巧用數形結合 提高解題效率

數形結合在高考中占有非常重要的地位，縱觀近幾年高考試題，無論在函數、向量、解析幾何和立體幾何等方面都得以體現。應用數形結合，可使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，起到事半功倍的效果。是優化解題過程的重要途徑之一，是一種基本的數學方法。

例1已知點A(3，0)、B(0，3)、C(cosα、sinα)α∈(■，■)，求角α的值。

本題由兩向量的模相等，用代數法解其實也不難。但當我們把模相等轉化為點C到A、B兩點的距離相等，可得點C在線段AB的中垂線y=x上，很快可得α=■。

例2 已知雙曲線的頂點到漸進線的距離為2，焦點到漸進線的距離為6，則該雙曲線的離心率為。

e=■=■=3。

例3已知sinα>sinβ，那么下列命題正確的是( )

A.若α、β是第一象限角，則cosα>cosβ。

B.若α、β是第二象限角，則tanα>tanβ。

C.若α、β是第三象限角，則cosα>cosβ。

D.若α、β是第四象限角，則tanα>tanβ。

分析考察選項A，作單位圓，如圖，OA、OB分別為角α、β的終邊，∵OC為α的余弦線，OD為β的余弦線，則有cosα>cosβ，知A錯，依次判斷知選D。

例4函數u=■+■的值域是 。

分析 此題用一般的方法很難求出u的范圍。由于右端根號內同為一次函數，故可令x=■，y=■消去t得:x2+2y2=16■所給函數化為含參數u的直線系y=-x+u，它與橢圓x2+2y2=16(在第一象限的部分，包括端點)右公共點。如圖知umin=2■，當直線與橢圓相切于第一象限時u取最大值，此時由方程組■得3x2-4ux+u2-16=0，由△=0?圳u=±2■，因直線過第一象限，∴umax=2■故所求函數的值域為2■，2■。

例5已知實數x、y滿足不等式組■，求函數z=■的值域。

思路分析 由解析幾何知識可知，所給的不等式組表示圓x2+y2=4的右半圓(含邊界)，z=■可改寫為y+3=z(x+1)，把z看作參數，則此方程表示過定點p(-1，-3)，斜率為z的直線族。則所求問題的幾何意義是:求過半圓域x2+y2≤4(x≥0)內或邊界上任一點與點p(-1，-3)的直線斜率的最大、最小值。由圖顯見，過點P和點A(0，2)的直線斜率最大，zmax=■=5。過點P向半圓作切線，切線的斜率最小。設切點為B(a，b)，則過B點的切線方程為ax+by=4。又B在半圓周上，P在切線上。綜上可知函數的值域為■，5。

數形結合思想實際上包含“以形輔數”和“以數輔形”兩個方面，及把問題的數量關系和圖形性質結合起來考察。但在應用過程中還必須注意以下幾個問題:

1.形的準確性，這是數形結合的基礎;

2.數形結合，貴在結合，要充分發揮兩者的優勢，形有直觀、形象的特點，但代替不了具體的運算和證明。而數才是其真正的主角，若忽視這一點，很容易造成數行結合的謬用。(作者單位陜西省合陽縣合陽中學)責任編輯 楊博