作為一種學(xué)習(xí)活動(dòng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生在教師指導(dǎo)下，根據(jù)教學(xué)計(jì)劃獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和能力，發(fā)展個(gè)性品質(zhì)的過程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)除具有一般學(xué)習(xí)的特點(diǎn)外，還呈現(xiàn)以下明顯特點(diǎn):需要提高抽象概括思維水平;需要發(fā)展邏輯推理能力;需要必要的解題練習(xí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)極其復(fù)雜的過程，從不同的角度和不同的觀點(diǎn)出發(fā)，就會(huì)得出不同的結(jié)論。有學(xué)者認(rèn)為，學(xué)習(xí)理論大致可以分為三類:學(xué)習(xí)是刺激—反應(yīng)之間聯(lián)結(jié)的加強(qiáng)(行為主義);學(xué)習(xí)是指認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改變(認(rèn)知學(xué)派);學(xué)習(xí)是自我概念的變化(人本主義)。這些解釋盡管存在偏頗，但他們從不同的角度揭示了學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)，為我們研究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了不同的視角。基于對(duì)學(xué)習(xí)本質(zhì)的現(xiàn)代意義的理解和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基本特點(diǎn)的把握，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)體現(xiàn)以下幾個(gè)本質(zhì)特征。

■一、數(shù)學(xué)模型建構(gòu)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)

從認(rèn)知學(xué)派的視角來看，發(fā)展性教學(xué)論認(rèn)為學(xué)習(xí)不是一個(gè)被動(dòng)吸收、反復(fù)練習(xí)和強(qiáng)化記憶的過程，而是一個(gè)以學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過個(gè)體與環(huán)境相互作用主動(dòng)建構(gòu)的過程。麥克萊恩認(rèn)為，數(shù)學(xué)研究現(xiàn)實(shí)世界和人類經(jīng)驗(yàn)各方面的各種形式模型的構(gòu)造。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)涉及大量各種各樣的模型，同一個(gè)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)可以用多種方法在數(shù)學(xué)中被模型化。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直接對(duì)象是數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的過程。正如新課程標(biāo)準(zhǔn)所說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并且進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程。

數(shù)學(xué)源于生活，寓于生活，用于生活，同時(shí)數(shù)學(xué)又把現(xiàn)實(shí)世界中這些量的關(guān)系、量的變化、空間形式等問題抽象為數(shù)學(xué)模型，并以符號(hào)化的形式表示出來，數(shù)學(xué)符號(hào)(數(shù)學(xué)模型)是抽象的結(jié)晶與基礎(chǔ)。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種符號(hào)化的數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)相互結(jié)合的學(xué)習(xí)，即是對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的學(xué)習(xí)。

在生活實(shí)際中，學(xué)生已經(jīng)遇到過不少與數(shù)學(xué)有關(guān)的實(shí)踐問題，積累了一些與數(shù)學(xué)有關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)，形成了一些概念和觀點(diǎn)。雖然這些概念或觀點(diǎn)往往是非正規(guī)的、不系統(tǒng)的，甚至是非常模糊的，但是對(duì)他們正式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)都奠定了必要的基礎(chǔ)。所以，學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)往往與成人的理解不完全相同。對(duì)他們說來，數(shù)學(xué)是自己對(duì)生活中數(shù)學(xué)現(xiàn)象的解讀或升華。因此可以說，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程也就是在他們?cè)械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程。他們必須循序漸進(jìn)，從小的、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型學(xué)起，如每個(gè)數(shù)學(xué)概念、表達(dá)式、公式、函數(shù)、方程式、不等式、幾何圖形和定理，都是較小的數(shù)學(xué)模型，然后逐步掌握較大的數(shù)學(xué)模型。大的模型并不是一些小的模型的簡(jiǎn)單拼湊和堆砌，而是一種整合。若干小模型總是被整合到一個(gè)更大更復(fù)雜的模型中，在小模型之間增加了更多的關(guān)系和聯(lián)系，使得這些小模型比原來更充實(shí)、更完善。例如，方程、不等式與函數(shù)的關(guān)聯(lián)就是一個(gè)極富說服力的例子。

