以培養創新型人才為目標大力推進大學數學教學方法改革

王綿森， 武忠祥， 李繼成

（西安交通大學，西安 710049）

以培養創新型人才為目標
大力推進大學數學教學方法改革

王綿森， 武忠祥， 李繼成

（西安交通大學，西安 710049）

分析了我國大學數學教學方法改革的現狀，介紹了我們在兩個試點班上以培養創新型人才為目標，進行教學方法（含考核方法）改革的理念和采取的具體措施，包括將教學方法改革與傳授數學中的重要思想方法、按層次分流培養、教學內容改革（含實驗教學），考核方法改革等結合起來，并將課堂講授、習題課、討論課以及撰寫小論文（或讀書報告）多種環節相結合.

教學方法改革；考核方法改革；教學理念；創新意識；創新能力

教學方法與考核方法改革，一直是我校大學數學課程教學改革中十分關注的重大課題.2003年，我們就在一個有180人的教學大班的《高等數學》課程中進行了教師重點講授、習題課、討論課和課內自學四個教學環節相結合的改革試點.后來，又在電信、電氣本碩連讀班、“錢學森班”進行了以問題討論式為主要特點的改革實踐.去年6月，我們承擔了《高等學校大學數學教學研究與發展中心》的以培養創新型人才為目標的教學方法（含考核方法）的改革項目，成立了由8位教師參加的課題組，分別在由130人和67人組成的兩個班中進行了改革試點.下面，我代表課題組將我們的想法和做法向大會作簡要匯報，請予批評.

1 沖破“瓶頸”，爭取教學方法和考核方法改革早日取得突破，是大學數學教學改革的當務之急

1.培養創新型人才是時代的要求.

進入新世紀以來，我國高等教育出現了新的形勢.一方面，高等教育已全面進入“大眾化教育階段”，招生規模的擴大，入學學生的總體水平的下降，使大學數學面臨著提高教學質量的巨大壓力；另一方面，科學技術的迅猛發展，信息化時代的到來，迫切要求我國科學技術實現“跨躍式”發展，將我國建設成創新型國家，迫切要求各行各業盡快培養出大批不同類型、不同層次的優秀創新型人才和創新團隊.最近，國務院已頒布了《國家中長期教育改革和發展規劃綱要》，對高等教育明確提出了“提高教育質量”和“培養創新型人才”的要求.大學數學教學如何面對新形勢、新要求，為早日實現這一歷史使命做出應有的貢獻，就成為擺在廣大數學教師面前義不容辭又十分艱巨的任務.我們認為，以現代教育思想為指導、以培養創新型人才為目標，認真剖析我國大學數學教學方法的現狀和存在的問題，在更深的層面上探討教學方法和考核方法改革的思路和對策，是完成這個任務的一項極為重要的工作.

2.大學數學教學方法和考核方法改革的現狀和存在的問題.

實事求是地看待我國大學數學教學方法與考核方法的現狀，對于采取正確的措施推進這項改革是非常重要的.

早在上世紀八十年代后期，我國高校的很多數學教師就深切地感到，必須根本改變保姆式、注入式和應試型教學方法統治大學數學講壇的局面.當時的教指委和兩個面向21世紀大學數學教學改革課題組經過多年研究，對教學方法和考核方法提出了一系列改革思路和改革方案，并在一些院校進行了改革實踐，取得了不少有益的經驗.然而，由于當時的改革任務繁重，時間較短，而且教學方法改革難度很大，因此，沒有取得重大改革成果.近幾年來，又有一些院校的教師進行了啟發式、互動式、研究式、討論式等改革探索，也取得了一些成效，但是，這些改革還停留在局部范圍內.

