信息論思想在數學解題中給人們驚喜

摘要：從信息論的角度看，數學問題的解決過程就是信息的捕捉、處理、應用和跟蹤的過程。所以，從信息論的角度去分析和解決數學問題，可以作為一種特別的探求數學解題思路的方法。本文闡述了這樣的觀點，并介紹了兩種方法。

關鍵詞：信息論思想；數學解題；延伸條件；關注弱項

從信息論的角度看，數學問題的解決過程就是信息的捕捉(主要任務是收集與存儲信息，對應于數學解題中的審題過程)、處理(主要任務是提取與加工信息，對應于數學解題中的分析過程)、應用(主要任務是將處理后的信息進行有目的和有序的反饋，對應于數學解題中的解答過程)和跟蹤(主要任務是對反饋出去的信息進行跟蹤了解，對應于數學解題中的檢驗與反思過程)的過程——筆者稱之為用于探求數學解題思路的信息論思想。由此可見，從信息論的角度去分析和解決數學問題，可以作為一種特別的探求數學解題思路的方法。如果在應用常見的數學思想方法解題過程中，你還能有意識地用信息論思想幫助探求解題思路的話，那么你一定會發現，信息論思想在數學解題中常會帶給人們驚喜。

下面就介紹兩種捕捉信息的方法：

1. 延伸條件法

所謂延伸條件就是把已知條件(也可以是題目要求的問題。下同)向前推一至兩步或把條件變化一下。有時候看條件本身好像得不到我們需要的信息，按自己的經驗感覺不到條件延伸后的作用或不愿意將某些條件作有意識的延伸，但在解題思路遇阻的情況下，將條件有意識地延伸一下，你或許會發出“原來如此”的感嘆！

例1(2007北京高考數學試卷第20題)已知集合A={a，，a2，…ak}(k≥2)，其中ai∈Z(i=1，2，…，k)。由A中的元素構成兩個相應的集合：S＝{(a，b)|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={(a，b)|a∈A，b∈A，a-b∈A}。其中(a，b)是有序數對，集合S和T中的元素個數為m和n。若對于任意的a∈A，總有-aA，則稱集合A具有性質P。

(1)檢驗集合{O，1，2，3}與{一1，2，3}是否具有性質P，并對其中具有性質P的集合，寫出相應的集合S和T；

(2)對任何具有性質P的集合A，證明：n≤；

(3)判斷m和數的大小關系，并證明你的結論。

分析與簡評：這里只對第(3)問作分析。不少學生遇此感到無法下手，為何？好像就這兩個條件：集合S和集合T，看不出這兩個集合之間有什么關系(因為屬于S的元素推不出屬于T，反之亦然)，各自的元素個數m和他們又求不出來。怎么辦呢?我們需要捕捉隱藏在表面信息背后的信息。由于題目告訴我們這兩個集合之間肯定有某種關系，所以我們應該將這兩個集合的元素加以比較和聯系。將集合S和集合T的元素特征比較、關聯后再延伸一下，我們發現：若(a，b)∈S，則(a+b，b)∈T；若(a，b)∈T，則(a-b，b)∈S。顯然捕捉到這樣一個信息是解決問題的關鍵，因為下面再說明“若(a，b)與(c，d)不同，則(a+b，b)與(c+d，d)不同，(a-b，b)與(c-d，d)也不同”是自然的事，而且簡單。

2. 關注弱項法

有些題目條件復雜，其中有些條件與要解決的問題表面上看關聯度較低，給解題者的刺激較弱或印象不深，這些條件不妨稱為弱項條件，反之稱為強項條件或中項條件。弱項條件容易被解題者忽視，可有時找不到解題思路，就是因為沒有用到這些弱項條件。所以在解題思路遇阻的情況下，把弱項條件拿來試用一下，你或許會“柳暗花明又一春”。

例2一批物品，分為3種：超重、正常、過輕。超重用H表示，正常用N表示，過輕用L表示。現在要稱出物品屬于哪一種，如果物品超重就會顯示A，正常顯示B，過輕顯示C。由于位置偏移，超重顯示為正常的物品數占總數的15%，即P(B|H)=0.15，正常顯示為過輕的物品數占總數的10％，即P(C|N)=0.1，又已知H占15％，即P(H)=0.15，同樣，P(N)=0.75，P(L)=0.1。求：P(H|A)、P(N|B)、P(L|C)。

分析與簡評：很多學生都說這個題目少條件了，認為至少還要知道P(A|H)、P(A|N)、P(A|L)、P(B|L)才能用Bayes定理計算，而根據條件無法求出P(A|H)、P(A|N)、P(A|L)，P(B|L)。真的無法求出上面4個量嗎？不是。想想為什么有時超重卻顯示為正常，正常卻顯示為過輕呢？是因為“位置偏移”！“位置偏移”這個非數量化的條件沒有引起人們的注意，如果想到應用這樣一個條件的話，那么由題目的已知條件可以推出：P(A|H)=0.85，P(C|H)=0，P(A|N)=0，P(B|N)=0.9，P(A|L)=0，P(B|L)=0，P(C|L)=1，這下問題就簡單了!事后有人感嘆：我把問題復雜化了，或者說我們的注意力都集中到純概率問題上，如果能從信息論的角度去分析，我們應該能關注到“位置偏移”這樣一個弱項條件。

參考文獻：

[1]韋輝源.“信息論”在數學教學中的應用[J].

廣東教育(綜合版)，2007(5)．

[2]徐宏田.談信息加工模式在數學解題中應 [J].宿州教育學院學報，2002(4)．

（鹽城紡織職業技術學院）