大學數學課程“概率論與數理統計”教學的實踐與認識

李學京

（北京工業大學應用數理學院，北京 100022）

大學數學課程“概率論與數理統計”教學的實踐與認識

李學京

（北京工業大學應用數理學院，北京 100022）

結合多年教學實踐，本文分析了概率論與數理統計課程目前存在的幾個主要問題，并對其內容設置、教學方法的改進、應用能力的培養等方面提出了改革的設想.

隨機現象；統計思想；統計應用；創新教育

無論人們意識與否，隨機現象存在于我們日常生活的各個方面.如果對隨機問題一竅不通可能會不知不覺地受到損失，因此有人把不懂統計的人稱作“新世紀的文盲”.隨著統計在國民經濟中的應用日益廣泛，國內有關加強隨機性教學的呼聲與日俱增，而“概率論與數理統計”是目前國內本、專科層次非數學專業唯一的一門處理隨機現象的學科，所學內容是概率論與統計學的初步知識.由于這門課程思想方法不同于分析、代數等以確定性思維為基礎的數學學科，思維獨特，應用廣泛，普遍反映學生難學，教師難教.如何使大學生對這門課程有一個比較深的理解，讓學生在較短的時間內迅速掌握概率論與數理統計的核心思想及知識結構，并能夠很好的利用統計學這個有用的工具呢？通過多年對這門課程的親身教學實踐，下面我就談一談自己的一點體會與看法.

1 依據市場對人才的需求，及時調整教學內容，轉變“純數學”的教學思路，注重應用

滿足社會對人才的需要是教育工作的基本任務.當前，科學技術迅速發展，知識和信息日新月異，無時不刻不在爆炸性增長.這使得各行各業都有超量的數據迫切需要進行科學的處理.而統計學正好是這樣一門用來從貌似雜亂無章的數據中尋找有用信息、發現規律的有利武器，可以毫不夸張的說，現代統計技術已經深入到社會的各個領域，它正在逐步改變我們的工作和生活.因此，我們培養的高素質人才不僅要對統計學及其基礎學科——概率論略知一二，而且要學會有效的利用這個武器.其重要性如同英國著名邏輯學家和經濟學家Jevons所說：“概率和統計是我們生活中真正的引路人，如果沒有對概率的某種估計，我們將寸步難行，無所作為.”

誠然，概率統計依賴于數學，但并非是其他數學基礎學科那樣的“純數學”.統計學的生命力就在于應用，應用為統計學的發展賦予活力.越是先進的工業化國家，統計普及率就越高.如美國是統計學最發達國家，它擁有世界上大多數的統計應用及大量優秀的統計學家.在美國，最好的統計專業有獨立于數學系的統計系，它還有許多與某些應用領域密切關聯的統計系，比如醫學院的生物統計系，管理學院或商學院的統計系，及計算機和統計科學系等等.許多著名大學的統計系都十分興旺發達，培養出來的學生也很緊俏.美國的統計之所以先進是與全民族文化素質及整體經濟水準有關的.幾乎每一個大學生都知道統計這個學科，而且對統計學和統計學家都十分尊重；許多非統計學科都把統計作為必修課，這樣，當人們遇到了統計問題，也都知道如何去尋求答案.因此，統計在美國的應用十分廣泛，統計成為除計算機專業之外的最好找工作的專業.美國的醫藥界、工業界，如汽車工業、化學工業及電訊工業等都雇用了世界上最優秀的統計學家，他們對這些工業的發展起了重大作用.此外，工商業、金融管理、市場和民意調查及各級政府同樣大量地、普遍地和經常性地使用統計.因此，我們在培養大學生時，不僅要強調概率論與數理統計作為數學的基礎地位，更要認識到它對提高大學生綜合素質方面的重要作用.改變過去重理論，輕實踐的做法，加強概率統計內容的教學和應用.

此外，還根據不同學科應用概率統計的不同需求，及時調整教學內容.統計學在各個領域的成功運用也推動了自身的迅猛發展，各種新穎的統計思想、高效的統計方法層出不窮，必然帶動這一學科內容的不斷更新；而另一方面，由于師資、專業方向等方面的差異，作為公共基礎課的概率統計的教育也必然是多元化的.除表現在教學內容上以外，統計學基礎教育的教學水平是永遠不會與統計學發展的先進水平并駕齊驅的，而只能是一個動態的跟蹤過程，跟蹤新技術潮流是這一學科的一個明顯的特點.但是，我國的數理統計過去長期以來生存于以純數學占主導的數學系中，對它的重視程度明顯不夠，教學內容死板，更新速度較慢，不僅極大的限制了統計的應用，也不利于培養與國際接軌的高素質人才.

