數學建模思想方法融入高等數學教學的思考與實踐

楊曙光， 李治明

（新疆大學數學與系統科學學院 ，烏魯木齊 830046）

數學建模思想方法融入高等數學教學的思考與實踐

楊曙光， 李治明

（新疆大學數學與系統科學學院 ，烏魯木齊 830046）

通過對若干高等數學應用問題教學過程的分析展示，著意討論了通過還原應用問題的真實與生動，創設情境以激發探究，將實際問題轉化為數學問題的過程；提供了立足課本，把握數學建模的關鍵環節，使學生了解數學建模思想方法及步驟、提高“用數學”能力的實踐方案；說明把數學建模的思想方法積極滲透、有機融合到公共數學課程中是可行和有效的．

高等數學； 應用問題 ；數學建模； 思想； 方法

克萊茵曾說：“邏輯關系或可以說數學機體上的硬骨架，必須保持下去，以便使數學具有它特有的可信性．數學的生命，數學最重要的動力，數學在各方面的作用，卻完全依賴于應用，即取決于那些純邏輯內容和其他一切領域間的相互關系”．“數學建模”及“數學實驗”類課程的開設，正是這一觀點在數學教育實踐中的具體體現．所謂數學模型是指通過抽象和簡化，使用數學語言對實際現象的一個近似的刻畫，以便于人們更深刻地認識所研究的對象．數學建模思想方法的本質，是將實際問題轉化為數學問題；而實現問題轉化的關鍵環節，是通過對實際問題的抽象、簡化，做出必要、合理、恰當的假設，以提出數學內涵，建立數學模型．首先建模時究竟該保留實際問題的什么因素，忽略什么因素并沒有什么范式可依循，需要建模者根據對實際問題的理解、研究的目的以及數學背景進行歸納提煉加工，去粗取精、去偽存真來完成，這是一個創造性的過程；最后，還要將分析模型所得到的數學結論回到實際中去解釋問題，以檢驗所得數學模型是否符合實際問題，進而解決問題，這同樣是一個創造性的過程．這是數學建模的難點，也可能成為提高學生“用數學”能力的契機．

李大潛院士在“2008年大學數學課程報告論壇”上所作的《漫談大學數學教學的目標與方法》報告中談到，學習數學這門學科（無論是對中小學還是對大學，無論是對理工科還是對文科，無論是對青少年還是對成人，無論是將來走上怎樣的工作崗位，）應該努力達到三個方面的要求，簡而言之就是知識、能力、素養和精神．李院士指出：“如果割斷了數學與外部的世界聯系，割斷了數學與現實生活的關聯，單純從概念到概念，從公式到公式，數學就成了無源之水、無本之木，數學的教學就必然枯燥乏味、失去活力，所傳授的知識就不可能是全面深入的，更不可能給學生以數學的思想方法與精神實質的啟迪，就不可能真正實現數學教學方面的要求．”李院士強調指出：“如果覺得數學紙上談兵、毫無用處，覺得數學高不可攀、難于理解，覺得數學枯燥無味，甚至面目可憎，對其敬而遠之、退避三舍，這樣的數學教與學，無疑是失敗了．”這是對數學教育教學目標的精辟闡述，筆者對此感同身受．

受眾廣、課時長的《高等數學》是大學數學類主干課程．在課程教學中積極滲透、有機融合數學建模的思想方法，積極引導、幫助在校大學生理解數學精神實質，掌握數學思想方法，增強運用數學的意識，提高數學能力，對培養學生的數學素養，全面提升教育教學質量有著積極的實際意義．雖然《高等數學》課程內容多、課時緊，應用問題數量、難度都很有限，但教學實踐表明，教師立足課本內容，在深刻理解、充分利用、正確把握的基礎上，抓住課堂教學契機，營造探究情境，引導學生積極自然順暢地分析思考，使學生參與問題轉化和解決的全過程，幫助學生領悟數學建模思想，掌握分析解決問題的方法，體會數學與現實世界的緊密聯系及強大生命力，從而實現數學教育教學目標．