根據我們的了解，包括我校在內，從總體上看，當前在我國大學數學講壇上，保姆式、注入式、應試型的教學方法仍然占據著統治地位.在課堂教學中，教師灌輸多，講得太細，啟發互動少；講解數學知識多，傳授數學思想少；講解解題方法、技巧多，揭示概念本質和重要思想方法少.忽視對學生自主學習能力、綜合應用能力和創新意識與創新能力的培養仍然是比較普遍的現象.在考核方法方面，多數院校仍以一、兩次考試的成績來衡量學生實際水平高低，忽視對學生學習過程的考核；考試試題中，方法技巧性的計算題多，概念和應用題少，缺乏檢測學生綜合能力的試題.有的學校，為了達到領導要求的“及格率”，考試前印發給學生一批復習題，或者由教師幫助學生復習，講解大量的例題，而試題大多都不超過這些復習題和例題的范圍.如果學生仍然考得不好，不及格率太高，就采用各種處理方法以提高及格率.

當前，在進行教學方法改革方面還存在一個認識問題.我們經常聽到一些院校特別是一般院校的教師說，在進入“大眾化教育階段”后的今天，學生的業務基礎和水平這樣低，很多同學連簡單的極限和積分計算題都不會做，怎么能談得上講授數學思想、培養能力呢？培養創新型人才是重點院校的事.這種看法反映了在很多教師中還存在著將傳授知識和培養能力分離開來、對立起來的模糊認識.在優秀人才培養中，知識和能力哪一個更重要？傳授知識與培養能力和素質是對立嗎？一般院校不能培養創新型人才嗎？我們認為，這是值得認真討論的重大問題！知識是重要的，但與知識相比，能力和素質在人的一生中更為重要.大量的事實表明，一個學生將來能否成長為優秀人才，最重要的取決于能力的強弱和素質的高低，取決于它是否有創新意識和創新精神，取決于是否有頑強奮斗、踏實苦干和勇于攀登的精神.在教學過程中，講授知識與培養能力不是相互分離的，更不是對立的，而是統一的，相輔相成的.我們應當把二者統一起來，結合起來，通過知識的傳授來培養學生的能力.認為一般院校不能培養出創新型人才的看法也是不符合事實的.我國大量的優秀人才實際上是由各類院校包括一般院校共同培養出來的，不同類型、不同層次的院校可以培養出不同類型、不同層次的創新型人才，他們都是建設創新型國家所需要的.

3.教學方法與考核方法改革的滯后是當前制約培養創新型人才的“瓶頸”.

怎樣才能培養出大批創新型人才這是值得我們認真研究的大課題.從我國大學數學教學的實際情況來看，我們認為，教學方法和考核方法改革的嚴重滯后是當前制約培養創新人才的“瓶頸”，是急待解決的問題.很長一段時間以來，我們都在思考著這樣一個問題：與以美國為代表的西方先進國家相比，我國大學數學課程無論是在教學內容的深度上還是廣度上都比這些國家要求高，為什么他們能培養出為數眾多的世界級領軍人才呢？我們認為，其中的一個重要原因在于這些國家的教學思想和教學理念先進、教學方法靈活多樣，他們極力鼓勵學生自主學習、獨立思考、“標新立異”、大膽創新.從小學開始，他們就鼓勵學生不迷信書本，不迷信教師，不受課堂、書本、前人的約束，敢于提出問題，敢于發表自己的意見.例如，他們的教師經常讓小學生回答一些在我國要到大學本科甚至研究生階段才能回答的問題！與他們相比，我們的差距在于教學理念不夠先進，教學方法太單一、太呆板、太傳統、太守舊，不能激勵學生學習的積極性，激發學生的創新意識.我們的許多做法阻礙了優秀創新人才的培養，滯后于培養創新人才的需要.因此，我們應當盡快改變這種局面，沖破“瓶頸”，花大力氣推進教學方法與考核方法的改革，爭取早日取得突破.

