對數學建模和數學實驗課程的幾點看法

譚永基

（復旦大學數學科學學院，上海 200443）

對數學建模和數學實驗課程的幾點看法

譚永基

（復旦大學數學科學學院，上海 200443）

綜述了國內外數學建模和數學實驗課程的歷史和現狀并對國內這兩門課程存在的問題以及改進的對策提出了自己的看法.

數學建模；數學實驗

我們承擔了高校大學數學教學研究與發展中心關于進一步深化數學建模和數學實驗課程改革的課題，對國內外這兩門課程發展的歷史和現狀和國內這兩門課程當前存在的問題作了一些調查研究，形成了一些不成熟的看法.現綜述如下.

1 數學建模和數學實驗課程的起源和國外概況

第二次世界大戰以后進入了經濟高速恢復發展的時期，從20世紀40年代起開始了以電子計算機技術、核能、空間技術和生產過程自動化等為標志的第三次產業革命，出現了“高技術”，對數學的應用提出了新的更高的要求.由于在第二次世界大戰中涌現和儲備了大量的優秀應用數學人才，而電子計算機的出現與發展又為數學更廣泛的應用提供了可能.于是數學對工業技術發揮的作用越來越直接，數學的作用從幕后走向了臺前.1972年由美國總統顧問戴維起草的關于發展美國數學的報告中指出“我們進入了數學工程的時代”.

用數學解決科學技術問題，建立問題的數學模型是十分關鍵的，于是對數學模型的研究、對數學建模方法論的研究逐漸興起.到上個世紀六十年代，數學建模課程開始在美國高校中出現，并逐步在歐美各國高校中普及.

目前，歐美主要大學的數學系都開設數學模型或數學建模課程，很多大學的生物、經濟、金融、管理等系科也開設專門的數學模型課程.1986年開始的美國大學生數學建模競賽推動了數學建模課程的普及.數學建模課程越來越受到重視，現在每兩年召開一次數學建模教學國際會議，研究數學建模課程和數學建模教學.西方各國出版了大量數學建模教科書和專著，單單美國某圖書經銷公司的目錄中就列出了數學建模和數學模型書目近2000種.

在美國近年用得最普遍的兩種教材分別是；Giordano等編的A First Course in Mathematical Modeling（已翻譯出版）和Douglas Mooney等編的acourse in Mathematical Modeling.后者是由美國數學協會（MAA）出版和推薦的.

據我們調查，國外單獨開設數學實驗課程的學校很少.與我們的數學實驗課相關的有實驗數學課以及穿插在其他課程中的數學實驗.

數學發展史上，有一批數學家認為實驗也是數學研究的重要手段之一.例如高斯說過他達到數學真理的途徑是“通過系統的實驗”.波利亞指出：“數學有兩個側面，一方面是歐幾里德式的嚴謹科學，從這方面看數學是一門體統的演繹科學，但從另一方面看，創造過程中的數學看起來卻像一門試驗性的歸納科學”.上個世紀六十年代著名的四色問題的證明就是通過數學結合計算機實驗獲得的的重大數學成果.這一成果雄辯地證明了實驗對數學的重要性，推動了實驗數學學派和實驗數學分支的出現和試驗數學期刊的出版.實驗數學學派的主要觀點是：實驗是數學發現的重要方法，實驗可以啟發新的猜測或對現有猜測提供支持和依據，可以指出新的研究領域，實驗可幫助證明新定理.在這一觀點的影響下用實驗來學習和研究數學的實驗數學課程開始出現.例如1989年在美國Mount Holyke College開設了這類課程，為此編寫的教材“數學實驗室”后來產生了較大影響.

美國國家自然科學基金會資助的微積分教學改革，將實驗引入微積分教學，通過學生自己動手，用計算機等實驗手段學習和驗證微積分中的一些重要數學結論.在作為微積分改革的重要產物哈佛的微積分和托馬斯的微積分這兩本教科書中都有體現.

在微積分改革后美國國家自然科學基金會資助強度最大的教改項目是MATC（Mathematical sciences and its applications through curricular）和Links（Mathematics and its application for engineering and science）［1，2］.它們的目的是設計課程和教學課件，提供模擬用數學解決現實問題全過程的實驗，通過學生自己動手實驗，讓各專業學生提高用數學解決本專業問題和數學專業學生用數學解決各種科學技術問題的能力.

2 國內數學建模和數學實驗課程發展和現狀

1.發展過程.

國內數學建模課程的發展可分三階段.第一階段20世紀80年代：建模課程80年代初開始進入少數幾所大學數學系的課堂，到80年代末有幾十所學校開設建模課程（主要在數學系），1989年開始少數學校學生參加美國大學生數學建模競賽，出版了幾本教材.第二階段為20世紀90年代：建模課程由數學系推廣到理工、經管等學生，到90年代末有幾百所學校開設，1992年全國大學生數學建模競賽開始舉辦，到2000年有517所學校3210隊參加，出版約50本教材和讀物.第三階段為21世紀的10年：開設建模各種類型課程的學校達千所，2009年有1137所學校15042隊參加全國競賽，出版近200本教材和讀物.近年來在李大潛院士的倡導下，許多院校正在研究和實踐將數學建模的思想融合到主干數學課程中.

