淺談實對稱矩陣有定性在經濟分析中的運用

摘要:通過實對稱矩陣有定性在計量經濟學和微觀經濟學部分擇優問題中的運用的探討，對相關經濟理論進行了數學定量解釋，幫助加深對相關經濟理論的理解。結合具體例子所作的詳細說明為理論的運用提供了一般方法，該方法為實對稱矩陣有定性理論在其他問題中的運用可以方便地移植。

關鍵詞:實對稱矩陣;有定性理論;經濟分析;擇優理論

中圖分類號:F12文獻標志碼:A文章編號:1673-291X(2010)33-0007-07

在當代各門學科中，經濟學已經成為應用數學知識最為普遍、最為深入的學科之一。其中，矩陣理論在經濟學的文獻中得到廣泛的運用。作為特殊矩陣的實對稱矩陣的有定性更是擇優分析中判定最優解不可或缺的有力工具。本文僅對實對稱矩陣的正定性、半正定性、負定性、半負定性在相關經濟分析中的運用進行初步探討。

一、實對稱矩陣有定性判別的主要方法

記A=(aij)n×n為n階方陣，=(xi)n×1為n維列向量，AT、T分別為A與的轉置矩陣和轉置向量。A=AT且aij∈R(i，j=1，2，…，n)，則A為n階實對稱矩陣。

1.相關定義

定義(1)設 f(x1，x2，…，xn)=TA為實二次型，A為實對稱矩陣，那么:

1) 對任意≠，恒有TA>0，則稱A為正定矩陣。

2) 對任意，恒有TA≥0，則稱A為半正定矩陣。

3) 對任意≠，恒有TA<0，則稱A為負定矩陣。

4) 對任意，恒有TA≤0，則稱A為半負定矩陣。

5) 若TA符號不定，則稱A為不定矩陣。

定義(2)設A、B都是n階對稱矩陣，若A-B為半正定矩陣，則稱A≥B。

定義(3)設A是n階矩陣，從中任取(i1，i2，…，ik)行和(i1，i2，…，ik)列，由其交點元素按原來次序排列而成的k階行列式，稱為A的一個k階主子式，記為|Dk|;從中取前k行、前k列，由其交點元素按原來次序排列而成的k階行列式，稱為A的k階順序主子式，記為|Ak|。……