2 以先進的教學理念為指導，大膽探索符合培養創新型人才需要的教學方法和考核方法

各位代表，我們高興地看到，一些兄弟院校的部分數學老師正在教學方法與考核方法的改革方面進行積極地探索.在改革中碰到的一個突出問題是：大學數學課程大多以大班形式上課，課時緊、教師少.因此，怎樣的教學方法與考核方法才既符合先進的教學理念，有利于創新人才的培養，又符合我國大學數學課程教學實際呢？這是今天我們要重點與大家共同探討的問題.下面，講一講我們的看法和做法.

1.將講解數學知識和傳授數學思想結合起來，在傳授數學知識的同時，更加重視講解數學中的重要思維方法，培養和提高學生的能力和素質.

去年，教指委重新修訂了大學數學基礎課程教學基本要求.在基本要求的前言中明確提出：“數學不僅是一種工具，而且是一種思維模式；不僅是一種知識，而且是一種素養；不僅是一種科學，而且是一種文化，能否運用數學觀念定量思維是衡量民族科學文化素質的一個重要標志.數學教育在培養高素質科學技術人才中具有其獨特的、不可替代的重要作用.”這段話明確地要求我們不能把數學課僅僅作為一種“知識”和“工具”，而且要講授其中的科學思維方法.在多年的教學工作中，我們體會到，只有真正地掌握了科學的思維方法，才能真正理解和掌握知識.教指委這樣要求，不但是應當的，而且是能夠做到的.下面僅就在高等數學課中如何在講解數學知識的同時傳授數學思維方法舉幾個例子.

例1 微積分的基本思想方法.在每年新生入校后的第一堂微積分的緒論課中，我們都花一個學時左右的時間，用“已知位移求速度”和“已知速度求位移”兩個經典實例，通過與初等數學對比的方法來講解微積分的研究對象和基本思想方法（詳見我校編寫高教社出版的三套高等數學教材）.講解中主要突出以下幾點.

（1）現實世界中，數量包括常量與變量，而變量又可分為均勻變化的量和非均勻變化的量.與初等數學不同，微積分是從局部和整體兩個方面來研究非均勻變化的量（分析上：非線性函數，幾何上：曲線或曲面）.例如：求變速運動的瞬時速度是研究非均勻變化的位移在某時刻的變化率，是局部性態；求變速運動在［a，b］內通過的位移是研究位移函數在該區間上的求和問題，是整體性態.

（2）微積分的基本思想方法：在微小局部以“勻代非勻”求近似值，通過極限求精確值.

（3）極限是基礎，它將近似轉化為精確.

（4）導數是處理均勻變化的除法在研究非均勻變化時的推廣和發展，積分是處理均勻變化的乘法在研究非均勻變化時的推廣和發展.

上述思想方法貫穿于微積分教學的全過程中.掌握這種思想方法，既有利于深刻理解微積分中主要概念的本質，又有利于學生應用微積分去解決實際問題，其中還包含了人類認識客觀世界的許多基本觀念和思想方法（如運動變化的觀點；相互聯系的觀點；從局部和整體兩方面來研究的觀點；在研究過程中如何處理近似與精確的矛盾，以及促使矛盾轉化的方法等.）

例2 在積分微元法（含一元與多元）的教學中突出：

（1）求非均勻連續分布的可加量可以用積分來解決；

（2）建立實際問題積分表達式的，關鍵在于求積分微元；

（3）要求學生在做積分應用題時都利用微元法建立積分表達式，不出一般公式.

例3 在多元函數微積分的教學中，強調用類比法將一元函數中的重要概念和理論推廣到多元函數，用由“已知”（簡單）解決“未知”（復雜）的方法研究多元函數微積分的計算方法.

另外，我們還通過微分來講解“局部線性化”的思想方法；通過Taylor公式，Taylor級數和Fourier級數來講解逼近的思想方法；通過極限和無窮級數來講解有限和無限的本質區別以及通過有限來認識無限的思想方法；通過在極限、導數、積分與微分方程中的變量代換方法來講解數學中的變換思想等等.我們認為，這些思想方法不但可以更深刻地理解數學中重要概念，理論和方法的本質，揭示“冰冷美麗”后面隱藏著的“火熱思考”，而且對于培養和提高學生的能力和素養起著潛移默化的作用.

