同課異構:探索多邊形內角和的教學品酌

中圖分類號:G623.56 文獻標志碼:B 文章編號:1673-4289(2010)08-0045-04

在一次教研活動中，筆者聆聽了幾位老師的公開課，教學內容為義務教育課標實驗教材浙教版《數學》八年級下冊§5.1多邊形(2)，現選取其中三位老師探索多邊形內角和的教學片段供大家探討。

第一位老師的教學

一、創設情境，導入新知

師:(銀幕出示課件，如圖1)大家清早跑步嗎?小聰每天堅持跑步，他怎樣跑步呢?小聰沿著廣場的小路，從A處開始按逆時針方向沿圖中的路線跑完一圈，回到A處。(圖中所標的A、B、C、D、E指小路交叉處)

問題1:你能說出這幾條小路所圍成的圖形的形狀嗎?這個圖形五個內角的和是多少度?

問題2:當小聰每從一條小路轉到下一條小路時，身體轉過一個角，當他跑完一圈，身體轉過的角度之和是多少度呢?即在圖-1中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=?

聰明的你能解決這兩個問題嗎?今天我們就來學習這方面的知識。

二、合作交流，探究新知

1.揭示多邊形的定義;對角線的定義。

2.合作學習一:探索多邊形的內角和。

填空:

如圖2-1，從五邊形ABCDE的一個頂點A出發，可以引 條對角線，它們將五邊形ABCDE分為 個三角形，所以五邊形ABCDE的內角和等于 。

如圖2-2，從六邊形ABCDEF的一個頂點A出發，可以引 條對角線，它們將六邊形ABCDEF分成 個三角形，所以六邊形ABCDEF的內角和等于 。

從五邊形ABCDE和六邊形ABCDEF的分割中，你有什么發現?能找出按這種方法將如圖2-3所示的n邊形(n>6)分割所得小三角形的個數規律嗎?

從n邊形的一個頂點出發，可以引_______條對角線，它們將n邊形分為_______個三角形，所以n邊形的內角和等于_______。

師生合作交流后得出以下結論:

①n邊形從一個頂點出發的對角線有(n-3)條，n邊形的內角和為(n-2)×180°(n≥3)。

②對角線是把多邊形問題化歸為三角形問題的主要輔助線，求多邊形內角和的方法是通過對角線把多邊形分成若干個三角形來計算的。

三、強化訓練，掌握知識

1.師生合作完成下面3個小題。

(1)十邊形的內角和為_______度。

分析:直接運用多邊形內角和公式知(10-2)×180°=1440°。

(2)如果一個多邊形內角和是900°，求這個多邊形的邊數。

運用算式:計算900°÷180°+2=7。

運用方程:設這個多邊形的邊數為n，則(n-2)×180°=900°，解得n=7。

(3)從多邊形一個頂點出發可以引7條對角線，則這個多邊形的內角和為( )

A.1620° B.1260° C.900° D.1440°

2.師生合作探索多邊形的外角和。

…………

一、創設情境，動手操作

1.教師用課件出示一組圖片給學生欣賞并提問:你能從這些圖片中抽象出是什么幾何圖形?

2.動手做:學生用事先準備的火柴棍搭幾個多邊形。

二、導入新課，自主探究

1.我們知道，邊數為3的多邊形叫三角形，邊數為4的多邊形叫四邊形，邊數為5的多邊形叫五邊形，邊數為n的多邊形叫n邊形。(n是大于或等于3的整數)

2.由三角形、四邊形的頂點、邊、內角、外角類比多邊形的頂點、邊、內角、外角，我們歸納得出:n邊形的頂點數、邊數、內角個數，每一個頂點處只取一個外角的外角個數都等于n。

3.從而給出多邊形對角線的定義:連結多邊形不相鄰兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。

4.探索多邊形的內角和。

三角形的內角和是180°，四邊形的內角和是360°，那么n邊形的內角和是多少度?

