兩個面積最小問題的推廣

陳建華

（福建農林大學計算機與信息學院，福建福州 350002）

兩個面積最小問題的推廣

陳建華

（福建農林大學計算機與信息學院，福建福州 350002）

把兩個有關平面圖形的面積最小問題進行推廣，得到較一般的情形，所求的點都是區間的中點.

曲線；面積；最小

1 第一個問題及其推廣

有這樣的一個面積最小問題［1］，它是1987年全國考研數四的試題：

求曲線y＝x2在［0，1］內的一個點t，使此曲線與直線y＝t2以及直線x＝0，x＝1所圍成的圖形面積最小.

若曲線y＝x2不變，把區間［0，1］推廣到［a，b］（0≤a＜b），同樣可求出相應的點t＝，它剛好也是區間［a，b］的中點.

那么，能否再把曲線作進一步的推廣？

問題1 要求連續曲線y＝f（x）在［a，b］內的一個點t，使此曲線與直線y＝f（t）以及直線x＝a，x＝b所圍成的圖形面積最小.什么條件下，該問題相應的點t一定是區間［a，b］的中點？

定理1 設f（x）在［a，b］上連續，在（a，b）內可導且恒有f′（x）＞0（或f′（x）＜0），則問題1對應的點t為［a，b］的中點.

證只證f′（x）＞0的情形（f′（x）＜0的情形同理）.因為f（x）在［a，b］上連續，在（a，b）內f′（x）＞0，所以f（x）在［a，b］上單調增加，于是，所言的面積

定理1表明，某區間上嚴格遞增或遞減的曲線，該面積最小問題對應的點一定是區間的中點.

對曲線y＝ex和區間［1，3］，則問題對應的點為t＝2；

2 第二個問題及其推廣

下面的一個面積最小問題［1］，它是1992年全國考研數二的試題：

能否再把曲線作進一步的推廣呢？

問題2 要求連續曲線y＝f（x）在［a，b］內的一個點t，使此曲線與曲線在點（t，f（t））的切線以及直線x＝a，x＝b所圍成的圖形面積最小.什么條件下，問題2對應的點t一定是區間［a，b］的中點？

定理2 設f（x）在［a，b］上連續，在（a，b）內二階可導且恒有f″（x）＜0（或f″（x）＞0），則問題2對應的點t為［a，b］的中點.

證只證f″（x）＜0的情形（f″（x）＞0的情形同理）.因為f（x）在［a，b］上連續，在（a，b）內f″（x）＜0，所以f（x）在［a，b］上為凸的，曲線y＝f（x）位于切線y＝f′（t）x＋f（t）-tf′（t）的下方，于是所言的面積為

定理和推論表明，某區間上嚴格凹或凸的曲線，該面積最小問題對應的切點橫坐標一定是區間的中點，切線函數是中點處的一階泰勒多項式.

對曲線y＝ln x和區間［1，3］，則問題對應的點為t＝2，切點為（2，ln 2），切線為y＝x-1＋ln 2；

對曲線y＝sin x和區間［0，π］，則問題對應的點為t＝，切點為切線為y＝1.

［1］ 張友貴，杜祖締，施光燕.掌握高等數學（理工，經濟類）［M］.大連：大連理工大學出版社，2004：273-304.

O172.2

C

1672-1454（2010）增刊1-0073-02