從高等數學教學談學生創新能力的培養

方曉峰， 李應岐， 曾 靜

（第二炮兵工程學院數學與軍事運籌教研室，西安 710025）

從高等數學教學談學生創新能力的培養

方曉峰， 李應岐， 曾 靜

（第二炮兵工程學院數學與軍事運籌教研室，西安 710025）

為了得到最佳的教學效果，在教學過程中培養學生創造性的教學活動成為課堂教學的重要組成部分.本文分析了高等數學教學在培養學生創新思維方面存在的問題及原因，并以研究性教學為例，分析了在教學過程中如何實現對學生創新能力的培養.最后提出學生創新思維能力培養在教學實施中的幾點思考.

創新思維；研究性教學

現代數學在當今社會的各個領域都發揮了至關重要的作用，而目前大學數學教學卻呈現低效和難教的狀況，國家新近提出“實踐科學發展觀，建設創新型國家”的戰略構想，反映了知識經濟時代對人才的數學素養提出了更高的要求.探討大學數學教學對學生創新思維的培養成為當下高等數學素質教育研究的重要課題.所謂創新思維是指在新異的問題情境中，在一定目標指引下，調動一切已知信息、獨特、新穎且有價值地解決問題中表現出來的智力品質.在教學過程中關注創新思維的培養能保證學生順利解決他們當前乃至今后可能遇到的各種對他們來說是全新的問題，并能深刻地高質量地捕獲和掌握新知識，將知識廣泛遷移到他們所面臨的問題情境中，使學習和創新活動得以順利完成.

1 高等數學教學在學生創新培養中存在的問題

在現實教學中，忽視對學生創新精神和實踐能力的培養是我國教育存在的一個突出問題.現行的院校教育無論在教育觀念上、教學目標上，還是教育教學的內容、方法組織形式上都顯得相當滯后.高等數學教學中普遍存在著思想上忽略學生主體地位，目標和評價上單一，把教學過程單純看成是數學知識的單向傳遞，教學方式機械單調，教學內容強調知識記憶等現象.這些現象實際上否定了學生是一個能夠主動探索的活生生的主題，忽視了學生的個性差異和創造潛力，束縛和泯滅了學生的思想火花.在這種模式下學生自發能動性受到阻礙，學生不得不使自己去適應、順從、難堪地服從教師的要求.在這種教育方式下是很難培養出具有自發、獨創靈感的創造性學生的.

雖然今天我們正在拋棄這類阻礙學生積極性的教育和課堂實踐，但阻礙高等教育中不利于學生創新思維的培養還存在著更多得因素，具體表現在：

1.現行教材某些內容的敘述、結構的編排、課后習題的配備等都顯得比較滯后，缺乏新意，客觀上不利喚起學生的創新意識.

2.絕大多數教師對培養學生的創新能力雖持認同態度，但由于受傳統教育思想的影響，教師自身缺乏創新意識，教學中仍自覺不自覺地“以教材為中心”，在對教材的把握上缺乏創新精神.教學中對怎樣培養學生的創新能力不知如何下手，教學中常常因循守舊，在一定程度上扼殺了學生思維創新的萌芽.

3.現行教育管理體制和教育教學質量的評價制度尚存在許多不合理的因素.面對這些機制，教師缺乏沖破束縛的勇氣、魄力和應有的條件，因而從客觀上也造成了抑制教師培養學生創新能力的嚴重后果.

4.受社會上各種因素的影響，學生往往只看重考試的分數，過分追求標準答案，不敢標新立異，缺乏創新意識和創新激情；注重競爭而缺乏合作、導致思維狹隘；加之一部分學生的學習習慣和學習態度欠佳，他們的學習大多還是接受式，學生對教師的依賴性極強，缺乏主動性和積極性.

面對這些情況，結合高等數學課堂教學實際，筆者就數學教學中創新教育實施從教學模式上，結合自己的教學進行了一定的探討，旨在通過這些教學理念和教學方法的研究為高等數學課堂教學中能營造創新思維情境，拓展學生思維空間，訓練學生創新思維方法，培養學生創新思維能力，以及練習測試中對創新教育的滲透起到一定的促進作用.

