解直角三角形在測(cè)距問題中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)應(yīng)用——解直角三角形，為我們提供了一個(gè)解決實(shí)際問題，特別是測(cè)高(如旗桿、房屋、山高、樹木等的高度)、測(cè)寬(如河流的寬度)、定點(diǎn)施工等一系列距離測(cè)量與計(jì)算的有效平臺(tái).本文著重對(duì)這一問題的幾種常見題型作一簡(jiǎn)短歸納.

1. 單直角三角形類型.這是指問題的解決，可以歸納在一個(gè)直角三角形中利用三角函數(shù)求得三角形的邊長(zhǎng).這是測(cè)距問題中最簡(jiǎn)單的模型.通過對(duì)這一類型的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉直角三角形中邊角之間的數(shù)量關(guān)系，并能運(yùn)用這些關(guān)系解決一些實(shí)際問題，從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

例1 如圖1，某飛機(jī)于空中A處探測(cè)到目標(biāo)C，此時(shí)飛行高度AC=1200m，從飛機(jī)上看地平面指揮臺(tái)B的俯角α= 16°31′.求飛機(jī)A到指揮臺(tái)B的距離.

分析 :這里只有一個(gè)直角三角形，求解十分簡(jiǎn)單，只要利用∠B=α= 16°31′，再運(yùn)用銳角三角函數(shù)sin∠B=■，代入數(shù)據(jù)得sin16°31′=■，即可求出AB，雖然它不是測(cè)量高度，但也可理解為測(cè)高(測(cè)距)類型題.

2. 單直角三角形加矩形類型.這是最簡(jiǎn)單的測(cè)高模型，利用簡(jiǎn)單的工具(如量角器)，依靠目測(cè)，可大致測(cè)得仰角.通過讓學(xué)生直接參與測(cè)量活動(dòng)，不但能使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更能培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手，學(xué)以致用的能力與習(xí)慣.

例2 身高1.5米的小剛想測(cè)量學(xué)校旗桿AB有多高，為此他在離B點(diǎn)10米遠(yuǎn)的地方C用量角器測(cè)得A點(diǎn)的仰角為60°(如圖2)，你能否幫他算算旗桿AB的高度.

分析:這是一道簡(jiǎn)單的測(cè)高模型問題，它由一個(gè)Rt△ADE和一個(gè)矩形BCDE組成，我們只要在Rt△ADE中利用三角函數(shù)tan60°=■=■，求出AE，再把AE與身高EB=1.5相加即可得旗桿AB的高.

3. 雙直角三角形類型.這是指問題的解決不能單純?cè)谝粋€(gè)直角三角形中，而是在兩個(gè)直角三角形中，兩次運(yùn)用三角函數(shù)求得三角形的邊長(zhǎng)，必要時(shí)需添加輔助線.通過對(duì)這一類型的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生比較、分析和想象能力，在解決測(cè)量問題時(shí)，能因地制宜設(shè)計(jì)出測(cè)量的方案，能將一些較復(fù)雜的動(dòng)態(tài)問題，轉(zhuǎn)化成靜止的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

例3 建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC 40m的D處觀察頂部A的仰角為50°，觀察旗桿底部B的仰角為45°.求旗桿的高度(圖3).

分析:這里存在Rt△ADC和Rt△BDC，分別利用tan50°=■和tan45°=■，求得AC、BC，再用AB=AC-BC即得旗桿的高度.

4. 雙直角三角形加矩形類型.這是一個(gè)常見的測(cè)高模型，里面含有兩個(gè)直角三角形與矩形(當(dāng)然，根據(jù)具體問題的不同，不一定需要矩形).在現(xiàn)實(shí)生活中，很多難度比較大的問題，如測(cè)量物體高度、測(cè)距、航海、攔水壩、人字架等問題的解決，都可以轉(zhuǎn)化為這一類型.

例4 如圖4，為測(cè)量河對(duì)岸某建筑物AB的高度，在平地C處測(cè)得建筑物頂端A的仰角α為30°，沿CB方向前進(jìn)n=12米到達(dá)D處，在D處測(cè)得建筑物頂端A的仰角β為60°，設(shè)測(cè)角儀高度為1.5米.求建筑物的高度.

分析:這是一個(gè)常見的測(cè)高模型，里面含有兩個(gè)直角三角形與矩形，它有一定的解題方法:一般地，我們可以在“里面”的Rt△ABD中“設(shè)”(設(shè)未知數(shù)):也就是利用tanβ=■，代入數(shù)據(jù)得 tan60°=■=■，故設(shè)AB=■x，DB=x，從而CB=CD+DB=n+x=12+x;而在“外面”Rt△ABC中“列”(列方程):即利用tanα=■，代入數(shù)據(jù)得 tan30°=■=■，解方程求得x，進(jìn)而代入可求出AB=■x，最后加上測(cè)角儀的高度BB′即可求得建筑物的高度.

5. 定點(diǎn)施工問題.實(shí)際上也是測(cè)距問題，是考查學(xué)生解決實(shí)際問題能力的中考熱點(diǎn)題，是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用.此類題列式和求解過程一般比較簡(jiǎn)單.關(guān)鍵是理解應(yīng)用性試題所描述的實(shí)際含義，掌握已測(cè)與所求之間的關(guān)系，要能根據(jù)題意正確畫圖或識(shí)圖.

例5 如圖5，沿AC方向開山修路，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時(shí)施工，從AC方向上的一點(diǎn)B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么開挖點(diǎn)E離D多遠(yuǎn)正好能使A、C、E成一直線.

分析:這是定點(diǎn)施工問題，設(shè)計(jì)上也是測(cè)距問題.這里∠E=∠ABD-∠D=140°-50°=90°，所以利用三角函數(shù)的cos50°=■，即可求出DE，從而可以定出施工點(diǎn)E的位置，使A、B、C、E在同一直線上.

責(zé)任編輯 羅 峰