離散數(shù)學中等價關系的教學導入與導出

王新春,李曉穎,馬俊紅

(河北理工大學理學院,河北唐山 063009)

離散數(shù)學中等價關系的教學導入與導出

王新春,李曉穎,馬俊紅

(河北理工大學理學院,河北唐山 063009)

等價關系;教學導入;教學導出

闡述了等價關系在離散數(shù)學中的教學設計,主要涉及在介紹等價關系時,如何進行等價關系的教學導入;在該課程幾近結束時,為了強調等價關系在離散數(shù)學中的重要地位,如何進行等價關系的教學導出。強調了離散數(shù)學中等價關系對計算機專業(yè)的重要性。通過等價關系的學習,學生的抽象思維能力將會提高。

目前很多大學生反映對學過的知識甚至是整門課經(jīng)常沒有留下深刻的印象。作為教師,應隨時給與學生全面而深入的指導。這就要求教師對教學進行精心的設計,特別是對一些重要的知識。對于重要的知識,首先設計教學導入,由淺入深,不讓學生產生畏難情緒。在該門課將近結束時,安排關于這部分知識的教學導出。下面是離散數(shù)學中等價關系的教學導入與導出的研究。

一 等價關系的教學導入

課堂教學的導入與教學效果有著直接的聯(lián)系。精心設計課堂教學的導入,能夠集中學生的思維活動,引起學生的好奇與思考,創(chuàng)設一種較佳的問題情境,啟發(fā)和刺激學生的學習興趣,充分調動學生的學習積極性,使學生進入一種有著高求知欲的振奮狀態(tài)[1]。從而使課堂教學從鋪墊轉化為探索新知的過程。這一環(huán)節(jié)如果安排和設計得好,就能緊緊吸引學生的注意力,活躍學生的思維,使學生進入最佳的學習狀態(tài),教學就會取得良好的效果。實踐證明,教師對課堂導入環(huán)節(jié)是否重視,是否精心設計,教學效果迥然不同。

通過溫故知新法可進行由已知知識向未知知識的教學導入。溫故可找到與新知識相聯(lián)系的支點。在每次上課開始,讓學生復習舊課內容,逐漸導入新知識,形成知識的自然銜接、過渡到新課內容。這種導入符合學生學習知識由淺入深、循序漸進的認知規(guī)律。

在講述等價關系時,先向學生提問中學里介紹的三角形的全等和相似的概念并歸納其性質。在總結了自反性、對稱性和傳遞性三個性質后,我們就從上述諸問題中抽象出等價關系的概念,以及等價類的概念。

定義 1 設 R是非空集合A上的關系,如果關系 R同時具有自反性、對稱性和傳遞性,則稱 R是 A上的等價關系。

定義 2 設A是非空集合,R是上的等價關系,?x∈A,令,[x]R= {y|y∈A,xRy}則稱 [x]R為x關于R的等價類[2]。

為了更好地理解等價關系,舉一些從日常生活中觀察到的例子。比如,日常生活中常會碰到對一些對象進行分類的問題。例如,對一些幾何圖形,我們可以使用面積之間的相等關系將這些幾何圖形分類,即面積相等的幾何圖形算作一類。這種分類使得每個幾何圖形都必定屬于某類,并且不同類之間沒有公共元素。事實上,任何一個分類法總是在某一觀點下把一些元素看做是同樣的,并且希望每一個元素在這種分類下都必定屬于且僅僅屬于某一類,具有這種功能的分類方法在數(shù)學上就是一個等價關系。