2 基于高等數學課堂研究式教學培養學生創新思維教學模式

教學模式是在一定教學思想指導下所建立起來的完成所提出教學任務的比較穩固的教學程序以及實施方法的策略體系.它是人們在長期教學實踐中不斷總結、改良教學而逐步形成的.它源于教學實踐，又反過來指導教學實踐，是影響教學的重要因素.要培養學生的創新思維，就應當有與之相適應的，能促進學生創新思維培養的教學模式.

長久以來，在教育學、心理學的研究中，人們提出很多針對克服“以教師為中心的注入式、以教材為中心的結構式和以課堂為中心的封閉式教學”的研究，進行了不少的試驗和改革，其中在世界影響最大的是美國教育心理學家布魯納，他極力倡導知識發現過程.他指出：“發現不限于尋求人類尚未知曉的事物，明確地說，包括用自己的頭腦親自獲得知識的一切形式”［1］這就是說，學生在學習中并不一定真正發現人類未知的東西，主要是模仿發現者的思維路線-即發現路線，是一種“發現式”的學習.這種方法要求學生不只是記住書本上的現成結論，而是要通過自己的研究思考，知道結論是怎樣來的，知道每個概念、范疇、規律、原理是什么、為什么，怎么樣.這個過程體現了學生學習的自主性，可以充分發揮學生學習的主觀能動性.美國芝加哥大學教授施瓦布以“科學的本質是不斷變化”為前提，在“作為探究的科學”和“通過探究教學”兩理論基礎上，構建了研究性學習理論.研究式教學即是在“研究性學習”理論和“發現學習”理論的基礎上發展起來的.

研究式教學，其最根本的特征在于“教”和“學”的全過程都貫穿著研究性.它包括研究式地“教”和研究式地“學”兩個方面.所謂研究式地“教”就是要加強課堂講授的研究性，講課要有科研含量，對學生提出的問題能進行深入地分析和研究，力求從理論上作出回答.所謂研究式地“學”，就是學生在學習過程中聯系思想和工作實際認真讀書，邊讀書、邊思考、邊研究，從而達到培養創新思維能力的目的.

研究式教學的基本模式如下圖1.例如在講授拉格朗日中值定理時，教師可以按下列的步驟引導學生去研究探索和發現定理的結論和證明.

圖1

圖2

首先回顧洛爾定理的結論實質，利用動畫揭示結論的幾何意義，它表明存在開區間a，（b）內的一點ξ1，使得曲線在該點處的切線與連接曲線兩端點的弦AB平行.類似地，通過動畫圖形的變化過程，當曲線兩端點的函數值不相等時，上述結論是否存在相應的結論，即：是否在區間內存在一點ξ1，在該點處的切線與區間端點的連線AB平行，演示圖形肯定了這一結論（圖2）.接下來對這一結論進行論證.

在研究新問題時，我們經常會借助已有知識探索未知知識，引導學生如何利用洛爾定理證明拉格朗日中值定理，關鍵在于構造一個輔助函數F （x），使它滿足洛爾定理的第三個條件：F （a） ＝F （b），這時教師可引導學生從下列角度入手研究：

方法一（幾何直觀法） 從圖3不難發現直線AB與曲線f（x）在端點重合，也就是說由直線方程和曲線方程相減得到的新函數肯定在端點的函數值相等，并且等于零.相減得到的函數自然滿足洛爾定理的第三個條件，于是學生很容易得到輔助函數為

方法二（代數法） 引導學生分析，現在我們要證明的結論是：在區間存在一點ξ，使其滿足而該等式的右側是一常數，不妨令其為K，上述結論變為f′（ξ）＝K.如果對方程變形，不難得到f′（ξ）-K＝0.

對照洛爾定理的結論，學生很容易聯想到：只要作一函數F （x），使其導數在一點為零，即滿足F′（x）＝f′（ξ）-K＝0，這樣的函數是很好找的，F （x）＝f（x）-Kx.進而引導學生驗證該函數是否滿足洛爾定理的條件.