合作學習一:以四人為一組合作，完成課前發放的學習單上的表一(如圖3)，通過交流，討論得出結論。

5.根據上述研究成果與解決問題的思路，你能發現n邊形內角和有什么規律?說說你的想法。

引導學生從這兩方面考慮:

(1)三角形個數與多邊形邊數有何關系?

(2)多邊形內角和與所有三角形的內角和有什么關系?

三、學以致用，運用新知

1.一個十邊形的內角和是_______度。

2.如果一個多邊形的內角和是1800°，那么這是_______邊形。

3.一個多邊形邊數每增加1條時，其內角和增加_______。

合作學習二:探索多邊形的外角和

…………

一、溫故知新，埋入伏筆

1.復習并體驗上一節課用化歸思想解決四邊形內角和等于360°的證明過程。

已知:如圖4，四邊形ABCD

求證:∠A+∠B+∠C+∠D=360°

證明:如圖5，連結BD。提問:關鍵輔助線BD叫什么?

∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°

∠C+∠CBD+∠CDB=180°(三角形三個內角的和等于180°)

∴∠A+∠ABD+∠ADB+∠C+∠CBD+∠CDB=180°+180°=360°。

即:∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360°。

2.為了知識體系的完整性，我們先來給出兩個定義。

我們知道，邊數為3的多邊形叫三角形，邊數為4的多邊形叫四邊形。類似地，邊數為5的多邊形叫五邊形，邊數為n的多邊形叫n邊形。(n是大于或等于3的整數)

連結多邊形不相鄰兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。

二、類比歸納，探索新知

問題1:大家知道三角形的內角和等于180°，四邊形的內角和等于360°，那么五邊形內角和你知道嗎?

投影給出一個五邊形，如圖6所示。并讓學生在課前已發的學習單上動手操作。學習單上印有與投影中的五邊形形狀相同的6個備用圖供學生自主探索。

學生動手用量角器量、用尺子畫圖，在獨立探索的基礎上，分組交流與研討，并匯總解決問題的方法。(如圖7)

在教師指導下進行分類:圖7-1到圖7-5都是將五邊形分割成三角形，圖7-5將五邊形分割成三角形和四邊形，圖7-6將五邊形分割成兩個四邊形，但一個四邊形又可以分割成兩個三角形，所以我們可以將五邊形分割成三角形來研究它的內角和。

問題2:同學們能否用類似五邊形的討論方法最終得出六邊形內角和是720°?十邊形內角和是1440°呢?

問題3:那么任意多邊形的內角和是多少?

教師啟發學生從三個角度思考:①多邊形內角和與三角形內角和的關系;②多邊形的邊數與內角和的關系;③從多邊形一個頂點引的對角線分三角形的個數與多邊形邊數的關系。

三、及時遷移，運用新知

1.八邊形內角和是多少度?

2.如果一個多邊形的內角和是1440°，那么這是幾邊形?

3.如圖8，在五邊形ABCDE中，若∠A=∠D=90°，且∠B:∠C:∠E=3:2:4，求∠C的度數?

…………

筆者認為:三位老師的課堂教學都是成功的。具體表現在教學有針對性，目標確切、結構合理、重點突出，教學內容之間承接自然，富有一定的層次性和開放性，教師有較好的基本素養，課堂點撥適宜、調控到位，較好地體現了新課程理念，體現了“師導生探”的教學思想。

一、教學設計符合新課程理念和學生認知規律

心理學認為，認知從感知開始，感知是認知的門戶，是一切知識的來源。從教學實況來看，三位教師都有一定的新理論、新思想，更具有鉆研教材，分析教材的能力。筆者覺得他們對教材的處理較為合理、嚴謹。第一位老師能以學生感興趣的圖案展開教學，一改慣用的復習舊知識，引出新課的手法。這樣依據課本又拓展了課本，創造性地使用了教材。第二位老師不僅對教材中的教學安排作了適當的調整，教學設計中還增設了一些創新內容，如動手用火柴棍搭幾個多邊形，旨在能讓學生想的盡量讓學生想，能讓學生做的盡量讓學生做，能讓學生說的盡量讓學生說，以此訓練學生的發散思維能力，培養學生的創新精神。第三位老師引導學生探索任意多邊形內角和時，啟發學生回顧四邊形內角和的推理方法，學生就會知道同樣可以把五邊形、六邊形、七邊形等多邊形，通過連結對角線分成若干個小三角形，從而把問題化歸為三角形問題來解決。這樣，讓學生在學習多邊形時會遇到的困難減少了許多，同時為緊接著學習四邊形奠定了扎實的基礎。