二 等價關系的教學導出

為了加深對某一部分知識的掌握,重復是一個很好的方法。為了加深對這部分知識的理解,需要將這部分知識拓廣,研究它的應用。實踐中,常利用關系把事物進行分類。分類是人們認識事物性質的一種方法,而按等價關系分類恰是一種分類的抽象方法。它要求首先找到事物間的等價關系,再按照等價關系把事物分類,使得屬于同一類的事物相互間是等價的,不同類的事物都沒有等價關系。在代數(shù)中所有等價的矩陣就是一個等價類,所有等價的向量組也稱為一個等價類。在矩陣論中的矩陣的合同關系,相似關系等都是等價關系;線性空間的同構關系也是等價關系。此外,整數(shù)可按模 k的同余關系分類,余數(shù)分別為: 0,1,2,k—1,因此可將整數(shù)可按模 k同余分為 k類。方程可按未知數(shù)的冪次分類。方程組可按同解分類,等等。數(shù)理邏輯中,命題公式 A和 B的等值關系是一種等價關系。這樣,按照命題公式是否等值將所有命題公式劃分成若干個等價類,屬于同一等價類中的命題公式彼此等值。因此,命題公式的等值關系是獲取命題公式性質的基礎。

集合論中,集合A與B的等勢關系是建立在所有集合為元素的集合上的一個等價關系,它實際上是從集合含有元素多少的角度來對集合進行劃分。只要兩個集合所含元素的個數(shù)相同,就把他們視為是相同的集合,可將它們歸為一類。另外,在集合上,每個等價關系對應集合的一種劃分,集合的每一種劃分又對應于集合的一個等價關系。不同的等價關系對應的集合的劃分也不同。一般地,對有n個元素的集合,有種不同 Bn的劃分,這里。

代數(shù)結構中有代數(shù)系統(tǒng)的同構,代數(shù)系統(tǒng)的同構關系是指全部代數(shù)系統(tǒng)構成的集合上的等價關系。利用代數(shù)系統(tǒng)的同構關系可以對代數(shù)系統(tǒng)進行劃分。從而使屬于同一等價類但表現(xiàn)形式不同的代數(shù)系統(tǒng)具有同樣的運算性質。因此只要知道一個代數(shù)系統(tǒng)的性質,便可將其性質移植到與之同類但表現(xiàn)形式可能不同的新的代數(shù)系統(tǒng)上去。

圖論中,無向圖中點與點間的連通關系是一種等價關系。它是建立在由無向圖中所有結點做成的集合上的等價關系,只要兩個結點間存在通路,則這兩個結點就是等價的,它們便歸為同一類。無向圖中連通分支的概念就建立在連通關系的基礎之上。圖的同構也是圖論中十分重要的等價關系。

通過上面各種具體的等價關系的描述可以看到,盡管它們分屬于離散數(shù)學的各個不同的分支,所基于的集合中的對象表現(xiàn)形式和描述方式千差萬別,但它們都是基于一個集合上的二元關系,且均具有自反性,對稱性和傳遞性。將它們的共性抽象出來便可將這些具體的等價關系都統(tǒng)一到定義中來。從而實現(xiàn)了從特殊到一般的認識規(guī)律。

三 等價關系的應用研究

1 等價關系在計算機領域的應用

(1)在軟件工程領域,為了盡可能多地找出軟件設計過程中可能存在的各種錯誤,常常使用一種被稱為“等價類劃分”的軟件測試法。這種方法將所有待測試的數(shù)據(jù)所構成的集合劃分成若干個符合軟件規(guī)格和設計規(guī)定的有效等價類和與之相反的無效等價類。然后在每個有效等價類和無效等價類中各取一個數(shù)據(jù)進行測試,若某個等價類中的一個數(shù)據(jù)能測出軟件中的錯誤,說明該等價類中的其他數(shù)據(jù)也能測出錯誤;相反,若不能測出軟件中的錯誤,則該等價類中的其它數(shù)據(jù)也不能測出錯誤。這樣,可大大提高軟件的測試效率。

等價類測試是有效減少測試用例而避免冗余測試用例的一種高效測試方法 ,但是對于測試者來說,尋找一種等價類測試的劃分方法十分重要,等價類測試的關鍵問題是等價類測試用例構成集合的劃分 ,劃分后的等價類測試用例是一組互不相交的子集。且這些子集是整個集合,這說明了測試的完備性和無冗余性[3]。通過進行等價類測試劃分 ,可以大大減少測試用例,具有較強的實踐指導作用 ,能快速確定測試的最小集,降低測試成本,提高軟件的可靠性等方面有著重大的意義。

