合情推理與論證推理的培養不可偏廢

從上個世紀到今天，傳統的“幾何”現名之為“空間與圖形”，經過了多次重大變革，在推理能力培養的要求上存在著“鐘擺現象”：20世紀20年代初到四五十年代的幾何教學，注重內容的系統性與推理的嚴密性，指出“定理不熟，推開無從”；到了50年代末的大躍進時期，在打倒“歐家店”思潮的沖擊下，推理能力的培養遭到嚴重的削弱；60年代初到“文革”前，由于提倡“雙基”——基礎知識的教學與基本技能的訓練，幾何教學又重視邏輯演繹；“文化大革命”時期對幾何課程學習只要求學生會制圖測量，體現了嚴重的實用主義；1978年撥亂反正以后的幾何教學又重新重視“雙基”，重視思想方法，注重發展學生的演繹推理。

然而，在當前實施新課程的過程中又出現相反的情況。由于一些教師對動手實踐、自主探索、合作交流等學習方式的理解與使用不當，在數學教學過程中只注重合情推理能力的培養，強調通過操作實驗歸納出結論，不善于引導學生從合情推理上升到論證推理。以教學“長方體的認識”為例，一位教師在教學時的流程是這樣的：

1.通過觀察得出結論。首先畫出兩條平行線，任意作出平行線之間的數條公垂線段，要求學生通過觀察，說出這數條公垂線段的關系——相等。

2. 動手實踐合作交流。學生分組，各自畫平行線的公垂線段，通過動手測量，驗證由觀察得到的結論。

3.小組匯報，教師歸納。在各組代表匯報的基礎上教師進行總結。

一堂課就這樣戛然而止了，學生思維能力特別是推理能力的培養顯得蒼白無力。問題是，如果不僅僅依靠觀察與實驗，學生能否憑借已有的知識推出未知的結論呢？其實，如果我們在“空間與圖形”的教學中，只滿足于“合情推理” 模式，強調“科學性讓位于可接受性”的觀念，那就只會阻礙兒童思維邏輯性與抽象性的發展，不利于學生推理能力的培養與綜合素質的提高。

《數學課程標準》在“空間與圖形”教學建議中指出，要讓學生經歷觀察、實驗、猜想、證明等獲得數學猜想，并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例，以發展學生的合情推理的能力和初步的演繹推理的能力。筆者認為，理解和踐行這一教學建議，須在厘清“空間與圖形”教學中的“鐘擺現象”的基礎上，引導學生正確認識合情推理與論證推理的內涵與價值，經歷從合情推理與論證推理的過程，既在觀察、實驗、聯想等活動中獲得數學判斷，又掌握論證判斷真實性、給出證明的方法，從而訓練理性思維，培養推理能力。

“空間與圖形”的教學可以培養學生初步的比較與分類、分析與綜合、抽象與概括、判斷與推理等邏輯思維的能力。因為認識圖形的特征，需要在對感性材料進行分析、比較的基礎上研究概念之間的關系，需要同中求異或異中求同，在分析的基礎上比較事物的異同，進而根據概念的定義和圖形性質作出判斷并進行推理。如何在數學教學中注重合情推理與論證推理，切實可行地培養學生的推理能力呢？

讓我們從合情推理與論證推理的內涵與價值說起。推理是由一個或幾個已知判斷（前提）推出另一個未知判斷（結論）的思維形式。學生獲得數學知識的過程實質上是從合情推理上升到演繹推理的過程。合情推理就是合理的猜測。它以類比和歸納為主要形式，是探索規律和發現真理的有效手段，對于培養學生的創造性思維是不可缺少的。然而，合情推理得到的結論未必可靠，例如，在過去，由于人們看到鳥都會飛、金屬都沉到水里，于是便歸納出“所有的鳥都會飛”“一切金屬的比重都比水大”的結論。但是到后來，發現了與上述結論相矛盾的情況，這就表明合情推理的結論未必可靠。

數學通常被人們看做是一門以嚴格論證為特征的演繹科學，嚴格的數學理論總是建立在論證推理的基礎上的。論證推理包括演繹推理和完全歸納推理。合情推理導致猜想和發現，論證推理可以證實猜想。正如華羅庚所說，“數學教學實質上是推理的教學”，數學學習是合情推理與論證推理這兩種形式不同而又相輔相成的推理交互作用的過程。

