對“雞兔同籠”問題教學的認識和實踐

■馮勝 邵承民

對“雞兔同籠”問題教學的認識和實踐

■馮勝 邵承民

如何準確理解和把握課改新增加內容，從而進行有效的教學，讓學生在學習的過程中更好的理解數學本質，建立數學模型，感悟數學文化，已成為小學數學教學研究的課題。“雞兔同籠”問題就是伴隨著數學課程改革出現在小學數學教科書中“數學廣角”學習板塊的“新”內容。其實，“雞兔同籠”問題是我國民間流傳下來的一類數學妙題，是前人探究出來的知識成果，它集題型的趣味性、解法的多樣性、應用的廣泛性于一體，堪稱歷史經典，以往僅出現在“奧數”作為對學生進行思維訓練的素材。作為小學數學教材中的這一新增內容，其教育功能與價值并不完全是要求學生解決“雞兔同籠”這個數學問題，更重要的是讓學生在解決問題的過程中建立解決這類數學問題的數學模型，在數學思考中逐步感悟數學思想。筆者曾參與“雞兔同籠”一課的教學研究，在此與大家分享對這節課的教學認識和實踐。

1.充分尊重學生的已有知識經驗，在自主探討中，體驗數學樂趣

建構主義教學論認為：知識是不能被傳遞的，而是基于主體經驗的主動建構，應針對學習者已有的經驗和興趣，發揮學習者的主動作用。因此，在教學中必須充分尊重學生的已有基礎，發揮他們的主動性，賦予他們有話說、有事做的權力，參與數學教學活動。

雞兔同籠這一數學問題對于學生來說并不陌生，有的學生在數學讀物上看過，有的學生在數學興趣小組中學習過，甚至有的學生能還能運用多種方法解答。但是，還有許多學生不會解決或會解決卻不知其所以然。所以，在教學中既要讓學生運用各種途徑大膽地嘗試解決，體驗在解決問題中帶來的成功與樂趣，又要讓學生明確本節課的目的。為此，我們進行了如下設計：

播放關于古代數學專著《九章算術》和《孫子算經》的短片，引出雞兔同籠問題。讓學生對問題解釋后，將問題“籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳。雞和兔各有幾只？”簡化成例1：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？”。在學生理解題目的基礎上，運用自己的方法嘗試解決。

在這個教學過程中，學生在觀看短片的過程中感受到我國古代數學文化的博大精深，同時也在將原問題簡化成例1的過程中，體會到“化繁為簡”這一重要的數學思想方法。對于例1來說，學生現階段的知識水平，是完全有能力解決的。

【課堂再現】

生1：我是先猜雞有4只，兔也有4只，但是4×4＋4×2=24只腳，不滿足條件，我接著猜雞有3只，兔有5只，3×2＋5×4剛好等于26只腳，說明我猜的是正確的。

生2：我是把雞和兔只數的每種情況列舉出來，就找到滿足條件的情況。

雞/只8 7 6 5 4 3 2 1 0兔/只0 1 2 3 4 5 6 7 8腳/只16 18 20 22 24 26 28 30 32

生3：我是運用假設法解決的。……

可以看出，學生對問題的解決方法是多樣的，思維水平也是不同層次的，學生1的方法是運用假設檢驗法，學生2的方法是列舉法，學生3的方法是假設法。

2.有效把握課堂合理的生成資源，在啟發引導下，建立數學模型

雖然“假設檢驗法”和“列表法”非常直觀、易懂，學生容易接受，但是兩種方法的缺點也很明顯，如果題目的數據較大，則不宜采用。因此，我們將這節課的教學重點確定為理解“假設法”這一數學思想方法。如何利用現有的課堂生成資源，幫助學生建立“假設法”解決這類問題的數學模型，并讓學生在解決問題的過程中，獲得數學思維的提升呢？

首先，我們利用學生呈現的運用列表法解決例1的表格，請學生思考：觀察表格，從中你能發現什么規律嗎？學生觀察交流后，幫助學生歸納出：在雞與兔總只數不變的情況下，雞每減少一只，兔就增加一只，總腳數增加兩只，反之，雞每增加一只，兔就減少一只，總腳數減少兩只。

還要讓學生自己發現假設檢驗法和列表法的局限性，通過讓學生思考后明白，采用這種假設檢驗的方法或者列舉的方法是可以找到答案的。然后，教師再提問：你能用這兩種方法解決前面的“雞兔同籠”問題嗎？顯然，學生在比較中對幾種解答方法進行了適當的評價。

要通過教師的有效教學幫助學生理解假設法并能正確運用，就必須回答假設法是什么。我們認為是運用極端假設進行的消元。正因為兩個事物能夠轉化成一個，所以才“全假設成雞”或“全假設成兔”。我們進一步思考：如果不“全假設成雞”或“全假設成兔”，而是“任意假設雞兔”，可以嗎？答案也是肯定的。