2.將教師課堂講授與習題課、討論課和撰寫讀書報告或小論文結合起來，通過多種環節培養學生的自主學習能力和創新意識.

一個高素質優秀創新型人才必須具備自主學習能力、發現問題和解決問題的能力、綜合應用能力以及創新意識和創新能力.其中自主學習能力和創新意識是最基本、最重要的，在人生中長期起決定作用的.有了這種能力和這種意識，才能不斷地獨立獲取自己所需要的知識，才能善于發現問題，敢于解決問題，取得前人所沒有取得的新成果.為了培養這些能力，我們在由130人組成的教學大班中，將整個教學過程設置成多種環節，包括：大班課堂講授、中班（60人）上習題課和討論課以及讓學生撰寫讀書報告或小論文等，現分別說明如下.

（1）認真搞好大班課堂教學.教師大班課堂講授是教學中的基本環節，也是主要環節.由于加強了習題課，增加了討論課和數學實驗，所以課堂教授時間減少了許多.以上學期為例，在96個總學時中，習題課20學時，討論課14學時，數學實驗8學時，只剩下54學時（包含節假日在內）用于大班授課.在這樣短的時間內，能否講完一元微積分（用《工科數學分析基礎》教材，包括常數項級數、冪級數與Fourier級數、簡單微分方程）的內容，如何講授，成為一個很突出的問題，對教師產生很大的壓力.我們認為，就是在這種情況下，教師在課堂上不但要把握好內容的重點和難點，而且仍然要堅持講授一些重要的數學思想方法.不能只講知識不講思想，不能滿堂灌，堅持啟發式、互動式.次要的枝節性的問題留給學生自學；少講甚至不講例題；需要舉例講解重要方法時，重點講解方法的思路及應當注意的問題，不需要將例題算到底（例如，重積分的計算）；對重要定理的證明應著重分析思路，對幾個證法類似的定理在分析證法思路后只寫出其中一個定理證明的主要步驟；將黑板書寫與ppt課件結合起來（特別是圖形難畫，式子較復雜時）.實踐表明，只要打破傳統教學思想和教學方法的束縛，從學生的實際情況出發，相信學生的學習潛能，辦法總是能夠找到的.即使開始有部分學生不適應，過一段時間以后，他們的學習能力提高了，情況就會很快好轉.我班原137中只有7人因不適應轉回到原來的行政班，就說明了這一點.

（2）堅持以中班的形式上好習題課.習題課應當是在教師的主導下，充分調動學生積極性，以學生自己動手為主的實踐性環節.習題課的任務是讓學生通過解題加深對主要概念、理論和方法的理解，培養和提高學生解決問題的能力.上好習題課要做好三方面的工作：第一，事先充分準備選編一批典型題目；第二，課堂上將題目分批發給學生，先讓學生自己動手去做（我們不主張教師多講例題），讓學生通過自己的實踐去理解理論，掌握方法.在學生做題過程中教師應不斷巡視，回答學生的問題，幫助和啟發學生，將學生中的好方法和典型錯誤寫到黑板上，組織討論；第三，教師用不長的時間分段對學生的做題情況進行點評和小結，講解重要的解題方法和學生中常犯的錯誤.

（3）堅持以中班的形式組織好討論課.討論課是培養學生自主學習能力和研究問題能力的一個重要環節，如何組織好討論課是需要在今后的實踐中認真探討的.我們的想法是：討論課的內容應以數學概念、理論和重要的思想方法為主.因此，根據學生的實際水平，編寫出好的討論題，是討論課能否組織好的關鍵.教師應將討論題提前印發給學生，讓學生做好充分準備.經驗告訴我們，討論題出得好，就能激發學生參與討論的積極性，就能開拓學生的思維空間，啟迪學生的思路，投入到探索研究問題的過程中.在討論課上，教師不斷地引導、啟發和鼓勵學生，將學生中不同意見顯化出來對于調動學生的積極性，讓學生展開充分的討論，甚至辯論也是非常重要的.總體來看，我們的討論課上學生發言是比較踴躍的，效果也是好的.