2 重視直觀、注重統計思想方法的滲透

概率統計起源于解決賭博問題中的分點問題，又是在解決各種實際問題的實踐中發展起來的，具有豐富的實際背景.因此，在教學中講清問題的背景，突出實踐性尤為重要.教師的一個重要工作是去創設學習的資源和環境，讓學生有多種機會在不同的情景下了解所學知識的應用.甚至可以讓學生獨立完成發現知識、解決問題、提高技能，尤其是對那些易錯易混淆的知識，不要一味地由教師給予，而要引導學生自己在實踐中發現；實踐經驗也要讓學生自己摸索總結出來，而不是單純由教師灌輸.因此，教師的講解過程應該精練，最好是通過簡單的例子用實際操作的方法進行，這樣，學生才更容易理解、接受，也對培養大學生應用知識能力起到很好的促進作用.

比如，隨機性和規律性是統計學的主要思想之一，它們是關系密切的孿生子，隨機性是指不能夠預測某一特定事件的結果，規律性是指我們從許多事件中收集數據時發現的模式.但是，許多學生習慣于確定性思維，往往對這些問題感到不可思議：天氣預報明日下雨的概率是80%，那么明天到底是下雨還是不下雨呢？為什么第二天沒有下雨，反倒是預報下雨概率只有20%的日子下雨了呢？這些困惑都是因為學生對隨機性和規律性的關系不夠理解.事實上，一個隨機事件的結果是不確定的，所以我們沒法確定是否會發生意外；但是當我們把隨機的事件放在一起，它們的規律性就會比較明顯.盡管某個人是否遭遇車禍是未知的，但當你考察所有的事故時，就會發現其中帶有某種規律性，如美國差不多每年都有4萬人死于車禍.統計學的作用就是要把隱藏在隨機性中的規律性尋找出來，因此，統計學是“辦大事”的，它始終要站在研究對象的整體角度來看問題，總是以大量的觀測和綜合分析為前提的.

再比如“平衡”的思想.決策分析是利用概率來做決策，我們常常面對各種選擇和決定，很多非正式的場合，我們會憑借“直覺＋概率”來做出大多數決定.當我們需要進行長距離旅行時，我們面臨是否乘坐飛機的選擇，飛機墜毀是有可能的，我們可以不坐飛機并躲開墜毀的概率.但是，空難發生的概率又很小，所以仍然會有很多人選擇坐飛機并快速到達目的地.我們必須要估計空難的概率并對照坐飛機的速度所獲得的利益.決策分析就是一個在風險和收益間達到“平衡”的過程.這種“平衡”的思想在統計中隨處可見：做估計的時候，我們要面臨大樣本量提高準確度和小樣本量降低復雜度之間的選擇；進行多元統計時，我們要面臨高維數據的處理困難和低維數據的信息損失之間的選擇；選擇統計方法時，我們則要面臨參數方法的高效性和非參數方法的低假定之間的選擇等等.在這樣的兩難境地，任何選擇都要面臨一定的“損失”，講清這種思想，引導學生學會權衡利弊，既提高了學生學習的興致，對提高學生的綜合素質也是很有幫助的.

3 改善教學策略和教學方法

（1）創設問題情景，引發學習需要.

由于概率統計是注重應用的一門學科，在現實中有著大量的案例，因此，除了要讓學生掌握一定的理論知識，更要其學會利用隨機性思維去看待事物，還要培養學生的實際操作能力，這就要求教師采用與其他數學課程不同的教學方法.為了使學生產生濃厚的學習興趣，應該通過實際生活中學生熟悉的例子來設置教學的具體情景，從而體會概率統計的內容，并和數學建模相聯系，使學生能夠結合感性認識對所學理論有一個很好的認識和更大的升華.比如在講授“線性回歸”這一方法時，我舉出了網上常見的“通過父母身高預測子女身高”的公式，雖然父母身高與子女身高的真正關系決非一個簡單的線性公式，但是通過這樣一個簡單的線性關系確實有助于預測子女身高（回答了學生為何可以采用線性回歸的疑問）；這種預測是針對大部分人而言的，是對“同等條件下平均身高”的一種預測（說明線性回歸是對條件期望函數的一種“回歸”）；而且是帶有隨機誤差的（同一父母子女的身高也是有差別的），甚至模型都是錯誤的（變量之間的關系不一定是線性的）.但錯誤的未必是沒用的，引導學生學會接受一定的“誤差”（數學建模中，有些假定都是未必存在的，但數學建模仍然是有用的）.這樣的例子一開始就引發了學生強烈的興致和求知欲望，而且簡單明了，較好地完成了教學內容.