事實上

從而證明了拉格朗日中值定理.在教學過程中，就研究式教學來說，解決問題思路還沒有得到真正升華.在此教師需進一步引導和啟發學生思考，方法二中隱含了什么樣的本質含義.實際上方法二不過是將方法一中用過原點且平行弦AB的直線方程代替弦AB方程得到的，在方法一中，可以利用任意平行于AB的直線方程代替均可得到相應的輔助函數，即輔助函數可以看成是函數f（x）與x的線性組合：F （x）＝f（x）＋λx，這樣我們也可以得到其它形式的輔助函數形式：

通過這樣的教學不僅加深了學生對拉格朗日中值定理的內容和正面的理解，同時也激發了學生的學習興趣和創造性.

與此同時，作為研究式教學的本質，教師還應該繼續挖掘問題的本源.引導學生對上述輔助函數做法進一步的理解.從上面的探索過程不難發現，在做輔助函數時我們考察的是函數f（x）與x的線性組合.如果教師能進一步引導學生考慮，若線性組合的函數是f（x）和x2，或者是f（x）與g（x），即輔助函數為

這時會分別得到什么結論呢？并指出是這些結論成立的條件：

學生在教師的引導下會展開探索和討論，并在教師的指導下對結論成立的條件經過研究和補充便能得到下列不同的中值等式：

通過上述具體的教學過程，不難發現，研究式教學模式強調了“以學生為中心”，教師起引導和指導性作用，但這種指導顯得格外突出，在整個教學過程中，都以指導活動為主，即使講授也是指導性的講授，而不是定論灌輸給學生.該模式徹底改變了教師越俎代庖的狀況，改變了授予標準答案而無視學生個人體驗的狀況，從而使學生有更多的參與機會和參與行為，使他們不僅能明確學習的目標，積極的學習態度，能對學習進行自我調控，而且還能自主體驗，獨立地感知、學習、理解好、提高，完成主體對外在事物和自我的超越，實現創新.

3 高等數學教學培養學生創新思維能力的幾點思考

物理學家勞爾說：“重要的不是獲得知識，而是發展思維能力.教育無非是一切已學過的東西都忘掉的時候所剩下的東西.”［4］這番話初聽起來似乎有點偏激，然而它的精神無疑是正確的，其實，一個人走出校門以后，他在實際工作中所表現出來的才能高低，正是取決于“剩下的東西”.其實上述的“剩下的東西”正是當前我們強調概念學習、問題解決和創造性，為了達到最有效的學習，應當向學生講的越少越好，而對他們自己去發現引導越多越好.因此被譽為“思維體操”的數學教學，在教學過程中需經過何種形式培養學生的創新思維能力呢？

1.課堂教學中營造培養“創新思維能力”的氛圍.

古人云：“親其師，才能信其道.而信其道，才能好其導乃行其道.”這說明建立平等、和諧的師生關系，老師才能取信于學生，學生才能樂于接受他的教育.從心理學角度看，教師不僅只是傳授知識，還應幫助學生學習，培養他們的學習能力.從心理健康角度講，教師應能把學生從懼怕權威、缺乏自信心以及自卑感等不良心理狀態中解救出來；鼓勵學生表達自己的思想和觀念.這就要求教師努力要建立民主和諧的師生關系.

另外，在課堂教學中，教師要鼓勵學生發表與自己不同的見解，要讓學生敢于否定“權威”的觀點和定論.只有這樣才能促使每個學生樹立學習信心，營造自由安全的教學環境.課堂教學歷來都是教學改革的主戰場，當然也是培養學生創新思維能力的主戰場，在數學教學中抓住教材的基本數學知識，基本數學方法，基本數學思想的前提下，不拘泥于教材上的例題、題解、順序等，變“教師是演員，學生是觀眾”為“學生是演員，教師是導演”；變課堂教學結構“提問-討論-答辯-評價”為“問題-分析-探索-研究-創新（拓展）-評價”.這樣教師在數學教學中才能有意識地營造學生創新思維能力的學習氛圍.

2.教學內容中突出對創新素材的挖掘.