西安交通大學知名教授馬知恩、王綿森主編的《高等數學簡明教程》中的應用問題如減肥問題、疾病傳播問題等，有典型性、有時代感，為教師用好、用活教材提供了很好的素材和發揮發展空間．筆者就為實現數學教學目標，在《高等數學》應用問題教學中，如何通過還原應用問題的真實與生動，展現數學與現實生活的關聯及活力，把握數學建模的關鍵環節，提高“有效應用數學”的意識；如何通過引導學生積極、自然、順暢地分析思考，化解對實際問題原型進行數學抽象的難點，提高“有效應用數學”能力這兩方面所做的一些教學嘗試小結如下，以求與同仁交流提高．

1 創設情境，共同探究

探照燈的聚光鏡鏡面是一張旋轉曲面，它的形狀由xOy坐標面上的一條曲線L繞x軸旋轉而成．按聚光鏡性能要求，在其旋轉軸（x軸）上一點O處發出的一切光線，經它反射后都與旋轉軸平行，求曲線L的方程．見圖7—4（同濟《高等數學》上冊（第六版）306頁，例2）

可以看到，教材為行文簡明，在敘述應用問題時，已加入許多“數學化”了的東西，實際問題表述成了經加工過的“半成品”．如果教師照本宣科，少鋪墊不引入，先入為主，解完了之，不僅錯失了教育教學良機，學生遇到實際問題時，也可能不會分析、不知所措．筆者認為，應還原和再現應用問題的真實和生動，創設問題探究的情境，讓學生體驗“數學建模”創造性的過程，學會怎樣“用數學”．筆者的講法是：

問題提出：設計一款手電筒的反光鏡面的形狀．（問題一出，同學們躍躍欲試）

分析討論：

1．從適宜批量生產、降低成本、保障利潤考慮，設計的手電筒只有一個點光源，而且鏡面規整光滑．故假設，鏡面是由一平面曲線C繞該平面的一條直線L旋轉而成．②由光學知識可知，要想手電筒射程遠，射點亮，點光源經鏡面反射后，應成為平行光束．③由對稱性可知，點光源應當在旋轉軸L上，且C應與L相交．于是，只要求出平面曲線C即可．

3．解釋實際意義：由曲線C的方程可知，使反射光束成平行光束的旋轉鏡面，只能由拋物線繞其對稱軸旋轉而成，而且點光源在拋物線的焦點上．

2 突出重點，因勢利導

設有一均勻、柔軟繩索，兩端固定，繩索僅受重力作用而下垂，試問該繩索在平衡狀態時是怎樣的曲線？見圖7—6（同濟《高等數學》上冊（第六版）319頁，例4）

課本解法：設繩索最低點為A，取y軸通過點A垂直向上，并取x軸水平向右，且｜OA｜等于某個定值（這個定值將在以后說明）（后略）

學生難免出現這樣的疑惑：為什么要這樣建立坐標系？為什么坐標原點不取在那個特殊點（即最低點）處？｜OA｜又是一個怎樣的定值？求解比較知道，這樣建立坐標系得出的曲線方程比較簡潔整齊．但如果一開始就把這種后來總結出的相對完美的“高觀點”強加給學生，必定會干擾學生自然順暢地思考，使學生分析問題、解決問題時不得要領；而且學生失去了嘗試的機會、認識鏈條人為地脫節，這不能不說是個不小的損失．

筆者嘗試這樣的展開：

問題提出：崇山峻嶺間架設輸電線路．兩根電線桿間的電線通常呈下垂狀．問在平衡狀態下，電線是怎樣的曲線．（課堂熱議，不少同學猜測曲線是拋物線）

分析討論：

1．由實際問題知，兩電線桿距離足夠大，故可假設電線是纖細且均勻的，設其線密度為ρ；（教材上圖7－6曲線兩端點不等高也可以順理成章地解釋了）．為簡化起見，假設電線是柔軟的，僅受重力作用而下垂．

于是，只要求出平面曲線方程即可．

3 開放問題，深入研究

減肥問題．減肥就是減少體重，而體重變化取決于熱量的吸收和消耗．設某人每天的飲食可產生A（J）的熱量，用于基本新陳代謝所消耗的熱量為B（J），用于鍛煉所消耗的熱量為C（J／kg）．為簡單計，假設增加或減少體重所需的熱量全由脂肪提供，脂肪的含熱量為D（J／kg）．求此人開始減肥后體重隨時間的變化規律．（馬知恩、王綿森主編的《高等數學簡明教程》上冊282頁，例2．11）