二、教學過程促成知識成串、學生善思

美國著名教育家布魯姆認為，知識獲得是一個主動的過程，學習者不是信息被動接受者，而是知識獲得的主動者。新課程就是要改變以往學生被動地接受知識的陳舊的學習方式，讓學生自主學習、自主探索、自主感悟、自主解決問題。

這三位老師的課，較好地體現了教師不再是知識的灌輸者，而是學生學習的組織者、引導者與合作者，學生也不再是是接受知識的容器，而是知識的探索者、發現者。在教學中，三位老師都強調引導學生參與觀察、分析、思考、猜想、判斷、歸納的過程，積極組織學生參與總結和驗證數學規律的過程，經歷初步學會運用數學進行觀察、分析和判斷的體驗過程。諸如，在課堂引導學生自主學習，自主建構獲得知識的同時，向學生滲透類比、轉化和方程等數學思想。通過數學思想的滲透，培養學生善于把握知識之間的內在聯系，全面而靈活地思考問題的能力。

三、教學方法采用啟發誘導、實驗探究

數學是一門培養人的思維，發展人的思維的重要學科。因此在教學中，不僅要使學生“知其然”，而且要使學生“知其所以然”。基于本節課的特點，教學中三位老師主要采用引探結合的教學模式。在活動中教師著眼“引”，在盡力激發學生求知欲望的基礎上，引導學生發現問題、提出問題、解決問題。學生落實于“探”，通過探究活動發現規律，發展探索能力和創造能力。在教學中，學生參與觀察操作，師生共同分析討論，通過類比、歸納、概括等方法啟發誘導學生得出結論，幫助學生理解知識，從而突破了教學難點。如第三位老師的富有層次性的“引”:“大家知道三角形的內角和等于180°，四邊形的內角和等于360°，那么五邊形內角和你知道嗎?”，啟發學生是否能將五邊形問題轉化為三角形或四邊形來解決，讓學生自己去驗證和發現結論。此過程旨在讓學生感受到數學結論不是憑空產生的，發現數學結論并不是高不可攀的事情。這樣極大地激發了學生的興趣，也提高了他們提出問題、解決問題的能力，增強了他們敢于創新的信心。

四、教學目標達成留有遺憾、有待完善

實踐使我們深知，教學中新課標的“知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀”三維目標的落實，關鍵是讓學生在獲取新知識的過程中更好地認識自我，建立自信。筆者認為，這些課堂還應從以下兩方面入手。

1.在教學過程中要關注關愛面與尊重度

心理學認為，一個人只要體驗到一次成功的喜悅，便會激起再一次追求成功的欲望。課堂教學中，教師要不失時機地對學生給予鼓勵和表揚，如“發表一下你的意見好嗎?”“你還有其他補充嗎?”“對!你說得非常好。”學生渴望被認可的愿望一旦被實現，便會積極自覺地參與到教學活動的各項環節，爭取更多的機會展現自己，發表自己的見解。這樣，不僅能把探究活動引向深入，而且課堂充滿愉悅與溫馨，師生互動必然更趨于和諧。

2.在教學過程中要關注參與面和參與度

教師在教學過程中不僅要關注學生對學習的態度，還要關注學生想了沒有，參與了沒有，關注學生能否從數學的角度思考問題。尤其是要想組織好以探究活動為主的課堂教學，教師必須掌握多種教學技能，不斷更新教學觀念與態度，使課堂真正成為學生自主探究，師生合作互動的場所。在多向互動交流中，學生學得輕松愉快，教師教得興趣盎然。

(作者單位:浙江華維外國語學校，浙江，紹興 312300)