（4）撰寫讀書報告或小論文.我們每學期都組織教師編寫幾十個供學生撰寫讀書報告或小論文用的參考題發給學生，學生也可以自己另外選題.我們要求學生每人每學期至少寫一篇，并且讀書報告或小論文應按正式刊物上發表的論文格式書寫.為了鼓勵學生的積極性，讀書報告或小論文按照10%的比例計入學期的總成績，其中比較優秀的可以推薦在“中心”網站上或正式刊物上發表.從上學期的情況來看，絕大部分學生的積極性是很高的.有的學生寫了兩篇；有的論文質量較高；有的讀書報告經多次修改才完成；有的查閱了很多參考書，有的在網上查閱了大量的資料.我們認為這個過程就是培養和提高學生自主學習能力、研究解決問題能力的過程，就是培養創新意識和創新能力的過程.

3.將教學方法改革與按層次分流培養結合起來，探索培養不同類型、不同層次創新人才的不同教學方法.

在2003年9月～2004年7月，我們曾在我校網絡學院的一個由180人組成的大班中進行過一次將教師重點講授、習題課、討論課和學生課內自學四個環節相結合的教學方法改革試點.由于這個班的學生基礎和能力差距很大，教材難度過大，教學內容要求過高，那次試點效果不夠理想，兩極分化現象比較嚴重.這次試點對我們一個很大的啟示就在于沒有實行按層次重新組織教學大班，進行分流培養，并在不同層次的大班中，根據學生的實際情況和不同要求采用不同的教學方法.即使都采用討論式、研究式教學方法，教師的講授，討論題、研究題的難度在不同層次的班級中也應有所不同.

鑒于這次試點的教訓，在上學期，我們在電氣學院通過先動員，說明教學方法改革的重要性和具體做法，然后打破專業和行政小班的界限，由學生自己報名，組成了由130余人的一個教學大班（其余的學生組成另一個教學大班）.由于這次組班時并沒有根據學生的數學基礎進行審查，這個大班學生的基礎和能力并不都是很好的，但總體來看，差距不大.為了便于在第一學期兩個大班之間學生可以流動，兩個大班都排在同樣的時間上課.從試點的過程來看，效果比2003年要好得多.

人們常說，“教無定法”.我們認為這句話說的是教學方法應根據教學對象、課程性質、教學內容和要求的不同而異，沒有一種教法是普遍適用的.因此，把教學方法改革與按層次分流培養結合起來，就可以在不同類型、不同層次的學校中，在同一學校的不同專業大類和不同層次的學生中，針對不同的教學要求探索不同的教學方法，課堂講授的方法，討論式、研究式教學的具體要求和具體做法也可以不同，不能生搬硬套別人的做法.但是，“教無定法”這句話并不是說任何一種教學方法都是好的，也不能說指導教學方法改革的任何教育思想與教學理念都是好的，更不應當把這句話作為不進行改革的借口.特別應當指出的是，傳統的保姆式、注入式、應試型的方法是很難培養出創新型人才的，是應當徹底改變的！

4.將理論教學與實驗教學結合起來，培養學生應用數學知識和數學方法分析解決實際問題的能力.

從二十世紀九十年代開始，我校就將高等數學（主要是微積分）、線性代數與數學實驗三門課同時并行開課，并在高等數學課中拿出部分學時作為數學實驗課的課內學時（另外還按1：1的比例配置課外上機學時）.這樣，就將數學理論課教學與數學實驗課教學較好地結合起來，不但提高了學生學習數學理論的興趣，激發了他們學習的積極性，而且培養了他們利用數學知識和方法建立實際問題的數學模型的能力，培養了他們使用數學軟件包在微機上進行數值計算和數值分析的能力，這些能力對于培養創新型科技人才是不可忽缺的.在我們這個試點班中繼承了這種做法，高等數學總計192個課內學時，其中16個學時用于數學實驗（每學期8學時）的課內講授，另外每學期安排8個課外學時用于上機實驗，每次上機后寫一份實驗報告交給老師批閱，教師根據學生的實驗報告先評定成績，并將它作為高等數學課總成績的一部分.