■二、提出問題與解決問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主題

從數(shù)學(xué)哲學(xué)的視角來看，數(shù)學(xué)是人類創(chuàng)造和發(fā)明的一個(gè)不斷擴(kuò)展的領(lǐng)域，是一個(gè)調(diào)查、了解和不斷充實(shí)知識(shí)的過程。數(shù)學(xué)不是一種既定的結(jié)果，數(shù)學(xué)的結(jié)論是不斷修正的，具有很大的開放性。數(shù)學(xué)是由問題構(gòu)成的，數(shù)學(xué)的發(fā)展是不斷提出問題與解決問題的過程。因此，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，學(xué)生總是表現(xiàn)為不斷地從實(shí)際中提出數(shù)學(xué)問題、分析問題、建立模型直到解決問題。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要從學(xué)生生活實(shí)際引入問題，揭示數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的背景，闡述問題的發(fā)生、發(fā)展過程。例如，在學(xué)習(xí)定理“凸多面角所有面角之和小于360°”時(shí)，可提出這樣的生活問題:傘的骨架構(gòu)成一個(gè)多面角，當(dāng)傘慢慢撐開時(shí)，相鄰骨架之間的面角有什么變化?面角之和有什么變化?傘完全撐開時(shí)，所有面角之和是多少?解決這些問題就能深信定理的正確性。

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)源于問題，問題是新課程的新意所在。數(shù)學(xué)的工具性與思維訓(xùn)練在問題解決中得到統(tǒng)一。問題有利于個(gè)性的發(fā)展，有利于主動(dòng)的思考，有利于學(xué)生情感和態(tài)度的形成和發(fā)展。提出問題是解決問題的前提，提出問題和解決問題相互促進(jìn)。創(chuàng)新存在于提出問題、解決問題的過程之中。

■三、發(fā)展數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂

從數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)的視角來看，數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)，也是一門歸納科學(xué)，同時(shí)具有廣泛應(yīng)用性。盡管人們對(duì)什么是數(shù)學(xué)能力沒有完全統(tǒng)一的定義，但我們可以認(rèn)為:演繹、歸納、應(yīng)用是數(shù)學(xué)能力的核心。概要地說，演繹是由一般到特殊的推理，主要功能在于驗(yàn)證結(jié)論;歸納是一種從特殊到范圍更廣的推理，就方法而言，包括枚舉法、歸納法、類比法、統(tǒng)計(jì)推理、因果分析以及觀察實(shí)驗(yàn)、比較分類、綜合分析等，借助歸納推理可以幫助學(xué)生培養(yǎng)預(yù)測(cè)結(jié)果和探究的能力;應(yīng)用是要求學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到具體行動(dòng)之中。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅包括了數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的學(xué)習(xí)，更重要的它還包括了完成上述內(nèi)容的數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)。對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的學(xué)習(xí)一般經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程:在大量案例(物理的、幾何的、專業(yè)的)的基礎(chǔ)上歸納出數(shù)學(xué)概念，經(jīng)過幾何化、數(shù)值化、代數(shù)化推演出定理，再通過大量的實(shí)例說明定理的應(yīng)用。在提出問題、形成相關(guān)概念、探究解決問題的策略和方法時(shí)主要是以歸納為主，而在整理結(jié)論、表述問題解答過程以及進(jìn)行技能訓(xùn)練時(shí)則以演繹為主。

就數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)而言，數(shù)學(xué)的基本思想主要是指演繹和歸納，這應(yīng)當(dāng)是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是最上位的思想。如化歸思想，在探索化歸的方向、發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論、尋找解決問題的途徑時(shí)，主要運(yùn)用的是歸納;在鏈接“中間問題”、整理和表述化歸結(jié)果時(shí)，則需要運(yùn)用演繹，而且化歸的主要策略——一般化與特殊化本身就是歸納和演繹的具體體現(xiàn)。因此，歸納、演繹、應(yīng)用是數(shù)學(xué)能力的核心，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂。