為了展示根據對實際問題的理解、研究的目的以及數學背景，對實際問題進行歸納、提煉、抽象、簡化，做出必要、合理、恰當的假設，以提出數學內涵，建立數學模型的分析過程；展現將分析模型所得到的數學結論回到實際中去解釋問題，以檢驗所得數學模型是否符合實際，以及如何修正假設，進一步研究問題的討論過程，使學生深刻體會、理解和把握數學建模的關鍵環節，筆者與學生進行了以下的分析探討．

問題提出：夏天快到了，你的朋友希望減肥，你能不能給他一些可以信服的說明和建議（話音未落，課堂氣氛異常活躍）．

討論分析：

1．什么是減肥？科學地講應當是減少多余的脂肪．但“多余的脂肪”這一指標不易檢測和定量．為簡化問題，假設體重的變化就是脂肪的變化（實際生活中人們也是樂于接受的）．

2．知識表明，脂肪的變化取決于熱量的吸收和消耗．考慮到實際操作即減肥計劃的可行性，假設某人吸收的熱量為一項：飲食A．消耗的熱量為兩項：①新陳代謝B；②運動鍛煉C．易知A≥B．

3．人為能控制的因素是A，C，而C是減肥計劃中重點操控的指標，故單位取為A（J／天），B（J／天），C（J／kg天）．

4．為制定減肥方案，需求出開始減肥后，在因素A，B，C作用下，體重隨時間變化規律．

設此人開始減肥時刻t＝0時，體重為w0，時刻t時，體重為w（t）．觀察微小時段［t，t＋d t］內此人熱量Q的變化d Q．一方面：在［t，t＋d t］內體重的改變量為d w，根據假設此即為脂肪的改變量．為轉換成熱量，設脂肪的含熱量為D（J／kg），則d Q＝D d w．另一方面，考慮在［t，t＋d t］內該人在因素A、B、C作用下，熱量變化情況．由于運動消耗C與體重有關，盡管［t，t＋d t］內體重是不斷變化的，但由于d t很小，體重變化很小，可以認為不變．故

② 短期達到“理想”體重如何做？

理論上可通過取定B，D（選擇同年齡段的平均值），選取飲食A、運動鍛煉C的最佳組合付諸行動，實現目標．

6．引申討論，深入探究．

① 若假設不同，例如熱量變化因素還是A，B，C，但單位取為A（J／天），B（J／kg天）C（J／天），結果如何？我們發現這樣所得的方程及方程的解也不同．對結果進行分析，解釋實際意義發現，雖然也能反映實際情況，但可得出的結論策略少了，達不到預期目的，需重新審視假設．通過比較發現，前面討論分析的假設是較完美的．

② 對減肥問題，還能提出怎樣的假設，進行怎樣的討論，以得出更好的減肥策略．

（這些問題可留給學生課后進行研究）

數學學習不僅僅是學習數學的概念、公式、定理和結論，懂得各種各樣數學方法與手段，還在于領會和掌握數學的思想方法和精神實質，舉一反三，靈活演繹，“學活”數學，更在于有明確的意識、相當的能力、有效地運用數學解決現實世界中種種實際問題，在于造就并形成一種優良的數學素養，從而對今后一生的發展都起到重要的積極的作用．數學教學、教法研究都應緊緊圍繞這一目標展開．將數學建模思想方法運用于數學課堂教學，就是實現上述目標的有效途徑之一．實踐表明，先進的教育理念，明確的教學目標，扎實的科研、教學基本功，加之不斷學習、鉆研、思考，是做好教學工作的重要保證．大學數學的多門類課程及豐富的課堂教學內容，為數學教師實現教育教學目標提供了廣闊的思考、發展、應用空間，有待于教師付出辛勤和努力，切實投入，認真實施．

［1］ 李大潛．漫談大學數學教學的目標與方法［C］／／大學數學課程組委會［M］／／2008大學數學課程報告論壇論文集．北京：高等教育出版社，2008：3－8．

［2］ 劉來福，等．數學模型與數學建模［M］．北京：北京師范大學出版社，1997．

［3］ 同濟大學數學系．高等數學［M］．北京：高等教育出版社，2007．

［4］ 馬知恩，王綿森．高等數學簡明教程［M］．北京：高等教育出版社，2009．

G642．2

C

1672-1454（2010）增刊1-0136-05