比如例1中，我么們假設有4只雞，4只兔，此時腳數為4×2＋4×4=24（只），比實際26只腳多了26-24=2（只），說明兔假設少了，而雞假設多了。兔少了多少呢？（26-24）÷（4-2）=1（只），所以，雞有4-1=3（只），而兔有4＋1=5（只）。

我們不是讓學生直接的從我們這里獲得假設法解題的模式和步驟，而是讓學生經歷假設法的產生過程，只有這樣學生才不拘泥于“模型”，為學生的思維發展留下足夠的空間。

【課堂再現】

師：我們來大膽猜測一下這道題的結果吧。誰愿意來猜一猜？

（相機板書，如：雞16只，兔19只；雞30只，兔5只）

師：第一個同學猜對了嗎？怎樣來驗證？（列式：16×2＋19×4=108）算出來是108只腳，腳多了說明了什么？

如果要你們在這個基礎上接著猜，你們會怎樣猜呢？（指2～3名學生回答）為什么你們都減少兔增加雞呢？

學生回答后，教師小結：因為一只兔比一只雞多兩只腳，所以腳多了的時候應該減少兔增加雞。教師引導學生朝著這個方向再猜，（如：雞20只，兔15只。列式：20×2＋15×4=100）腳還是多了，還要減少兔增加雞。

師：看來，只要找對了方向，像這樣繼續猜下去，我們也可以找到答案。接下來請大家像剛才這樣驗證第二組猜測，如果不對，請試著進行調整并找到答案，數一數，你做了幾次調整。

（學生活動，教師巡視，參與討論并及時給予輔導。指名學生展示自己的猜測過程，教師引導其他學生及時作出評議）

師：剛才老師發現有的同學調整了5次找到了答案，有的同學只調整了2次就找出答案了。想一想，能一次就調整出答案嗎？

（學生回答，教師引導學生進一步明確增加a只兔，就減少a只雞，相應的就增加2a只腳；反之，增加a只雞，就減少a只兔，相應的就減少2a只腳）

師：多么有智慧的調整啊！這個調整的過程怎樣用算式表示呢？

學生思考后，指名板演：

雞30只，兔5只

30×2＋5×4=80（只）

94-80=14（只）

14÷（4-2）=7（只）

30-7=23（只）……雞

5＋7=12（只）……兔

學生列式后，引導其他學生評議并提出問題，明確“4-2”表示什么，求出的“7”又表示什么？教師再將前面的“雞30只，兔5只”改為“假設雞有30只，兔有5只”。

師：其實，我們也可以首先假設雞是0只，兔是35只，也就是假設籠子里全是兔；或者首先假設雞35只，兔是0只，也就是假設籠子里全是雞。請你選擇一種，列出算式，解決問題。

指名板書計算過程：假設籠子里全是雞。

35×2＋0×4=70（只）

94-70=24（只）

24÷（4-2）=12（只）

0＋12=12（只）……雞

35-12=23（只）……兔

師：像這樣首先假設一種情況，再根據題目中的條件進行分析調整，直到找出答案的方法就是假設法。比較這兩種假設方法，你認為哪種更簡便？（學生自由評議）所以在解答類似的問題時，我們一般都采用后面的這種假設情況。

贈人以金，何如授人點金之術？授人以漁，可以漁盡天下之魚！

3.及時豐富多樣的教學素材，在應用拓展中，感悟數學魅力

由于“雞兔同籠”問題解題方法的特殊性（假設法），許多應用問題都可以化為“雞兔同籠”問題。因此，我們以問題解決和生活應用強化、拓展新知，把“假設法”運用到具體的生活問題中，將學生的思維向縱深發展，感悟數學魅力。

于是在學生學習假設法之后，呈現了下面的兩個問題：

（1）有龜和鶴共40只，龜的腿和鶴的腿共有112條。龜和鶴各有幾只？

（2）全班一共有58人，共租了12條船。每條大船坐6人，每條小船坐4人，恰好全都坐滿。大小船各租了幾條？

讓學生思考，這兩個問題與“雞兔同籠”問題有聯系嗎？有怎樣的聯系？讓學生思考后發現：“雞兔同籠”問題不僅僅是單純是指雞和兔的問題，還有許多數學問題可以化歸成這類問題，運用假設法去解答。最后，讓學生獨立地解答這兩個問題。

由此可見，掌握“雞兔同籠”問題的基本解法，經過適當的轉化和遷移，可以解決更加廣泛的數學問題。與此同時，通過日本民間流傳的“龜鶴算”與身邊的現實問題，使學生領悟數學建模。這樣一個首尾呼應的課堂結構，使學生更深刻地感受數學課堂的完整性，同時又讓學生浸染在古今中外數學文化交融的氛圍中，使數學課堂也沐浴著深厚的人文氣息。

（作者單位：馮勝華中科技大學附屬小學邵承民武漢市硚口區武藥小學）

責任編輯 廖林