(2)在數(shù)據(jù)庫理論中,分組查詢是一種重要的數(shù)據(jù)庫操作,它本質上也是一種等價類的劃分。它將相關數(shù)據(jù)表中的所有記錄作為一個集合,根據(jù)記錄的一個或多個屬性的值是否相同來進行分類,屬性值相同的歸為一類,在此基礎上可進行進一步的分組統(tǒng)計等操作。

數(shù)據(jù)庫中關聯(lián)規(guī)則挖掘是數(shù)據(jù)挖掘領域研究的一個重要課題。關聯(lián)規(guī)則挖掘可以發(fā)現(xiàn)大量數(shù)據(jù)中項集之間的關聯(lián)或相關聯(lián)系。從大量商務事務中發(fā)現(xiàn)有趣的關聯(lián)關系,可以幫助許多商務決策的制定。基于等價關系和等價類來生成侯選頻繁項目集;并利用參照數(shù)據(jù)集代替原始交易數(shù)據(jù)庫進行侯選頻繁項目集中支持度計數(shù)的測試,以此來減少對原始交易數(shù)據(jù)庫的掃描次數(shù)。這種方法在一定程度上提高侯選頻繁項集和頻集的生成效率[4]。

2 等價關系在粗集領域的應用

粗集理論是由波蘭數(shù)學家 Z.Paw lak于 1982年提出的,它是建立在等價關系的基礎上,因為等價關系可以把論域U上的元素劃分為不同且不相交的等價類,而且同一等價類里的元素是不可分辨的[5]。

粗糙集理論是一種處理模糊和不確定知識的數(shù)學工具,其主要思想就是在保持分類能力不變的前提下,通過知識約簡,導出問題決策和分類規(guī)則。目前,粗糙集理論已被成功地應用于機器學習,決策分析,模式識別,過程控制和知識發(fā)現(xiàn)與數(shù)據(jù)挖掘等眾多領域。

四 結論語

在開始學習等價關系的時候要先行強調等價關系的重要性,簡略指出它應用非常廣泛。這為后期對等價關系引申和應用埋下伏筆,使每個新知識點的出現(xiàn)都成為有源之水[6]。前后知識一連貫,使一本書先讀厚了再讀薄了。這樣教學的各個環(huán)節(jié)是緊湊有機的統(tǒng)一體,只有前后照應,課堂教學才能成功。同時,這樣做還能夠保持學生的求知欲和探索精神,從而會真正對離散數(shù)學課程感興趣。唯有如此,學生才會對這門課程的學習留下深刻印象,才能最大限度地發(fā)揮教學應有的功能。

[1] 殷佳琳 .《電工電子技術》課教學的導入技巧 [J].機械職業(yè)教育,2005,8.

[2] 周忠榮 .離散數(shù)學及其應用 [M].北京:清華大學出版社,2007.12.

[3] 易國洪,盧炎生 .基于 EFS M模型的等價類測試 [J].計算機科學,2007.Vol.34 NO.1.

[4] 王燕 .基于等價關系的關聯(lián)規(guī)則挖掘算法研究 [J].計算機工程與應用,2006.08.

[5] 徐曉靜,裴海峰 ,史開泉.模糊等價關系基礎上的粗集分解[J].系統(tǒng)工程與電子技術,2007,4.

[6] 楊傳林 .概率統(tǒng)計課程中拓廣引申式教學法探索 [J].數(shù)學的實踐與認識,2005,4.

Key words:equivalence relation;teaching import;teaching export

Abstract:The paper described teaching design of equivalence relation in the discrete mathematics.It contains how to carry on teaching importwhen introducing the equivalence relation and how to teach export when the course is just about to end,which aimed to stress the importance of equivalence relations to computer science.By studying the equivalence relation,students’abstract thinking ability will be improved.

The Study of Teaching I mport and Export on Equivalence Relation in D iscrete InstructureMathematics

WANG Xin-chun,L IXiao-ying,MA Jun-hong
(College of science,Hebei Polytechnic University,Tangshan Hebei 063009,China)

G 424.1

A

1673-2804(2010)05-0087-02

2009-09-30