淺談實對稱矩陣有定性在經濟分析中的運用

摘要:通過實對稱矩陣有定性在計量經濟學和微觀經濟學部分擇優問題中的運用的探討，對相關經濟理論進行了數學定量解釋，幫助加深對相關經濟理論的理解。結合具體例子所作的詳細說明為理論的運用提供了一般方法，該方法為實對稱矩陣有定性理論在其他問題中的運用可以方便地移植。

關鍵詞:實對稱矩陣;有定性理論;經濟分析;擇優理論

中圖分類號:F12文獻標志碼:A文章編號:1673-291X(2010)33-0007-07

在當代各門學科中，經濟學已經成為應用數學知識最為普遍、最為深入的學科之一。其中，矩陣理論在經濟學的文獻中得到廣泛的運用。作為特殊矩陣的實對稱矩陣的有定性更是擇優分析中判定最優解不可或缺的有力工具。本文僅對實對稱矩陣的正定性、半正定性、負定性、半負定性在相關經濟分析中的運用進行初步探討。

一、實對稱矩陣有定性判別的主要方法

記A=(aij)n×n為n階方陣，=(xi)n×1為n維列向量，AT、T分別為A與的轉置矩陣和轉置向量。A=AT且aij∈R(i，j=1，2，…，n)，則A為n階實對稱矩陣。

1.相關定義

定義(1)設 f(x1，x2，…，xn)=TA為實二次型，A為實對稱矩陣，那么:

1) 對任意≠，恒有TA>0，則稱A為正定矩陣。

2) 對任意，恒有TA≥0，則稱A為半正定矩陣。

3) 對任意≠，恒有TA<0，則稱A為負定矩陣。

4) 對任意，恒有TA≤0，則稱A為半負定矩陣。

5) 若TA符號不定，則稱A為不定矩陣。

定義(2)設A、B都是n階對稱矩陣，若A-B為半正定矩陣，則稱A≥B。

定義(3)設A是n階矩陣，從中任取(i1，i2，…，ik)行和(i1，i2，…，ik)列，由其交點元素按原來次序排列而成的k階行列式，稱為A的一個k階主子式，記為|Dk|;從中取前k行、前k列，由其交點元素按原來次序排列而成的k階行列式，稱為A的k階順序主子式，記為|Ak|。

定義(4)設A是n階矩陣，對≠，若A=λ，則稱λ是A的特征值，是屬于特征值λ的特征向量，其中λ是標量。

2.相關定理

定理(1)設A是n階實對稱矩陣，則A的n個特征值為A的特征方程|A-λE|=0的解，記為λ1，λ2，…，λn (重根按重數計算)。那么 λi∈R(1≤i≤n)。

定理(2)設A是n階實對稱矩陣，λi(i=1，2，…，n)是A的特征值，則有:

1)A是正定矩陣?圳λi>0，1≤i≤n。

2)A是半正定矩陣?圳λi≥0，1≤i≤n。

3)A是負定矩陣?圳λi<0，1≤i≤n。

4)A是半負定矩陣?圳λi≤0，1≤i≤n。

5)A是不定矩陣?圳λi符號不定，1≤i≤n。

定理(3)設是階實對稱矩陣，則有:

1)A是正定矩陣?圳|Ak|>0，1≤k≤n。

2)A是半正定矩陣?圳|Dk|≥0，1≤k≤n。

3)A是負定矩陣?圳(-1)k|Ak|>0，1≤k≤n。

4)A是正定矩陣?圳-A是負定矩陣。

5)A是半正定矩陣?圳-A是半負定矩陣。

定理(4)若n階對稱矩陣A是正定的，則A-1、A*也是正定矩陣，其中A-1是A的逆矩陣，A*是A的伴隨矩陣。

定理(5)設A(aij)n×k，且A的秩r(A)=k，則ATA=C=(cij)k×k是正定矩陣。

二、在計量經濟學古典線性回歸模型中的應用

(一)線性回歸模型的參數估計

1.線性回歸模型的基本假定

假定(1)(線性假定)

yt=β1xi1+β2βxi2+…+βkxik+εi (i=1，2，…，n)

其中，βi (i=1，2，…，k) ，是未知待估參數，εi是第i次觀測產生的隨機誤差項。

假定(2) (嚴格外生性)