數學家與數學教育家歷來都十分重視推理能力的訓練與培養。史寧中教授指出：“對于推理能力的培養，我們現在缺少的是根據情況預測結果的能力和根據結果探究成因的能力。這兩個能力很重要，是創新的基礎。前者有利于創造新產品，形成新工藝，后者有利于發現新理論。”合情推理既是數學創造工作賴以進行的必要技能，也是在未來的生活和生產中進行有效思維的需要。因此，合情推理對于培養學生的探索能力和創新精神有著重要的教育價值。

能力的形成絕不等同于知識與技能的獲取，它是一個緩慢的過程，有著自身的特點與規律。推理能力的形成不能只停留在淺表的合情推理的層面上。心理學家克魯茨基在《中小學數學能力心理學》一書中提出：“對教學對象進行推理的能力是卓越數學家最重要的品質；數學是最適宜于發展嚴格推理能力的學科，而嚴格的推理則是數學上發展得很好的主要標志之一。”由此可見，在教學中培養論證推理能力具有重要價值。因此，對于已有結論的正確性提出理性的思考和合乎邏輯的質疑是推理能力培養的高級行為，引導學生從合情推理上升到論證推理是數學教學的根本任務。

“空間與圖形”的教學，從以前偏重于演繹推理，調整為現在合情推理與論證推理相結合，即不但要求學生在觀察與操作中認識圖形的性質，而且進一步要求學生作出理性思考的推理，形成證明的意識，理解證明的過程，掌握證明的格式和基本方法，進而感受公理化思想。

仍以“長方體的認識”教學為例來分析。長方體的認識是在學生直觀認識長方體，并且擁有了長方體的有關知識的基礎上教學的。在直觀感受和抽象思維相結合、合情推理和論證推理相結合方面，教學應增加論證推理的分量，以便做好與中學數學教學的銜接。筆者提出如下教學思路供老師們參考和討論。

1．從實例抽象出長方體的圖形。復習一年級學過的知識。讓學生從一堆物體中找出長方體，并且說明辨別長方體的依據是什么，從而明確長方體就是由6個長方形的平面部分圍成的物體。

2．讓學生就實物或模型研究長方體6個面的大小，認識到: 6個面可能有大有小，但相對的兩個面總是相同的。

3．定義長方體的棱和頂點。讓學生數一數一個長方體有多少條棱、多少個頂點并交流數的方法。從逐個計數到按群計數，再到根據長方體的基本特征推算：因為長方體有6個面，每個面有4條邊，每條棱都是兩個面的公共邊。所以，一個長方體有4×6÷2=12條棱。同理，可以推算出長方體有8個頂點。從一個一個地數到分組數，再到推理和計算，反映了思維訓練的強化和思維活動由低級向高級的發展。

4．關于長方體中“相對的面完全相同”“相對的（即方向相同的）棱長相等”，僅僅讓學生通過教具或多媒體的演示，或者通過量一量、比一比的操作活動來認識是不夠的。在演示和操作前，可以先引導學生在觀察的基礎上猜測，即運用空間直覺作出猜測性的判斷。在演示或操作后，要及時地將學生引向抽象思維，讓他們想一想：如果我們不看教具和動畫，也不動手操作，而僅僅根據已有知識，能不能得出同樣的結論？例如，根據長方體的6個面都是長方形，以及長方形的對邊相等，可以推出長方體中方向相同的每4條棱的長度都相等，進一步又可以證明長方體中相對的面是長與寬分別相等的長方形，所以它們“完全相同”。以上從“直觀幾何”到“實驗幾何”再到“論證幾何”的教學過程，可使學生在具體的問題情境中既領悟合情推理，又認識到論證推理的意義和作用。

須注意的是，對學生而言，在數學學習中處處都進行“論證推理”是不可能的，正如處處都要用“動手實踐”“發現探索”也絕無可能一樣。關鍵是教師要善于把握時機，既要適時適度地讓學生經歷探索的過程，又要使學生獲取演繹論證的體驗；既要引導學生通過實驗發現猜想，又要使學生通過演繹驗證猜想，使之上升為科學的結論，這樣才能拓寬發展學生推理能力的空間。（作者單位：南京曉莊學院）■

□責任編輯 鄧園生

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