基于割線法計算單圓弧齒輪傳動公法線長度

羅文翠 朱玉紅 易湘斌

（蘭州工業高等?？茖W校機械工程系，甘肅蘭州 730050）

基于割線法計算單圓弧齒輪傳動公法線長度

羅文翠 朱玉紅 易湘斌

（蘭州工業高等?？茖W校機械工程系，甘肅蘭州 730050）

在圓弧齒輪傳動及其測量尺寸公法線長度的計算原理基礎上，以67型單圓弧齒輪為例，提出了利用割線法計算單圓弧齒輪公法線長度的原理、求解方程流程圖、迭代方程及編程，比手工計算大大降低了工作量，而且精度也得到了很好的保證。

單圓弧齒輪 公法線 割線法 應用

圓弧齒輪傳動是近幾年發展起來的一種新型齒輪傳動，單圓弧齒輪傳動的小齒輪采用凸齒，大齒輪采用凹齒。自上世紀60年代以來，有關工廠、學校和科研單位進行了大量的研究、試驗和推廣工作，取得了較大成績。和漸開線齒輪傳動相比較，單圓弧齒輪傳動具有一系列優點：①當量曲率半徑大，齒面接觸強度高;②摩擦損失小，傳動效率高，齒面磨損小;③齒面磨損均勻，易跑合，具有良好的跑合性能;④無根切現象，其最少齒數僅受軸的強度及剛度限制，Zmin=6～8;⑤振動噪聲比漸開線齒輪小，制造工藝簡單。

工程實踐證明，在幾何參數相同的條件下，單圓弧齒輪承載能力比漸開線齒輪高1～1.5倍。鑒于以上優點，單圓弧齒輪受到各國齒輪界的普遍重視，我國正在冶金、石油、礦山和起重運輸機械等領域逐漸推廣使用。

1 單圓弧齒輪傳動測量尺寸——公法線長度的計算

經過多年對單圓弧齒輪傳動的測量研究，目前已建立一套較為完善的理論體系，并且在實踐中得到了良好的應用。但是隨著單圓弧齒輪傳動向高速、重載、大功率方向的發展，對測量技術提出了更高的要求，因此需要不斷完善現有的測量方法、計算方法，提高測量技術，加強對新測試方法的研究。

單圓弧齒輪傳動測量尺寸的計算方法和漸開線齒輪基本相同，但是與基準齒形有關的檢驗項目，如弦齒深、齒根圓直徑、齒厚、公法線長度等尺寸都比較復雜。

1.1 單圓弧齒輪公法線長度的計算原理

單圓弧齒輪公法線長度的測量，是一個基本的檢測項目，目的是控制齒形厚度。其計算方法是計算兩個有規律變化曲面之間的公法線長度。從數學角度講，它的實質是求二元函數的極值，但對于單圓弧齒輪來說，基于齒面是法向圓弧螺旋面的特性，齒面上任一點的法線位于過該點并與準線相垂直的平面內且和該平面內圓弧曲線的法線重合。這樣問題就簡化很多，此二異側齒面的公法線勢必與該二側面的兩準線相交并垂直，于是單圓弧齒輪公法線長度的計算歸結為計算兩條螺旋線（準線）之間的最短距離。基于以上原理可求出雙圓弧齒輪的公法線長度和跨測齒數，計算公式如表1。表中公式說明如下：

表1 測量尺寸計算公式

（1）對于跨測齒數 k1、k2的計算，其公式中 z1、z2分別為大小齒輪齒數，mn為法面模數，αt為理論接觸點處端面壓力角（tanαt=tanαn/cosβ），αn為法面壓力角，β為螺旋角，lα為凸齒齒廓圓心偏移量，lf為凹齒齒廓圓心偏移量，ρ1為凸齒齒廓圓弧半徑，ρ2為凹齒齒廓圓弧半徑，x2為凹齒齒廓圓心移距量。式中上標為*的尺寸參數是指該尺寸與法面模數mn的比值，根據齒輪法面模數查手冊可得。由于以上參數均為已知或可求，故k1、k2可方便求出，計算結果須向上圓整。

