淺談地方師范院校代數課程體系的改革

劉 東， 高壽蘭

（湖州師范學院理學院，浙江湖州 313000）

淺談地方師范院校代數課程體系的改革

劉 東， 高壽蘭

（湖州師范學院理學院，浙江湖州 313000）

近年來對高校代數學課程進行教學改革的研究已經被廣泛關注，但大都只是局限于某一門課程．本文則對地方師范院校代數學三門主要課程《高等代數》、《近世代數》和《初等數論》整體上進行教學改革研究．將三門課程內容進行整合并重新編排體系后的教學實踐證明，不僅激發了學生的學習興趣，而且豐富了代數學的教學內容．

代數學；課程；改革

隨著知識經濟時代和信息時代的到來，高等教育發生了很多變化，數學教育教學的改革也在不斷深入發展，涉及到課程重組、內容改造、學時調整等各個方面．近年來，高校代數學的教學改革被廣泛關注，并取得了不少成果，其中把代數與幾何結合起來的改革較多（見［1］，［2］等），但這些成果大都局限于某一門課程（如［3］等）．《高等代數》、《近世代數》和《初等數論》是高師數學專業代數學方向的三門主干課程，它們之間的聯系非常緊密，內容互相交叉．而三門課的現行教材基本上各自獨立，這就造成許多內容重復講授，而有些各門課程間相互需要的內容卻在教學過程中有所脫節．因此，僅對其中一門課程進行改革往往收效甚微．所以，將《高等代數》、《近世代數》和《初等數論》三門課程的整體作為研究對象，綜合地對高師數學專業的代數學課程進行教學改革就成為一件非常有意義的工作．

1 代數學課程體系的問題與現狀

結合高師院校的特點和筆者自己多年的教學實踐，我們認為高師數學專業代數學方向課程設置和教學內容目前主要存在如下問題：

（1）課程設置的問題．

按照現在的課程設置，一般高校大一開設《高等代數》，大三（或大二）開設《近世代數》，大四（或大三）開設《初等數論》（有的是選修課）．按照這樣的設置，三門課程教學各自獨立，所需學時較多，而對于多數高校，三門課程中除了《高等代數》的教學課時比較充足，效果較好以外，其他兩門課程的教學效果并不理想，《近世代數》的課時明顯偏少，內容單薄，而《初等數論》是在第7或8學期開設，學生學習效果很差．這樣代數學的教學顯得頭重腳輕，更談不上選修一些代數學的補充內容．同時在實際教學過程中也出現這樣一些問題：《高等代數》的多項式部分需要《初等數論》的整數的整除理論為基礎，《近世代數》的群、環等部分需要《初等數論》中的整數的整除、同余理論為基礎；《初等數論》的原根與指數理論、同余理論、代數數理論在《近世代數》中得到抽象、提高；《高等代數》與《初等數論》的學習過程中一直需要《近世代數》的思想方法作指導等．而在以往三門課程分別設置的情況下這些問題都難以解決．

（2）教學量的增加與教學課時減少的矛盾．

近來，各門數學課程的學時在不斷壓縮，《近世代數》課程就由每周4課時減為3課時．但由于數學學科自身的迅速發展，很多新的知識和數學思想要充實到各門課程，并要傳授給學生．這就使得教學量大與學時不夠的矛盾愈來愈突出．而這三門課程中許多內容是前后逐步引入、加深從而發展起來的．特別指出的是這三門課程中的整除理論、同余理論、代數數理論、因式分解理論等在代數學教學中顯得尤其重復，浪費了許多課時．如何對課程的教學內容進行優化、整合，更好的把它們當作一個整體而不是三個個體進行教學，既可以節省課時，又能取得較好教學效果，這就是本課題研究的立足點．

（3）三門專業課之間的教學相互脫節．

《高等代數》、《初等數論》與《近世代數》本就是互為緊密聯系的一個整體，但是在現在的課程體系安排中則很少體現，教學中一般交叉性的學習研究很少．這就造成了有的學生往往只對其中部分課程、部分內容感興趣，對數學的理解不夠深刻，不利于學生的進一步學習．這樣在代數學這一傳統方向上學生的學與教師的教都顯得愈來愈困難，再加上代數學的抽象性，許多學生都放棄了代數學的進一步學習．事實上，這三門課的聯系是非常緊密的，在教學中如何加強這三門課程之間的內在聯系也是當前教學研究中一個很重要的問題．

2 代數學課程體系設置的改革設想

綜合以上出現的各種問題與矛盾，從總體上對高師數學專業代數學主干課程《高等代數》、《近世代數》和《初等數論》系統地進行綜合改革，是當前擺在我們面前的一個十分迫切的任務．對這些課程的課程設置、教材建設與教學改革進行研究論證，調整課程設置、適時編寫打通這三門課程的一體教材、結合現代教學方法進行教學改革是一項很有意義的工作．事實上有的學校已經在這方面做出了許多嘗試，如中國科技大學、清華大學都在第一學期開設一個周二學時的《初等數論》的短課（見［4］）．但是針對普通師范院校的學生，這樣的改革還遠遠不夠．結合高師院校的特點和多年的代數學的教學實踐，我們主要進行以下幾個方面的改革．

