樣的思想方法等；自然，學(xué)生也就明確在做什么，怎樣做，為什么這樣做以及怎么會(huì)想到這樣做，即徹底明確了之所以這樣的道理，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，做到知識(shí)的遷移和創(chuàng)新。

當(dāng)然，因?yàn)榻虒W(xué)的宏觀性不是教學(xué)的實(shí)體內(nèi)容，因而也就不是明確的寫在教材中的，需要教師認(rèn)真的挖掘、總結(jié)和提升例如，就思想方法來說，沒有脫離數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)思想方法，同樣的，也沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識(shí)，任何一門數(shù)學(xué)課程的知識(shí)體系都貫穿著數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法兩條主線，每一章節(jié)乃至每一個(gè)命題，都體現(xiàn)著這兩條主線的有機(jī)結(jié)合，但是思想方法是一條暗線，是以隱性狀態(tài)融合在具體的數(shù)學(xué)知識(shí)之中的，因此，需要教師認(rèn)真的挖掘、總結(jié)和提升，另外，教學(xué)的宏觀內(nèi)容有時(shí)是一種不好言傳而又冥存的東西，因此，教學(xué)中要做到能動(dòng)地和潛移默化的向?qū)W生滲透，讓學(xué)生通過知識(shí)載體去領(lǐng)悟、去體驗(yàn)，比如。講一個(gè)新概念，不僅要使學(xué)生理解這個(gè)概念，而且要領(lǐng)悟到科學(xué)的抽象方法，講一個(gè)定理，不僅要講清定理的敘述、推理及其應(yīng)用，這是教學(xué)實(shí)體，是照本宣科部分，屬微觀教學(xué)；同時(shí)，還要通過該定理的教學(xué)，使學(xué)生體驗(yàn)到分析、演繹和綜合等數(shù)學(xué)思想方法，這是教學(xué)的宏觀性。

3、數(shù)學(xué)教學(xué)既要培養(yǎng)學(xué)生的收斂思維，又要發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維

現(xiàn)代心理學(xué)依據(jù)思維的指向性不同，把思維分為收斂思維和發(fā)散思維，所謂收斂思維，是指思考中信息朝一個(gè)方向聚斂前進(jìn)，其本質(zhì)和演繹推理一樣，所謂發(fā)散思維，是指思考中信息朝各種可能的方向發(fā)散，不局限于既定的理解，盡可能作出合乎條件的各種結(jié)論，收斂思維深刻，直線式的向問題的縱深方向發(fā)展；發(fā)散思維廣泛，立體式的展開，向各個(gè)不同的方向探索兩相比較，創(chuàng)造能力更多地與發(fā)散思維聯(lián)系在一起。

數(shù)學(xué)教育其中的一個(gè)重要目標(biāo)，就是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，有出息的數(shù)學(xué)教師總是希望能夠多培養(yǎng)出一些有創(chuàng)造發(fā)明的學(xué)生來，同時(shí)，從微觀數(shù)學(xué)方法論的角度來看，數(shù)學(xué)自身的發(fā)展也主要是靠數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)發(fā)明和數(shù)學(xué)論證兩大方面，因?yàn)槿绻麤]有數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)發(fā)明，則數(shù)學(xué)論證就成為無本之木，無源之水；反之，如果沒有數(shù)學(xué)的論證，那么數(shù)學(xué)命題是真是假就不得而知，因而數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)發(fā)明也就失去意義，因此，二者是相輔相成，互為補(bǔ)充，缺一不可的，然而，多少年來，數(shù)學(xué)的各門課程教材，都毫不例外地把數(shù)學(xué)知識(shí)力求組織成演繹結(jié)構(gòu)系統(tǒng)來進(jìn)行教學(xué)，這具有其歷史的必然性；首先，因?yàn)殡S著人類文化的發(fā)展，數(shù)學(xué)科學(xué)知識(shí)的龐大積累必須經(jīng)過篩選和提煉，把最重要最精粹的題材用演繹方法串聯(lián)起來，才能最有效的傳給后人，其次，人類知識(shí)的發(fā)展過程，也總是有歷史的階段性和邏輯演繹性，因而數(shù)學(xué)教材的選編，通常要反映歷史發(fā)展的順序和演繹推理的要求，但是，如果教學(xué)中只單純地過分強(qiáng)調(diào)邏輯演繹推理的訓(xùn)練，忽視非邏輯思維，則對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力是不利的，會(huì)將學(xué)生發(fā)現(xiàn)發(fā)明的萌芽淹沒在單純地和過分地演繹推理的海洋中。

只要瀏覽中外數(shù)學(xué)史就不難發(fā)現(xiàn)，許多具有深遠(yuǎn)意義的數(shù)學(xué)知識(shí)都是通過類比與歸納發(fā)掘出來的，許多解決問題的思想方法也可以通過類比得到，著名數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家拉普拉斯指出：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比，”開普勒也這樣論述：“我珍視類比勝過別的任何東西，它是我最信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，幾何學(xué)中它是最不能忽視的，”還有著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家G₀波利亞也論述了類比的重要性，指出：“求解立體幾何的問題往往依賴于平面幾何的類比，”這些科學(xué)家的實(shí)際經(jīng)歷是非常有說服力的，充分證明了類比與歸納在發(fā)明創(chuàng)造中的重要作用。

類比是根據(jù)不同的兩個(gè)(或兩類)對(duì)象之間在某些方面的相同或相似，從而推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蛳嗨频囊环N推理方法，歸納是通過對(duì)同一類事物的特殊對(duì)象的研究得出一般性結(jié)論的思維方法，然而，類比與歸納是靠聯(lián)想與猜想等心智活動(dòng)串聯(lián)想起來的，這些心智活動(dòng)形式能導(dǎo)致人們作出新的預(yù)見和判斷，能幫助人們發(fā)現(xiàn)真理，但是，它們是一種非邏輯的思維形式，屬于現(xiàn)代心理學(xué)上所說的“發(fā)散思維”，嚴(yán)格的邏輯分析和演繹推理屬于“收斂思維”。

其實(shí)，學(xué)生在解答數(shù)學(xué)習(xí)題的過程中也同樣是離不開發(fā)散思維的，為了找出最佳答案，就需要根據(jù)題目的條件和結(jié)論或者特點(diǎn)有針對(duì)性的展開聯(lián)想，或者聯(lián)想定義和規(guī)律。或者聯(lián)想常用的解題方法，或者聯(lián)想已解過的數(shù)學(xué)題，還可以聯(lián)想鄰近的學(xué)科知識(shí)等，與發(fā)散思維也是密切相關(guān)的。

因此，為了培養(yǎng)既有演繹推理能力，又有發(fā)明創(chuàng)造能力的學(xué)生，在教學(xué)中就不能只注重單純的傳授演繹性數(shù)學(xué)知識(shí)，就應(yīng)該既要培養(yǎng)學(xué)生的收斂思維，又要發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維。

總之，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)教學(xué)適時(shí)適當(dāng)?shù)姆磋睔w真，可以有效的克服認(rèn)知上的障礙與困難，微觀教學(xué)要有宏觀教學(xué)加入其中，才能使紛繁多頭的微觀教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)出清晰的主干脈絡(luò)和條理性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)有明確的目標(biāo)，激發(fā)學(xué)生的思維追求，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)主觀能動(dòng)性，既要培養(yǎng)學(xué)生的收斂思維，又要發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維，才能有效的培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力和發(fā)現(xiàn)、發(fā)明以及創(chuàng)新能力。