受國外實驗數學的影響（“數學實驗室”由白峰杉等翻譯出版，“數學譯叢”系統介紹國外實驗數學的情形）國內出現了數學實驗課.另外在數學建模教學實踐中許多教師發現單純的數學建模課堂教學不能滿足培養學生用數學解決現實問題能力和創新能力的需要.應在課內增加讓學生自己動手進行實驗，體會解決問題全過程的環節.于是出現了數學建模實驗或數學建模實踐的新課程.1995年制定的工科數學教學體系改革方案中，數學實驗被列為主要課程之一.

為調查數學實驗課程的情況我們進行了問卷調查.發出的200份問卷調查收回了66份，其中開設該課程的學校占2／3.各校該課程的課時數不同，從18到72學時；內容、要求、考核方式呈“百花齊放”的局面.課程教學對計算機和網絡的應用明顯，多媒體課件和數學軟件使用廣泛，以案例形式展開教學是普遍采用方式.

當前各院校開設的數學實驗課大致可分四類：第一類，將建模與計算優化統計結合；第二類，通過實驗學數學，不太注重數學建模，較適合數學類專業學生；第三類，數學建模實驗通過案例實踐從建模—數值求解—驗證—應用的用數學解決實際問題全過程；第四類，穿插在高等數學等課程中的數學實驗.

2.數學建模和數學試驗課程特點和優點.

這兩門課程有以下特點和優點：以培養學生的解決實際問題的能力、提高他們的綜合素質為主；課程以問題驅動，有利激發學生學數學的積極性；充分發揮學生在教學中的主體作用，學生能動學習，有利培養創新精神；師生互動，有利于小課題研究、團隊學習、課堂討論、成果報告等有效教學方法的實施.

3.數學建模和數學試驗課程實踐和改革產生了明顯的效果.

首先，這兩門課稱的開設及其有關的活動改善了數學在公眾中的形象，使公眾認識到數學在經濟、科技發展和社會進步以及提高人們綜合素質中的作用.同時通過這兩門課的學習，提高了學生學習數學的積極性.

其次，這兩門課的教學和改革實踐有力地推動了數學教改，出現生動活潑新局面，誕生許多教改新成果.與這兩門課程有關的國家級及省級教學成果獎與國家級及省級精品課程均達到數十項之多；許多教師因在教學和改革中的突出表現被評為國家級或省級教學名師.

最后，這兩門課的教學顯著地提高了學生解決問題能力和創新精神，對培養優秀人才的作用初步顯現.學生在各類用數學解決問題的實踐活動取得豐碩成果（如挑戰者杯和美國大學生數學建模競賽等）.學生通過這兩門課的學習，提高科研能力，發表許多用數學解決各類問題的研究論文.如大連理工大學數學建模實踐班學生自2000年來已署名發表的科技論文三十余篇，其中主要是英文論文且大部分被SCI檢索.暨南大學珠海分校數學建模實驗室本科生僅2008-2009年，就發表學術論文18篇（第一作者均為學生）.學習數學建模課和參加數學建模競賽獲獎學生在后繼學習研究表現突出，多人次獲國家級優秀博士論文獎（國防科技大學等）；其中還有許多人已成長為國內外大學或科研機構的教學科研骨干.

3 當前數學建模和數學實驗課程存在的問題和改進措施

雖然數學建模和數學實驗課程教學總體而言很有成績，發展健康，但是在某些學校的某些方面還是存在一些問題的.

據我們的調查，數學建模課的主要問題是：有些教師培養能力與創新的意識不強，將數學建模課淪為簡單的知識傳授課；數學建模課十分適合我們采用師生互動、課堂討論、小課題研究實踐等先進的教學方法，但有些教師將教學方法倒退為簡單的課堂灌輸.雖然新編寫的數學建模教材很多，但部分教材選材陳舊、缺乏特點.有些學校將數學建模課程降格為數學建模競賽的培訓手段.

而數學實驗課程存在的問題是：某些學校缺乏課程結合本校實際的正確定位；部分院校無教學大綱，其它教學文件缺乏，上課內容有隨意性；有些院校課程內容安排學習軟件和解決問題實踐課時比例失衡，將數學實驗課降格為軟件學習課程.很多院校都存在數學實驗課程的師資隊伍的培養和教學內容更新問題

針對這些問題我們認為應采取以下改進措施：

1.發揮優秀教學成果和精品課程示范作用；

2.多舉辦各類課程交流研討會和師資培訓班；

3.加強對國外教材和經驗調研，介紹國外優秀教材、教學課件；

4.制訂適合各類院校、各種不同要求的數學建模和數學試驗課程的教學規范；

5.推薦相應優秀教材和現有優秀教學資源和教學課件；

6.組織研制新的教學課件翻譯國外優秀教學課件.

我們相信在教學行政管理部門的支持下，通過這兩門課的任課教師的努力，這兩門新興的數學課程一定會更加健康地發展并在數學教改中發揮更大的推動作用.

［1］ http：∥www.links.math.rpi.edu

［2］ http：∥www.math.dartmouth.edu／～matc／index.html

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1672-1454（2010）增刊1-0019-03