（2）公法線長度 wk公式中 αt1、αn1、αt2、αn2分別為小齒輪和大齒輪在測量時觸頭與齒面接觸處的端面壓力角及法面壓力角，對于wk1、wk2公法線長度的計算，關鍵在于①、②兩超越方程的求解。傳統計算采用手工完成。計算時初取αt1=αt2=αt，進行第一遍計算，重復多次，直到αt1、αt2的誤差在1″內為止。但此種計算方法較繁瑣，應用困難。以下給出采用割線法求解兩超越方程進行公法線長度計算的編程計算方法。

1.2 割線法原理簡介

割線法是一種重要的逐次逼近的求解法，它是采用某個固定的公式把所選定方程根的初值代入，以校正根的近似值，使之逐漸精確化，最后得到滿足要求的解。割線法是一種常用的迭代方法，其基本方法是把非線性方程轉化為某個線性方程來求解。

如圖1所示，割線法是以過曲線上兩點（xn－1，f（xn－1））、（xn，f（xn））的直線為

設已知方程f（x）=0的一個近似根為x0，則函數f（x）在x0附近可用一階泰勒多項式f（x）=f（x0）+f′（x0）（x－x0）來近似表示。因此方程f（x）=0在點x=x0可近似地表示為 f（x0）+f′（x0）（x －x0）=0，設 f′（x0）≠0，則線性方程的解為 x=x0－f（x0）/f′（x0）=x1。

重復以上過程得到迭代公式為xn+1=xn－f（xn）/f′（xn）。再用差商［f（xn）－ f（xn－1）］/（xn－ xn－1）代替導數 f′（xn），得迭代公式

按此公式計算方程的近似解稱為割線法。

用割線法求非線性方程的解，必須給出兩個初始值x0與x1，通常取根所在區間的端點即可。一般，用割線法求所求前后兩次迭代誤差不超過允許的誤差，即以｜xn－xn+1｜＜ε為停步準則，即 ：可取xn為方程的根，誤差不會超過ε。

1.3 利用割線法求解方程的流程圖

利用割線法求解方程，其流程圖如圖2所示。

1.4 迭代方程

整理①、②兩方程并對此求導，得到

得到具體迭代方法

1.5 程序（略）

2 實際應用

基于以上程序，對某廠生產的一對67型單圓弧齒輪（表2）傳動公法線長度進行計算。

表2 單圓弧齒輪基本參數

計算精度E取值為0.000 01，執行程序，計算結果如下。

3 結語

基于割線法進行單圓弧齒輪公法線長度計算方法，復雜的計算過程借助于計算機，比手工計算大大降低了工作量，而且精度也得到了很好保證，為生產提供了方便，此方法已在多家機械工廠推廣。

1 王志，謝華錕，王貴成.錐齒輪測量原理以及測量儀器最新進展［J］.電測與儀表，2005（8）

2 謝華錕，王志，石照耀等.錐齒輪測量技術的最新進展［J］.工具技術，2003，37（10）

3 呂罕聰.螺旋錐齒輪測量方法研究［D］.中國優秀碩士學位論文全文數據庫，2007（2）

4 丁麗娟.數值計算方法［M］.北京：北京理工大學出版社，1997：193～196

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Calculate the Common Normal Line’s Distance of Single Arc Gear Based on Secant Method

LUO Wencui，ZHU Yuhong，YI Xiangbin
（The Mechanical Engineering Department，Lanzhou Higher Polytechnical College.Lanzhou 730050，CHN）

We provided a way used secant methord and put forward the calculating principle of the common normal line，the flow chart，the alternating equation .This method was based on the calculating principle and formula of the double arc gear’s driving and measuring common normal Line’s distance and made 67 arc gear as an example.It creased labor power firmly and the precision was also increased.

Single Arc Gear;Normal Line;Secant Method;Application

羅文翠，女，1969年生，副教授，主要研究方向為結構設計、優化設計，已發表論文20余篇。

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2009―07―29）

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