此外，統計學也為計算機計算等提供了大量的高效的算法，以及許多界面友好、簡單實用的計算機語言，比如R語言，該軟件本身是免費的，對廣大科研工作者處理數據是很有幫助的.因此，我在授課過程中經常穿插一些算法的實例，讓學生實實在在的看到統計在自己專業的應用前景，這對于提升學生學習的動力是很有好處的.

（2）采用多媒體課件、軟件演示、案例教學等多維立體的教學方法，變“授人以魚”為“授人以漁”.

教學改革不僅僅是教學內容的改革.教學是在教師和學生互動的環境下，通過某些方式所完成的知識建構和能力培養的過程.選擇教學方法的唯一目標就是學生受益最大化.在多媒體技術迅猛發展的今天，單純靠“課本＋板書”組合已經不能滿足課堂教學的需求，如何充分利用多媒體提高課堂教學的效率是當下每位教師都要面臨的重要課題.通過本人多年的運用多媒體技術授課的實踐，確實是可以達到事半功倍的效果.因為多媒體技術的動態性、交互性、清晰的界面等對學生的學習興致是很好的促進，而且使學生易于分清重點，攻克難點，不僅可以學到一些概念、公式等知識，也清楚了知識的來龍去脈，模型產生的全過程.這對培養學生的探索能力也是有好處的.

此外，由于計算機技術中廣泛的應用了統計學方法，有許多軟件都安裝了統計計算包，如Matlab等，也有許多專門的統計軟件，如SAS，SPSS，R等.計算機與教學環境相結合，尤其是這些界面越來越友好的統計軟件的應用，已經使得舊的教學“三部曲”——做筆記、記公式、做習題，越來越不適用于大部分學生.即使概率統計是許多同學在將來的工作中必須要用的，也可以借助于這些統計軟件.因此，適當的對這些內容進行穿插是真正“授人以漁”，不僅對培養學生的動手能力有益，對學生加深對所學理論知識的理解以及在未來的工作實踐中更好的利用統計也是很有幫助的.

案例教學也是廣大概率統計教師應當重視的.它在某些實踐性、操作性很強的內容運用是很合適的，可以使教學內容與實際接軌，知識更加生動活潑，易于引起學生的興趣和思考.而統計學的廣泛應用為我們提供了極為豐富的教學案例.比如在講授方差分析，我列舉了著名統計學家Fisher把方差分析成功運用到農業發展之中的案例，使學生很容易的就領會了方差分析的思想等.

4 積極推進考核形式的改革

考核是對學生最終學習情況的總結，也是對教師教學完成情況的評估.考核不單純是給學生一個最后的分數，采取何種形式進行考核，對于學生的學習方法、學習重點、學習技巧等都有很強的導向作用.受應試教育的影響，國內大多課程的考核方法都是閉卷考試.對于有些課程而言，閉卷考試是有益的，也是必須的；但對于概率論與統計學這門實用性很強的課程來說，我認為授課的重點是要讓學生掌握統計學的核心思想，并學會利用統計的思維處理問題，而不是教會學生做題的固定方法，象學習“純數學”那樣機械的做題，這樣會損失掉原有的教學目的.概率統計離不開公式和計算，但我堅信，這些公式和計算的結果不是我們的終極目標，公式和計算都是為了加深學生對概率統計方法的理解，但不能讓公式成為學生學習統計的一種障礙.應當重視學生對概率統計的重要概念的理解、總結歸納問題和研究問題的能力的培養，不必刻意要求學生記憶一些硬性的規律.不理解的東西對于學生就象不能消化的食物，永遠弊大于利.

因此，結合本課程的特點，我認為在考核中可以嘗試開卷考試、半開半閉考試考核以及分組考核、實驗考核及撰寫小論文等多種形式.使學生不至于為死記一些定理公式浪費過多時間，而把主要精力放到理解概念、動手實踐、拓寬知識面、有目的的看參考書等環節上來.

總之，大學數學課程“概率論與數理統計”的教學是有一定難度的，無論是教學內容還是教學方法，都應該隨著專業內容的拓展和科技的進步而不斷調整，以順應時代的需要，培養高綜合素質的科研型人才.以上僅是我在教學過程的一些實踐與認識，期望能拋磚引玉，讓更多人關注和重視這門公共課程.

［1］ 謝秉智.積極推動研究性教學提高大學生的創新能力［J］.中國大學教學，2006（2）：21-23.

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［3］ 桑新民.探索信息時代高校課程與教學的新模式［J］.中國大學教學，2005（6）：38-41.

G642.0

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1672-1454（2010）增刊1-0122-04

北京市屬市管高等學校人才強教計劃資助項目及北京工業大學教育教學研究項目（0060005141919）——概率論與數理統計課程實踐教學改革研究