一階線性微分方程解的漸進性證明

袁春華

（濟南大學理學院，山東 濟南 250022）

一階線性微分方程解的漸進性證明

袁春華

（濟南大學理學院，山東 濟南 250022）

本文給出了一階線性微分方程解的漸近性證明常用的結論并對結論進行了證明，通過舉例說明了應用這些結論證明一階線性微分方程解的漸進性非常簡便。

一階線性微分方程；初值問題；連續

1.基本知識

2.基本結論

對于滿足一定條件的一階線性微分方程，可以利用一階線性微分方程解表達式（1），對一階線性微分方程解的漸進性進行證明，證明時，常用到如下的相關結論．

則對上述任給ε>0，取T=max{T0，T1}，當x>T時，由式（2）、（3）可知：

證明：令F（x）=f（x）-b，則F（x）在［0，+∞）上連續，且有由結論1可知：=0.

從而

3.結論應用

證明：不妨設y=y（x）是方程任一解且滿足 y=（0）=y0，初值問題滿足解的存在唯一性條件，由（1）式可知，該初值問題的解為：

則

例2：設f（x）在［0，+∞）上連續可微，

4.小結

對上述例題，也可以直接用函數極限定義直接證明，但非常麻煩；利用上述結論證明有關一階線性微分方程解的漸進性非常方便簡捷。

［1］東北師范大學微分方程教研室.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［2］王克，潘家齊.常微分方程學習指導書［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［3］莊萬.常微分方程習題解［M］.濟南：山東科學技術出版社，2008.

［4］王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2004.

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O175

A

1008—3340（2010）04—0059—02

2010－08－28

袁春華（1967-），男，講師，碩士，研究方向：交通規劃、智能優化算法。