■四、再創(chuàng)造是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓

弗賴登塔爾認(rèn)為，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法來看，數(shù)學(xué)的根源在于普通的常識(shí)，數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是人們常識(shí)的系統(tǒng)化，因而每個(gè)學(xué)生都有可能在一定的指導(dǎo)下，通過自己的實(shí)踐活動(dòng)來獲得這些知識(shí)。在此基礎(chǔ)上，他提出了再創(chuàng)造的學(xué)習(xí)方法，即在一定的指導(dǎo)下，由學(xué)生本人去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出要學(xué)的東西來。

怎樣理解再創(chuàng)造呢?其一，數(shù)學(xué)并非對(duì)真實(shí)事件或現(xiàn)象作直接的研究，它是高度抽象的，學(xué)生要用一切辦法使這些抽象的道理“具體化”，從而經(jīng)過消化吸收，納入自己的知識(shí)體系中去，也就是進(jìn)行獨(dú)立的建構(gòu)。這本身就是一種創(chuàng)造性的活動(dòng)。其二，學(xué)生這種再創(chuàng)造，是創(chuàng)造人類已知而他們自己未知的東西，總結(jié)出數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。他們根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)學(xué)習(xí)新知識(shí)所提供的各種信息進(jìn)行分解和重組，用自己理解的方式來建構(gòu)知識(shí)，就要自己去經(jīng)歷這一學(xué)習(xí)過程。這個(gè)過程往往與人類曾經(jīng)探索的過程相仿，但又不是簡(jiǎn)單地重復(fù)人類經(jīng)過的漫長(zhǎng)認(rèn)識(shí)歷史。正像玻利亞所說的那樣，要“經(jīng)歷人類探索的關(guān)鍵步子”，從而可以弄清知識(shí)的來龍去脈，通過自己所經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程得到體驗(yàn)，獲得發(fā)展。因此可以得出一個(gè)道理，學(xué)生的再創(chuàng)造是需要有人作必要的引導(dǎo)或指導(dǎo)的，不能把自主變成自流，否則，無法提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性。

例如，在教平行四邊形的概念時(shí)，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生通過自己的實(shí)踐活動(dòng)，整理對(duì)邊平行、對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)、對(duì)角線互相平分等平行四邊形的性質(zhì)，并使之成為推理關(guān)系，以得出平行四邊形的一個(gè)定義，這就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的再創(chuàng)造過程。

弗賴登塔爾反復(fù)強(qiáng)調(diào)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法是實(shí)行再創(chuàng)造。再創(chuàng)造是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓。今天的再創(chuàng)造可以促成明天真正的創(chuàng)造，可見，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力。

綜上所述，如果從多視角認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在本質(zhì)上具有一個(gè)個(gè)個(gè)別特征:從認(rèn)知學(xué)派的視角，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的過程;從數(shù)學(xué)哲學(xué)的視角，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不斷提出問題與解決問題的過程;從數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)的視角，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是發(fā)展數(shù)學(xué)能力的過程;從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的視角，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)再創(chuàng)造的過程。數(shù)學(xué)模型建構(gòu)、提出問題與解決問題、發(fā)展數(shù)學(xué)能力、再創(chuàng)造這四個(gè)方面各具功能、各有側(cè)重，而又相互聯(lián)系，是一個(gè)密切相關(guān)的有機(jī)統(tǒng)一的整體。數(shù)學(xué)模型建構(gòu)依賴于提出問題與解決問題，提出問題與解決問題依賴于發(fā)展數(shù)學(xué)能力，其轉(zhuǎn)化過程就是再創(chuàng)造。因此說，數(shù)學(xué)模型建構(gòu)是基礎(chǔ)，提出問題與解決問題是主題，發(fā)展數(shù)學(xué)能力是靈魂，再創(chuàng)造是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓。只有符合上述本質(zhì)特征，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能取得成效。(作者單位:江西師范大學(xué)鷹潭學(xué)院)■

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□責(zé)任編輯 鄧園生

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