E(εI|X)=0(i=1，2，…，n);X=(xij)n×k

假定(3) (無多重共線性)

r(X)=k，即矩陣X為滿列秩矩陣。

假定(4) (誤差的球面方差)

1)同方差E(ε2i|X)=σ2>0(i=1，2，…，n)

2)觀測值不相關E(εiεj|X)=0(i，j=1，2，…，n;i≠j)

2.模型的矩陣表示

記Ti=(xi1，xi2，…，xik)，=(β1，β2，…，βk)T

=(β1，β2，…，βk)T，=(β1，β2，…，βk)T，X=(xij)n×k

則假定(1)可以用下面矩陣表達式表示:

=X+

3.未知參數向量的最優估計值的確定(OLS估計值)

稱=-X為觀測的殘差向量，則εi=yi-T是第i期觀測的殘差。那么，n期觀測殘差的平方和為:

(yi-T)2=(-X)T (-X)

它是向量-X對自己的內積，也是向量與X向量距離的平方。現在的任務是尋找適宜的，使當用估計時，與X的距離最小。

顯然，T=(-X)T (-X)

=(T-TXT)T (-X)

=T-TX-TXT+TXTX

=T-2TX+TXTX(注:TXT為標量)

=T-2T+TA (注:≡XT，A≡XTX)

T不依賴于，對T求導時，其導數為零。

A是對稱矩陣，根據矩陣的微分知識可知:

=， =2A [1]

于是=-2+2A

由擇優一階必要條件:令-2+2A=?圯A=，得到唯一穩定點=A-1 ?圯=(XTX)-1XT(注:由假定(3)及定理(5)知道是正定矩陣，所以A可逆)

再考察擇優的二階充分條件，=2A。因為A是正定矩陣，所以2A也是正定矩陣，2A就是周知的海賽矩陣，由于海賽矩陣處處正定是為唯一絕對極小值的充分條件，因而，是T的最小值點。

(二)在OLS估計量的有限樣本性質證明中的運用

在OLS估計量的有限樣本性質中，有一個著名的高斯—馬爾科夫定理:根據古典線性回歸模型的基本假定，OLS估計量是有效的線性無偏估計量。換言之，對于任何一個的線性無偏估計量，都存在矩陣形式的關系式Var(|X)≥Var(|X)。

該定理證明過程如下:因是的線性函數，可以寫成=C，C是X的函數構成的矩陣。令D≡C-A或C≡D+A且A≡(XTX)-1XT，于是:

=(D+A)

=D+A

=D(x+)+(注:=X+與A=(XTX)-1

XT=)

=DX+D+

兩邊取條件期望得到:

E(|X)=DX+E(D|X)+E(|X)

因為與都是的無偏估計量，即E(|X)=E(|X)=

所以，DX+E(D|X)=，且E(D|X)=ED(|X)=

于是D=。若對于任意都要求D=成立，則必須滿足DX=O。因此，=D+，且-=D+(-)=(D+A)

(注:-=(XTX)-1XT-=(XTX)-1XT(X+)-

=((XTX)-1(XTX))+(XTX)-1XT-

=+(XTX)-1XT-

=(XTX)-1XT=A)

從而得到:

Var(|X)=Var(-|X)

=Var((D+A)|X)

=(D+A)Var(|X)(D+A)T (注:A與D都是X的函數)

=(D+A)(σ2In)(DT+AT)

=σ2(D+A)(DT+AT) (注:σ2是標量，In是n階單位矩陣)

=σ2(DDT+ADT+DAT+AAT)

注意到DAT=D((XTX)-1XT)T=DX((XTX)-1)T=O (注:DX=O)

ADT=(DAT)T=O

AAT={(XTX)-1XT}{XTX)-1XT}T={(XTX)-1(XTX)}(XTX)-1=(XTX)-1

于是Var()σ2{DDT+(XTX)-1} (注:DDT為半正定矩陣，且≥σ2(XTX)-1 (XTX)-1 +DDT-(XTX)-1 =DDT，

=Var(|X)

由定義(2)知DDT+(XTX)-1≥(XTX)-1)

最后一個等式成立是因為:

Var(|X)=Var{(-)|X} (注:不是隨機變量)

=Var(A|X)

=AVar(|X)AT(注:A是X的函數)

=AE(T|X)AT(注:用基本假定 (2))

=A(σ2In)AT

=σ2AAT

=σ2 (XTX)-1

可見這個重要定理的證明，實對稱矩陣的有定性起到了不可替代的作用。

三、無條件極值二階充分條件在微觀經濟學中的運用

(一)無條件極值的二階充分條件

設n元實函數f(x2，x2，…，xn)有連續的二階偏導數，并記≡fi、≡fij，由楊定理可知fij=fji。

*為極值點的一階必要條件是眾所周知的:

fi| = 0 (i=1，2，…，n)

而*為極值點的二階充分條件則需要考察如下形式的海賽(Hessian)矩陣:

H=f11 f12 … f1nf21f22… f2n… … … …fn1fn2… fnn

由于fij=fji，所以矩陣H為對稱矩陣。二階充分條件可敘述為:

(1)H在*為負定矩陣，則*為相對極大值點;H處處為半負定矩陣，則*為絕對極大值點;H處處為負定矩陣，則*為唯一的絕對極大值點。

(2)H在*為正定矩陣，則*為相對極小值點;H處處為半正定矩陣，則*為絕對極小值點;H處處為正定矩陣，則*為唯一的絕對極小值點。

(3)H在*為不定矩陣，則*不是極值點(鞍點)。

關于H有定性的判別方法，可以在定理(2)與定理(3)中選擇。

(二)二階充分條件的運用

1.多產品廠商問題

假設有一個完全競爭環境下的兩產品廠商。因在完全競爭環境下，兩商品的價格必然是外生的，分別用P10與P20表示。據此，廠商的收益函數為:

R=P10Q1+P20Q2

其中，Qi(i=1，2)表示單位時間內第i產品的產量。假設廠商的成本函數為:

C=2Q21+Q1Q2+2Q22

則其利潤函數可以寫成:

π=R-C=P10Q1+P20Q2-2Q21-Q1Q2-2Q22

下面要完成的任務是求出使π最大化的產出水平Q1與Q2的組合。為此，先求出利潤函數的一階偏導數:

π1(≡)=P10-4Q1-Q2

π2(≡)=P20-Q1-4Q2(1)

令二者等于零，為滿足最大化條件，得到方程組:

4114Q1Q2=P10P20

產生唯一解Q* =Q*1Q*2 =4P10-P204P20-P10

具體的，若P10=12，P20=18，則有Q*1=2，Q*2=4，這可能意味著單位時間的最大利潤為π*=48。

為確認此值的確是最大利潤，現在檢驗二階充分條件。從一階偏導數容易得到二階偏導數并得到如下海賽矩陣:

H=π11π12π21 π22=-4-1-1-4

因為|H1|=-4<0，|H2|=-4-1-1-4=15>0，所以H為負定矩陣。又因為順序主子式的符號與它們在何處記值無關，故H在本例中處處負定，從而Q*是唯一的絕對極大值(最大值)點。

2.多產品廠商在壟斷市場環境中的問題

仍假定廠商生產兩種產品。但由于市場環境發生了變化，收益函數必須反映如下的事實:兩產品的價格將隨產出水平的變化而變化。當然，價格隨產出水平變化的確切方式還有待于從廠商兩種產品的需求函數中求出。

假設對壟斷廠商產品的需求函數如下:

Q1=40-2p1+p2

Q2=15+p1-p2 (2)

以上兩個方程揭示出，兩種產品在消費中存在某種聯系。具體地說，它們是替代品，因為一種商品價格的提高將提高對另一種商品的需求。正如需求函數指明的，需求量Q1和Q2是價格的函數。就我們現在的目的而言，將價格表示為需求量的函數也許更方便一些。改寫需求方程如下:

-2p1+p2 =Q1-40

p1-p2=Q2-15

解方程組得:

p1=55-Q1-Q2

p2=70-Q1-2Q2 (3)

因而，廠商的總收益函數為:

R=p1Q1+p2Q2

=(55-Q1-Q2)Q1+(70-Q1-2Q2)Q2

=55Q1+70Q2-2Q1Q2-Q21-2Q22

若仍然假設總成本函數為:

C=Q21+Q1Q2+Q22

則利潤函數將為:

π=R-C=55Q1+70Q2-2Q1Q2-2Q21Q22(4)

目標函數的一階和二階偏導數如下:

π1=55-3Q2-4Q1 π2=70-3Q1-6Q2

π11=-4 π12=π21=-3 π22=-6

由一階必要條件得:

4Q1+3Q2=55

3Q1+6Q2=70

解得穩定點:Q*=Q*1Q*2= 87

又因為 H=π11π12π21π21=-4 -3-3 -6

現在求取H的特征值檢驗二階充分條件:解特征方程|H-λI2|=0

|H-λI2|=-4-λ -3-3 -6-λ=λ+4 33 λ+6=λ2+10λ+15=0

λ1，2==-5±<0

由于H的兩個特征值都小于零，故H處處負定，Q*確是π的唯一最大值點。

將Q*分別代入價格函數和利潤函數，可得:

P*=3946 π*=448

3.價格歧視問題

在單一產品廠商中，也會產生涉及兩個或多個選擇變量的最優化問題。譬如，可能會有這種情況:一個壟斷廠商在兩個或多個隔離的(如國內和國外)市場中銷售單一產品，因此必須確定向每個市場分別供給的數量，以使利潤最大化。一般而言，不同的市場會有不同的需求條件，如果在不同市場中需求彈性不同，利潤最大化就會涉及價格歧視問題。

假設存在三個隔離的市場。首先使用一般函數，稍后再討論數字的例子。假定廠商具有如下總收益函數和總成本函數:

R=R1(Q1)+R2(Q2)+R3(Q3)

C=C(Q)，其中Q=Q1+Q2+Q3

其中，Ri表示第i市場的收益函數。每個收益函數自然意味著特殊的需求結構，他與另外兩個市場的需求結構一般有所不同。另外，在成本方面，設定僅有一個成本函數，是因為一個廠商為所有三個市場供應產品。

現在利潤函數為:

π=R1(Q1)+R2(Q2)+R3(Q3)-C(Q)

其一階偏導數πi≡?鄣π/?鄣Qi (i=1，2，3)如下:

π1=R′1(Q1)-C′(Q)

=R′1(Q1)-C′(Q) (注:=1，i=1，2，3)(5)

π2=R′2(Q2)-C′(Q)

π3=R′3(Q3)-C′(Q)

令上述方程等于零，同時得到:

C′(Q)=R′1(Q1)=R′2(Q2)=R′3(Q3)

即MC=MR1=MR2=MR3 (注:MC為邊際成本，MRi為i市場的邊際收益)。

由于第i市場的收益為Ri=piQi，可以知道，邊際收益必然為:

MRi≡=pi+Qi

=pi(1+)=pi(1+)

其中，εdi為第i市場的點彈性，通常為負。因此，MRi與pi之間的關系可由下面方程表示:

MRi=pi(1-) (6)

因為|εdi|一般是pi的函數，因此當Q*i選定時，p*i便確定了，|εdi|也將取定為一具體的值，它或大于1，或等于1，或小于1。但當|εdi|<1時，需求在該點缺乏彈性，其倒數大于1，公式(6)中括號內的式子為負值，因而MRi的值為負。同理，若|εdi|=1，需求在該點為單位彈性時，MRi=0。由于廠商的邊際成本MC為正值，一階條件MC=MRi要求廠商在MRi為正值的水平上經營，因此，廠商所選擇的銷售水平Qi必須使該市場中相對應的點彈性大于1。

根據(6)，一階條件MR1=MR2=MR3現在變換成如下形式:

P1=(1-) =p2(1-) =p3(1-)

由此可以推斷出:在某一特定市場中(在選定的產出水平下)，|εd|越小，在該市場中所要索取的價格必須越高，即實行價格歧視，才能使利潤最大化。

為確保最大化，檢驗二階充分條件，由公式(5)求得二階偏導數如下:

πii=R″i(Qi)C″(Q) (i=1，2，3)

πij=-C″(Q) (i，j=1，2，3;i≠j)

在簡化二階導數符號后，海賽矩陣表示如下:

H=R″1-C″ -C″ -C″-C″ R″2-C″ C″-C″-C″ R″3-C″ (7)

如果下列條件成立，H為負定矩陣，二階充分條件便完全滿足:

1)|H1|=R″1-C″<0。

2)|H2|=(R″1-C″)(R″1-C″)-(C″)2>0。

3)|H3|=R″1R″2R″3-(R″1R″2+R″1R″3+R″2R″3)C″<0。

為得到更具體的印象，現給出一個數字形式的例子。假定壟斷廠商具有如下具體的收益函數:

p1=63-4Q1p2=105-5Q2 p3=75-6Q3

從而

R1=p1Q1=63Q1-4Q21

R2=p2Q2=105Q2-5Q22

R3=p3Q3=75Q3-6Q23

且總成本函數為:C=20+15Q

得到邊際函數為:

R′1=63-8Q1 R′2=105-10Q2 R′3=75-12Q3 C′=15

令C′=R′1=R′2=R′3，求得均衡數量:

Q*1=6 Q*2=9 Q*3=5 Q*=Q*i=20

將上述結果代入收益和成本方程，得到π*=679 。

因為這是一個具體模型，必須檢驗二階條件。二階偏導數為:

R″1=-8R″2=-10R″3-12C″=0

所以如公式(7)的海賽矩陣如下:

H=-800 0 -100 0 0 -12

因為這是一個三角對稱矩陣，它的特征值就是主對角線上的元素，顯然它們都是負數，所以H是負定矩陣且處處負定。于是，(Q*1，Q*2，Q*3)=(6，9，5)是唯一最大值點。進而可得到最佳定價點(p*1，p*2，p*3)=(39，60，45)。

注意到=- =- =-

εd1=×=-×=-

εd2=×=-×=-

εd3=×=-×=-，

這也驗證了前述彈性越小定價越高，即實施價格歧視的結論。

四、等式約束極值二階充分條件在微觀經濟學中的運用

(一)等式約束最優化問題的理論成果回顧

1.等式約束下實對稱矩陣有定性判別定理

考慮實二次型f(x1，x2，…，xn)=TA，其中=(x1，x2，…，xn)T，A=(aij)n×n，AT=A，aij∈R。與一個由m個線性方程組成的系統B=，其中B是秩為m的m×n矩陣(m

=Om×mBBTA

考察它的m+r階順序主子式:

r=Om×mBmrBTmr Ar

其中，Ar是由A的前r行與前列構成的r階方陣，Bmr是由B的所有行和前r列構成的m×r矩陣，而BTmr則是Bmr的轉置矩陣。那么，當滿足約束B=時，判定A是正定或者負定的有如下結論:

定理(1)[2] 二次型f(x1，x2，…，xn)=TA在約束B=下有:

(1)A是正定的充要條件為:加邊矩陣A的從n-m起的所有各階順序主子式的符號為(-1)m。即若m是偶數(奇數)，則從m-n起的所有各階順序主子式是正數(負數)。亦即(-1)mr>0，(m+1≤r≤n);

(2)A是負定的充要條件為:加邊矩陣的從n-m起的所有各階順序主子式的符號交替改變，且第一個的符號為(-1)m+1。即(-1)rr>0，(m+1≤r≤n)。

2.經濟分析中海賽加邊矩陣的結構

假設存在n個選擇變量的目標實函數f(x1，x2，…，xn)有連續二階偏導數，且有形式為gj(x1，x2，…，xn)=cj的m個約束(m

Z=f(x1，x2，…，xn)+λj[cj-gj(x1，x2，…，xn)]

(1)擇優的一階必要條件。

要求得穩定點，必須保證dZ=dxi+dλi=0，對任意dxi與dλi成立。于是必須有:

Z1=Z2=…=Zn=Zλ1=Zλ2=…=Zλm= 0 (Ⅰ)

其中Zi≡ (i=1，2，…，n)，Zλi≡(j=1，2，…，m)。

這就是眾所周知的一階必要條件，穩定點可以通過求解方程組(Ⅰ)而得到。

(2)擇優的二階充分條件。此時需要考慮如下的海賽加邊矩陣:

=Om×mGm×nBTm×nZn×n

其中，G=(gji)n×n gji≡ i=1，2，…，nj=1，2，…，m，GT是G的轉置矩陣;