高等數學具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性、廣泛的應用性、豐富的創新思維方法，因此教學中為學生列舉豐富多樣的素材，對學生創新思維的形成具有深刻的啟迪作用，高等數學課程教學中創新素材的挖掘可以從以下幾個方面入手：1）對數學知識背景與產生發展過程的再現.2）對具有創新特征的教學內容的組織；在教學內容的選編與組織中，應突出具有研究性的概念、原理與技能的內容；應留給知識發展的空間與學生思考的余地；應包含能喚起學生好奇心，使學生獨立思考的教學內容；應包含具有一定綜合與實際意義的教學內容.3）對教學內容中創新思維方法的挖掘；高等數學中蘊含了豐富的思維方法，如歸納與演繹，分析與綜合等邏輯方法，數學中的形象思維、靈感思維、范思威定式等非邏輯思維，以及數學中特有的悖論、猜想和常用的數學方法，這些方法對學生創新思維的形成具有積極的促進作用.

3.教學過程中體現對創新意識與創新精神的培養.

教師是課堂教學的組織者和實施者，在教學雙邊活動中，要培養學生的創新精神，教師首先必須有創新的教育觀念，才能培養有創新精神的學生.首先，教師要樹立培養學生創新精神的意識，自覺的在課堂中改變過去那種以教師為中心的注入式教學，不斷嘗試以學生為主體的研究式教學方式.其次，教師要注重對學生學習方法的指導，教師在高等數學課堂中要充分調動學生的思維積極性，讓學生自己去觀察、去發現、去探討，教師在整個教學環節中只起引導的作用，教給學生行動的方法，培養學生的自學研究、探索興趣和創新欲望.再次，教師在教學中對學生認識興趣的激發，把數學內容的特點，根據其特點挖掘激發學生興趣的源泉，使學生產生好奇心，引起學生的探索欲望，進而提高認識興趣；突出數學內容中數學美的特征，使學生產生對數學美的追求和受到美的熏陶，激發學生的學習興趣.最后，課堂教學中要做好創新思維情境的創設，拓寬課堂教學中思維空間，創造良好的思維情境是培養學生創造思維的必要條件，它需要教師深入挖掘教學內容的思想性，設計啟發學生創造性的問題，有了課堂的啟發和引導，還需拓寬學生的思維空間，留給學生思考余地也是課堂教學中實施創新教育的另一方面.只有留給學生有展示自己時間和空間，整個教學就會變單向式教學過程為交互式教學過程，使學生對知識的掌握有點到線成網狀分布，擴大知識面和思維空間.

4.教學考核中滲透創新教育思想.

在教學測試中滲透創新教育思想是創新人才培養的重要組成部分，現有的教學測試和聯系主要以訓練和考核基本知識掌握與運算推理為主，缺乏對知識應用能力，尤其是創新能力的訓練和測試.考試成績決定一切在傳統應試教育中根深蒂固，不利于創新人才的培養，這就要求在練習與測試的選題原則與方式上，變重知識輕能力的訓練為考核轉化為知識與能力相結合，變重理論輕應用的訓練與考核轉化為理論與實際相結合，變以閉卷為主的測試方式轉化為閉卷與開卷，報告與小論文相結合.為此，在教學過程中可將專題為單元的訓練與考核方式相結合.在練習中布置設計一些具有一定深度和創造性的練習，如對某一專項思維能力培養的強化練習，對某一實際問題的數學建模與上機實驗，對某一專題的思考與研究報告等來培養學生創新精神與創新思維能力.在測試中控制知識和能力比例，加強分析解決實際問題的能力，使練習與創新教育相結合.

總之，數學教學中創新教育的實施是一項綜合的系統工程，培養學生創新思維能力是當今教育界中的一個嶄新的課題，要真正做到更新觀念、轉變思想、建構科學的符合學生認識規律的教學氛圍來實現培養學生的創新思維能力的方法，還需教育工作者不斷地探索、實踐和研究來促進以創新教育為核心的素質教育的實施和創新人才培養工作的開展.

［1］ 布魯納.教育過程［M］.邵瑞珍譯.北京：文化教育出版社，1982：65-75.

［2］ 呂宗明.數學教學中滲透創新思維能力的途徑［J］.四川教育學院學報2005，21（增刊）：86-87.

［3］ 魏淑慧.研究式教學與學生創新思維能力的培養［J］.山東師范大學學報2008，53（5）：68-72.

［4］ 楊仲明.創造心理學入門［M］.武漢：湖北人民出版社.1988：180-225.

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C

1672-1454（2010）增刊1-0057-05