（1）合理地根據學科特點，進行代數學課程體系設置的改革．

近年來，傳統的《高等代數》、《初等數論》與《近世代數》三門代數學課程的設置矛盾日益突出．甚至在一段時期由于教學時間的緊縮，取消了《初等數論》這一必修課程．這樣在代數學這一傳統方向上學生的學與教師的教都顯得愈來愈困難．而代數學的學習直接決定學生的數學學習，所以這個問題越發顯出其嚴重性．為了解決這個問題需要對這三門課程的課程設置進行改革，理順三門課程之間的關系，需要根據三門課程內容的實質合理地進行科學設置，建立一套合理的代數學課程體系，既有利于代數學的學習，更有利于學生整體的數學學習．為此，我們將三門課的主要內容按如下順序進行教學：整數的整除理論（另外補充自然數、復數的有關知識）……行列式、矩陣、線性方程組……向量的線性關系、線性空間……多項式……線性變換……歐氏空間……整數的同余理論初步、等價關系……群、環、域初步……整數的同余理論續……群、環、域初步的進一步討論……初等數論補充……近世代數補充．

（2）結合三門課程的特點，逐步編寫適合現在教學需求的教材、講義．

在前幾年基礎課教材建設的基礎上，把《高等代數》、《初等數論》、《近世代數》（四個學期內容）統一編寫為一套教材《代數學》的四個分冊（分別在1－4各學期開設）．這樣就能把三門課程的內容理順．不論教師的教，還是學生的學，都遵循一個逐步提高的原則，按照內容的實質，逐步加深、提高，體現現代代數學的需求．而且內容整編以后若保持原學分、課時基本不變，則可以增加許多教學內容，而增加的這些內容正是進行代數學進一步學習的關鍵內容，對中小學數學教材研究也有重要的指導作用．若這套教材編寫成功，將很好地整合和優化現在代數學的教學內容，將極大的緩解教材與教學內容的矛盾，緩解學時與教學量的矛盾．這必將為高師院校數學專業課程的教學提供很好的幫助．

（3）積極穩妥地進行更新教學內容的嘗試．

近年來，代數學的發展進入一個高速時期，而傳統的內容某些方面已經不適應教學的需要．這就需要在教學過程中盡量把一些國內外成熟的教學研究成果融入教學中，同時突出知識的應用性．在《代數學1－4》的教學過程中，除了保持在數學基本訓練上嚴格要求的傳統外，要更注重因材施教，注重應用背景與相關成果的介紹，注重整個課程體系的建立，以培養學生良好的數學素養．這樣就能更好地解決教材落后于教學內容的矛盾．如在《代數學4》中，可以補充“尺規作圖”等部分內容，介紹了“尺規作圖”中的幾何三大難題（三等分角、圓化方、倍立方）．一方面，這體現了近世代數的巨大威力，因它本身就是近世代數應用的一個極好例子；另一方面，對數學系學生而言，這也是一個“必知”的內容，對指導他們將來的中學數學教學有很大的幫助．

3 新課程體系將帶來數學思想方法的提升

在大學代數課程中許多數學思想方法的形成是一個螺旋式的逐步提高的過程，如果三門課的教學脫節，則許多重要的代數思想方法得不到提升和發展．下面我們就代數中一些思想方法的形成過程分析新課程體系的作用．限于篇幅，這些思想方法不能展開敘述．

（1）代數運算：從復數的四則運算到矩陣、多項式運算，再到剩余類、置換的運算等，最后到抽象的代數運算，這就是代數課程體系中代數運算這一思想的主要形成過程．

（2）代數系統：從最簡單的數環、數域到多項式環、矩陣環、向量空間，抽象到群、環、域等概念，再返回到初等數論中進行運用．

（3）映射與函數：從最初的映射、函數到向量空間的線性變換、歐氏空間的各種特殊線性變換，再到抽象代數中的代數同態等，這是一個逐步提高抽象的過程．

（4）等價關系與分類：整數同余、矩陣等價、矩陣合同、矩陣相似、抽象的等價關系．

（5）整除的思想：唯一分解、最大公因式、帶余除法等概念與理論從整數，到多項式環、到抽象的整環，步步抽象提高．

（6）元素的階與生成元．

（7）極小多項式：實數的極小多項式、矩陣的極小多項式、抽象元素的極小多項式．

（8）向量空間：向量空間——擴域．

（9）向量的線性關系：從具體到抽象．

（10）同余：整數同余到一般同余．

（11）N次單位根：多項式理論、循環行列式計算、其生成的群．

（12）代數數與超越數：從第一次接觸數域時就可以體會集合的區別，到初等數論的代數數與超越數，最后到域的擴張中的一般理論．

以上這些線雖然是隱形的，但貫穿整個代數課程的教學過程中．而且這些思想方法的形成過程都是一個逐步抽象，及時提高應用的過程．在教學中及時總結這些方法，對學生的學習一定能起到較大的促進作用．

總之，隨著現代數學的發展，代數學發展呈現出抽象化、綜合化趨勢，因而，其難度也就越來越大．這使得代數學的更新、提高，與學生的可接受性之間不可避免地產生尖銳矛盾．顯然，我們不應該為了遷就學生的接受能力而不提高代數學的現代化水準．但是，我們也不應該不顧學生的實際水平而片面地追求現代化內容，要處理好課程內容的現代化水準與學生的可接受性之間的關系，在學生可接受的前提下，最大限度地改革代數學課程內容體系，提高其現代化水平，對于提高代數學的教學質量一定能起到較大作用．

［1］ 張肇熾，葉正麟．“代數與幾何”課程及教材的若干設想與初步實踐［J］．數學教育學報，8（3）：90－94．

［2］ 陳繼華．幾何代數的結合與線性代數課程改革的思考［J］．中國電力教育，2008，7（4）：44－45．

［3］ 顧沛．“抽象代數”教學中的素質教育［J］．大學數學，2006，22（3）：9－13．

［4］ 馮克勤．高校代數教學的一些實踐與思考［J］．高等數學研究，2006，9（4）：2－5．

G423

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1672-1454（2010）增刊1-0129-03

浙江省新世紀教改項目（yb07109，zc09063）；湖州師范學院教改重點項目（2009JY006）