讓學生更多地學習現實的數學

“研究性學習”是我國當前新課程改革的一大亮點，在“研究性學習”方式中，我們究竟應該向學生展示什么樣的數學？

一、從貼近學生生活的實際問題中挖掘數學問題，引導學生用數學的眼光看待周圍的世界。

“研究性學習”是與傳統的“接受性學習”相對的一個概念，要使學生擺脫傳統的“接受性學習”的被動學習方式，教師必須選擇能激發學生學習興趣和學習需要的素材，從貼近學生生活的實際問題中挖掘數學問題，營造一種能激勵學生主動探索的問題情景，引導學生用數學的眼光看待周圍的世界。

問題一：張華同學家中有兩種酒杯，一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形，稱之為直角酒杯（如圖1），另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線，杯口寬4cm，杯深8cm（如圖2），稱之為拋物線酒杯。一次，張華在游戲中注意到一個現象，若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，則任何玻璃球都不可能觸及酒杯杯底。但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中，則有些小玻璃球能觸及酒杯底部。張華想用所學數學知識研究一下，當玻璃球的半徑r為多大值時，玻璃球一定會觸及酒杯底部。你能幫助張華解決這個問題嗎？

略解一：如圖，以杯底中心為原點，建立直角坐標系，由題意得拋物線方程為x = y。

設圓心在y軸正半軸上且過原點的圓方程為x +（y-r） =r ，

將之代入拋物線方程，消去x得，y +（ -2r）y=0

∴y =0，y =2r- ，

若要使玻璃球在杯中能觸及杯底，

則要y =2r- ≤0。

即當0＜r≤ 時，玻璃球一定會觸及杯底。

略解二：設拋物線上動點P的坐標為（a，2a ），過原點的圓方程為x +（y-r） =r 。

若要使玻璃球在杯中能觸及杯底，

則P到圓心（0，r）的距離要恒大于或等于r，

即a +（2a -r） ≥r 恒成立，

即r≤a + 恒成立，

∴0＜r≤ 。

即當0＜r≤ ，玻璃球一定會觸及杯底。

問題二：張華在酒店里又見到了一種軸截面近似橢圓的橢圓酒杯，測量后得知杯口寬4cm，杯深為9cm，中間最寬處距杯底為5cm（如圖3），請你幫助張華研究一下，如果將一個玻璃球放入杯中，玻璃球的半徑r多大時，玻璃球一定會觸及這種橢圓酒杯的杯底？

評注：對學生來說，問題一是一個全新的問題情景，因此，教學的重心是能否引導學生將實際問題轉化為數學問題，能否引導學生探索到解決問題的途徑，至于一題多解則是學生積極探索、師生積極交流互動的自然結果。當問題一解決以后，問題二的提出是一種自然的推廣和聯想，而其解決方法則已退化成模仿性和鞏固性的練習，因此可以作為作業留待學生課后完成。

二、引導學生以研究者的眼光看待數學問題，讓學生在自覺應用數學的過程中體會數學的價值。

數學是我們人類認識自然的強有力的工具，它既能幫助我們深刻地揭示自然規律，同時又為我們解決現實生活中的問題提供了廣闊的可能。但傳統的“接受性學習”往往將數學異化成純粹的數學習題，而淡化了數學作為科學工具的作用。“研究性學習”可以引導學生以研究者的眼光看待數學問題，而不僅僅是以學習者、應試者的眼光看待數學問題，在研究過程中可以突出學生的自主性、探索性學習，從而讓學生在自覺應用數學的過程中體會數學的價值。

問題三：設想在張華家中的拋物線酒杯中，放入一根粗細均勻，長度為2cm的細棒，假設細棒的端點與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計，那么當細棒最后達到平衡狀態時，細棒在酒杯杯中的位置如何？

評注：注意到細棒的粗細均勻，因此，細棒的平衡狀態也就是細棒的中點（即細棒的重心）處于最低位置的狀態。顯然，答案就是問題三的結果，當細棒通過拋物線酒杯的焦點時，細棒將達到平衡狀態。進而，我們就可以提出一個更一般的問題：如果細棒的長度為l，那么對于不同的l值，細棒的平衡狀態有差異嗎？

本問題的教學重心是引導學生能否為一個抽象的數學問題找到一個形象的實際背景，為此教師可以先和學生一起做一些試驗。在這個師生一起構造的實際問題中，學生可以體會到正是由于數學的抽象性特征，才使得數學能夠揭示豐富和深刻的自然規律，正如伽利略所言：“自然這一巨著是用數學符號寫成的。”還可以引導學生將問題四中的拋物線酒杯推廣到其他形狀的酒杯，進而提出問題。

三、挖掘數學問題中的數學史素材，對學生進行數學文化的熏陶。

《新大綱》把數學看作是人類文化的結晶，“它的內容、思想、方法和語言已成為現代文化的重要組成部分”。挖掘數學問題中的數學史素材，向學生展示數學人性化的發展歷程，是對學生進行數學文化的熏陶的一個重要方面。借此機會可以向學生介紹問題六實際上是古希臘數學家普洛克拉斯（410年—485年）提出并解決的普洛克拉斯軌跡問題的一個特例。普洛克拉斯軌跡問題是：

在一條固定直線上標有三個點，其中兩個點沿一個直角的兩條邊滑動，問第三個點的軌跡是什么？

利用解析幾何這個工具，這個問題可以很容易得到解決。

如圖，設∠xOy是直角，建立直角坐標系，設A、B兩點分別在Oy、Ox上滑動，第三個點為C，并設CA=a，CB=b，AB=c，顯然，c=|a±b|，當點C在AB間時，c=a+b；當點C在AB外時，c=|a-b|。

再設C點坐標為（x，y），AB與xO所成的角為θ，則x=acosθy=bsinθ。

∴ + =1

∴點C的軌跡為以直角邊為對稱軸，以a、b為半軸的橢圓。

數學作為人類文明史中最古老的一門學科，蘊涵著獨特的文化魅力，從以上問題引出的普洛克拉斯軌跡問題和范#8226;施古登軌跡問題可以幫助學生更好地理解數學艱辛的發展歷程，更深刻地理解解析法思想的價值所在。與單純向學生傳授“教學的數學”甚至“應試的數學”相比，作為“文化的數學”顯然具有更迷人的人性色彩，具有更豐富和更生動的育人功能。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”