Z=(zij)m×nzij≡(i，j=1，2，…，n)

由gj=cj知道

dgj==dcj=0(1≤j≤m)

所以，若記≡(dx1，dx2，…，dxn)T

則 G=g11g11…g1ng21g22…g2n…………gm1gm2…gmndx1dx2dxn=

約束矩陣滿足定理(1)的約束條件。

因為gj有連續二階偏導數，由楊定理可知Z也是對稱矩陣，且TZ為二次型，滿足定理(1)的二次型條件。其中，≡(dx1，dx2，…，dxn)T。

于是，在定義好海賽加邊矩陣的順序主子式

r=OmmGmrBTmrZrr (m+1≤r≤n)時，可以得到判別等式約束擇優的二階充分條件:

1)(-1)mr>0，m+1≤r≤n?圳Z為正定矩陣?圯穩定點為極小值點;

2)(-1)rr>0，m+1≤r≤n?圳Z為負定矩陣?圯穩定點為極大值點。

(二)海賽加邊矩陣的運用

1.效用函數在預算約束下的最優化問題

考慮一個效用函數是U=x1x2的消費者，他面臨的預算約束是B，給定商品的價格是p1和p2。則

選擇問題是MaxU=x1x2s.tp1x1+p2x2 (Ⅱ)

拉格朗日函數是 Z=x1x2+λ(B-p1x1-p2x2)

一階必要條件是Z1=x2-λp1=0Z2=x1-λp2=0Zλ=B-p1x1-p2x2=0

用克拉默法則，解得x*1=，x*2=，λ*=

檢驗二階充分條件，因

g1=p1，g2=p2，z11=0，z12=z21=1，z22=0

得海賽加邊矩陣:

=0p1p2p1 0 1p2 1 0

本例中，m=1，n=2。需要計算加邊順序主子式的個數為n-m=1個。r從m+1=1+1=2階開始，故只需計算2。現在求取最大值，要求負定，其符號應為(-1)m+1=(-1)1+1=1>0即2=>0。事實上，

2==0p1p2p1 0 1p2 1 0=p1p2-1×(-p1p2)=2p1p2>0

完全滿足二階充分條件，且由于2的符號與選擇變量無關，可以斷定(x*1，x*2)是全局唯一最大值點。U*=x*1x*2=。

2.效用最大化的對偶問題——成本最小化

仍沿用上例的效用函數與約束條件。用表示目標效用水平，則問題變化為:

Minf=p1x1+p2x2s.t x1x2=U*

問題的拉格朗日函數是Zd=p1x1+p2x2+λ(U*-x1x2)

一階必要條件是Zd1=p1-λx2=0Zd2=p2-λx1=0Zdλ=U*-x1x2=0

求解這個方程系統得穩定點:x*1=U*1/2，x*2=U*1/2， λ*=p1p21/2

檢驗最小值的二階充分條件:

g1=x2，g2=x1，zd11=0，zd12=zd21=-λ，zd22=0

海賽加邊矩陣是=0x2x1x2 0 -λx1 -λ0

因為本例是求最小值，所以要求為正定矩陣。因而2=的符號為(-1)m=(-1)1

=-1<0。事實上。

2==0x2x1x2 0 -λx1 -λ0=-2λx1x2<0

滿足唯一絕對極小值點的二階充分條件。

f*=p1U*1/2+p2U*1/2

=(p1p2U*)1/2+(p1p2U*)1/2=2(p1p2U*)1/2

五、結語

綜上探討，可見實對稱矩陣的有定性在經濟分析的各類擇優問題中，對最優點的判定起到了重要的作用。當然，實對稱矩陣的有定性在經濟分析中的應用遠不止如此。譬如，在非線性規劃中，還有諸多擴展應用，像正定二次函數的共軛梯度法就是之一;在凸(凹)規劃與擬凸(擬凹)規劃中還有大量的重要結論;在開放的投入產出模型中參與重要定理的證明等等。從定性分析到定量分析是科學的必經之路。經濟管理是科學，筆者相信，在經濟分析方法不斷創新發展的當代，實對稱矩陣有定性理論一定會在這個古老而年輕的科學分支中獲得更大應用空間。