數學教學中學生良好認知結構的建構

數學認知結構的基本成分是數學知識、數學思想方法和數學經驗，這三種基本成分在數學認知過程中起著不同的作用：數學思想方法起著決定戰略方向的作用，數學知識起著解決戰術問題的作用，而數學經驗起著如何運用這些戰略、戰術經驗的作用。數學認知結構不是它的基本成分的隨意堆砌，而是學習者在學習過程中，對大量數學知識、思想方法、經驗進行系統的加工、消化、整理，經過抽象、概括、歸納之后形成的一個有組織、有規律、有層次的整體結構。

一、注意知識的整體性教學，促使學生的認知結構層次分明

教師在教學中要有整體觀念，不能把每一個例題看做是孤立的，就題講題，而要很好地研究每一個例題的意圖，例題相互之間的聯系，該例題和前面的學習有什么樣的聯系，教后想前，不斷地使新舊知識形成網絡。要發展學生良好的數學認知結構，在教學過程中，要注意兩個方面的要求：

1. 注意知識組塊的教學

認知結構在學生頭腦里是呈模塊結構的。具體來講，源源不斷的新知識內化到頭腦里以后，在新舊內容相互作用的基礎上，學生將所掌握的數學知識形成若干系統，由此在頭腦里形成相應的數學知識板塊，板塊的大小和多少直接受所學數學知識內容的多少的制約和影響。呈板塊結構狀態的數學知識既便于儲存，又便于提取。孤立的知識教學不可能建立起層次分明和觀念緊密的教學系統。因此，新知識的教學不能孤立進行，應把新知識納入原有的觀念系統中進行整體考慮，是新知識與原有的相關知識相聯系，并把這些有聯系的知識點重新組織為一個更大的知識組塊。這樣，既有利于知識的保持，又有利于知識的檢索與應用。

例如，學完三角函數的誘導公式以后，如果不做進一步的組織加工，那么這些孤立的知識是難以保持和應用的。但如果教師引導學生把這些公式放在一起進行觀察、比較、分析，最后概括為新的知識組塊“奇變偶不變，符號看象限”，那么學生的數學認知結構就得到體系化。

２. 實施由整體到部分，再由部分到整體的教學

整體由部分構成，要把握整體，就要揭示整體的結構和特征。因此，教學應首先從整體到部分。在中學數學中，整體主要表現為一個小單元、一小節、一章和一門學科，部分則是一些具體的知識內容。我們可以將要學習的整體知識中的一些關鍵和重要內容提出綜合性的概括和描述，或提出相應的問題，造成學生認知上的沖突，接著從這一整體知識的研究對象、研究方法和用途等方面給學生一個全面的概述，使學生對這一知識單元有一個整體的認識，然后逐步學習每一部分的內容。因此，在掌握部分之后，我們要根據各個部分之間的關系（如從屬關系、交叉關系、矛盾關系、對立關系、邏輯關系等），把這些部分聯系起來，形成一個層次分明、類別清楚和聯系緊密的網絡結構。

二、加強數學思想方法的教學

數學思想方法是人們通過數學活動對數學知識形成的一個總的看法或觀點，它是人們學習和應用數學知識過程中思維活動的導航器，只有形成正確的數學觀點，掌握一定的數學方法，才能領會數學的本質，體會數學的真諦，快速有效地解決相應的數學問題。因此，數學認知結構的建構過程就必須突出數學思想方法的教學，幫助學生建構思想方法層次上的數學觀念，如配方法、換元法、反證法等基本方法，試驗、猜想、歸納、分析、綜合、演繹、類比等思維方法，以及方程思想、化歸思想、構造思想等更高層次的數學思想。

例1 已知點P是橢圓=1（a>b>0）上的一個點， F1、F2為橢圓的焦點，且∠ F1 P F2=α，求△F1PF2 的面積。

分析：由三角形面積公式S△F1PF2=|PF1|·|PF2|sinα可知問題轉化為求|PF1|·|PF2|的值。從以上八條信息中篩出有用的知識信息：

|PF1|+|PF2|=2a，要想求|PF1|·|PF2|只需平方，那么可得：

|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4a2①

式中出現了|PF1|·|PF2|，但同時也出現了多余項|PF1|2、|PF2|2 ，與①

式類比，聯想三角形的余弦定理，有 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosα=

|F1F2|2=4C2 ②

這樣，①-②消去多余項得出所要值|PF1|·|PF2|，那么S△F1 PF2 =·|PF1||PF2|·sinα=

雖然由一個知識信息，通過觀察、分析、聯想與類比，能在自己良好的認知結構中檢索或挖掘出許許多多的知識信息，但我們沒有必要將其一一列出，因為無用的信息反而會干擾解題思路與策略。只要我們平時善于觀察、分析、比較、概括和總結，有用的符合邏輯的知識信息會很快被辨別、篩選提取出來。解題時，我們還經常遇到這樣的情形：解題思路受阻、山重水復疑無路，返回來，再用心挖掘出一個隱蔽信息，往往柳暗花明又一村。可以說，知識信息越豐富，解題思路越開闊。而建立良好的認知結構，是理解、掌握和運用數學思想方法的有力保證。

從認知角度看，數學教學的根本任務就是塑造學生良好的數學認知結構，因此在教學中，教師要能深刻領會教材內容，遵循學生的認知規律，精心設計科學的教學程序，這對構建學生良好的數學認知結構能起到重要的作用。

參考文獻：

[1]林丁壽.關于促進學生認知結構發展的探索[J].數學教師，1996(1).

[2]何小亞.建構良好的數學認知結構的教學策略[J].數學教育學報，

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[3]吳琳.論數學認知結構及其數學建構[J].中學教育學報，2003(6).

（靖江市第二中學）