理論教學與實驗教學相結合的問題本屬于教學內容改革的范疇，但我們在進行教學方法改革過程中深深地體會到，內容的改革與方法的改革是密切相關的.教學方法的改革可以促進教學內容的改革，反之，教學內容的改革又可為教學方法的改革創造條件.例如，通過教學方法的改革，我們逐漸感到，既然教材是教學內容的載體，今后的教材是否可以一改“冰冷的美麗”的面貌，多揭示一點“火熱的思考”呢？在教材中是否可以多講一點數學的思想，多寫一些有趣的例子，多配置一些應用題、思考題、討論題和綜合性的研究問題，并將數學建模的思想和利用數學軟件解決實際問題的方法融入到理論教學中，編寫到教材中呢？等等.

5.將教學方法改革與考核方法改革結合起來，更加注重教學過程，用多種環節、多種手段科學而全面地評定學生的水平.

眾所周知，教學方法改革與考核方法改革之間的關系更加密切！如果我們的考核方法還同傳統方法一樣，僅僅根據期中、期末兩次考試（除高等數學課以外，其他一些學時較少的課程只有一次考試）的成績來評定學生的水平，而且考試內容大多以方法技巧題為主，那么以培養創新型人才為目標的教學方法改革就是一句空話.我們認為，為了全面地客觀地評定學生的水平（包括知識的多少、能力的大小和素質的高低），應當更加重視教學的全過程，應當采用多種環節和多種手段來激勵學生平時的學習積極性，督促和檢查他們的學習狀況.從根本上說，學生掌握知識的情況、能力與素質的培養主要表現在平時，而考試前的突擊應試只能起到復習和鞏固的作用，而且常常是短時間的，強記性的.如果平時寫了一份讀書報告，即使是對書本的內容的整理和小結，也會對知識的鞏固和系統化有重要作用，而且也培養了學生的學習能力.根據這種認識，我們采用了從多個教學環節來評定學生成績的方案，列表如下：

教學環節平時（作業、討論課、習題課）期中測驗讀書報告或小論文數學實驗期末考試分數12 20 10 8 50

各位代表，上面我們匯報的絕不是什么成功經驗，而僅僅是我們對如何進行教學方法和考核方法改革，培養創新人才的一些初步想法和做法，目的是拋磚引玉，為大家提供一種改革的模式，供大家去批評、討論、去探索，以便能找到更多更好的改革模式和方法.上面，我們也沒有介紹改革的效果，因為我們

認為這種改革的效果不能僅僅由學生考核的成績來評判（雖然我班的成績是很好的），而應當由較長時間的檢驗，由較長時間以后學生的實際能力和素質的高低來評判.另一方面，教學方法和考核方法的改革的難度很大，困難很多，需要解決的問題也很多.例如，能否提高教學質量，培養出創新型人才不是僅由數學課教學所完成的，而需要多門課程各類教師去共同努力.又如，如何調動廣大教師教學積極性與學校的各方面的政策有著極為密切的關系.我們真誠地希望各級領導能公平、科學地處理好教學與科研的關系，制訂激勵廣大教師特別是中青年教師積極性的政策，為教師從事教學改革營造良好的政策導向與和諧的環境氛圍.只要這樣，我們相信，經過一段時間以后，教學方法和考試方法改革一定會有較大的突破，我國高等教育的教育質量一定會有一個較大的提高，一大批優秀的創新人才一定會涌現出來！

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1672-1454（2010）增刊1-0001-06