一元二次方程概念教學的嘗試與啟發

■黃玉華

一元二次方程概念教學的嘗試與啟發

■黃玉華

數學概念是人們通過實踐，從數學研究對象的眾多屬性中經高度概括抽象出的本質屬性。數學概念具有高度的抽象性，這是數學概念難教、難學的原因之一。教學時只有根據概念的特點和課標的要求,結合學生的認知基礎，靈活采用教學方法，才能創造出課堂的精彩。下面結合一元二次方程概念的教學，我談談在概念教學方面一點嘗試和啟發。

一、教學設計構想

復習一元一次方程和二元一次方程，由學生說出一元一次方程和二元一次方程概念及方程的特點，讓學生領悟整式方程中的“元”和“次”的意義。類比一元一次方程概念讓學生大膽猜想一元二次方程的概念，然后一步一步地完善概念，建構自己的知識體系。

二、教學過程

師：什么叫方程？我們以前研究過哪些種類的方程？它們有怎樣的特點？試舉例。

生1：含有未知數的等式叫方程，我們已經學習過一元一次方程和二元一次方程，還有分式方程。一元一次方程的特點是只含有一個未知數且未知數的最高次數是1的整式方程，如2x+1=0；二元一次方程的特點是含有兩個未知數并且所含未知數項的最高次數是1的整式方程，如3x-2y=5；分式方程的特點是分母中含有未知數，如。

師：（一邊板書課題，一邊提問）今天我們一起來學習一種新的整式方程—一元二次方程，你能類比一元一次方程、二元一次方程的概念猜想出一元二次方程的概念嗎？請舉例說明。

生2：只含有一個未知數且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程，如。

師：（一邊板書一元二次方程的概念，一邊提問）一元二次方程與以前所學的一元一次方程有何異同？

生3：不同點是一元二次方程所含未知數的最高次數2，而一元一次方程所含未知數的最高次數1，相同點是都只含有一個未知數，并且都是整式方程。

師：請小組內每人寫一個一元二次方程，相互交流，比哪一小組的形式多樣？（教師巡視）

小組1：①2x2=1，②x2+2x=0，③3x2+2x-1=4，④x2=0，⑤（x-1）2=2。

師：請同學們把這些方程變形，使等號右邊變成0，左邊按照未知數的次數由高到低順序排列。你們能發現這些一元二次方程有什么共同特點，有什么不同特點？你能用字母系數來表示出一元二次方程嗎？思考后寫出來，小組交流。

小組2：我們發現變形后的這些一元二次方程左邊第一項都含未知數的二次項，但有的方程缺一次項，如方程①；有的方程缺常數項，如方程②；有的方程既缺一次項，又缺常數項，如方程④。我們這一小組用字母系數來表示出的一元二次方程的形式是mx2+nx+p=0。

師：這里的字母系數m、n、p能取任意實數嗎？為什么？

生3：m≠0，否則未知數的最高次數就不是2次了,方程也就不是一元二次方程了。

師：n和p呢？

生4：n、p可以任意取。

師：（板書）一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式：．這種形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項。

三、教學啟發

1.猜想是讓學生形成概念的重要思維方法

引入是概念教學的第一步，也是形成概念的基礎。概念引入時教師要鼓勵學生猜想，即讓學生依據已有的材料和知識作出符合一定經驗與事實的推測性想象，讓學生經歷數學家發現新概念的最初階段。牛頓曾說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。”猜想作為數學想象表現形式的最高層次，屬于創造性想象，是推動數學發展的強大動力。因此，在概念引入時培養學生敢于猜想的習慣，是形成數學直覺，發展數學思維，獲得數學發現的基本素質，是培養學生形成概念的一種重要思維方法。

2.針對學生心理特點靈活采用概念認知方式

概念有兩種基本形式—概念形成和概念同化。從學習過程來看，概念形成主要依靠對具體事物的抽象，通過對正反例證的不斷辨析，提出假設，并進行檢驗，最后發現概念的本質屬性；而概念同化主要依靠新舊知識的聯系，判別學習的概念與原有認知結構中有關概念的異同，并組成概念的網絡系統。它們所需的條件不相同，概念形成的學習條件是學生必須辨別正反例證，同時外界要有反饋信息；而概念同化的學習條件是學生認知結構中必須有同化新概念的有關概念，外界要有新概念的定義或對概念特征的描述。相同的是這兩種不同形式的概念學習都需要學生進行積極的有意義的學習活動。所以，概念的形成往往與人類自發形成的概念相近，它適用于低年級學生。就學習內容而言，尤其適用于幾何知識的學習。原始概念和一些層次較低的概念，一般采用概念形成的方式，就是憑借事物的具體形象和表象進行抽象。概念的同化則是具有一定心理水平的學生學習概念的方式，比較適合中高年級.對于發展性概念，一般采用同化的形式，因為隨著學生年齡的增長，認知結構中的知識不斷積累，智力不斷發展，就應借助學生已有的概念去認識新的概念。在課堂教學條件下，概念同化就逐漸成為學生獲得新概念的主要方式。在引入概念時，要充分復習學生的已有知識，使新概念在已有的概念中精確深化，產生新的認識，即在舊概念的基礎上引入新概念。

3.針對概念的兩種形式靈活采用不同的教學方法

對不同形式的概念的教學，可以采用不同的教學方法。概念教學主要是要完成概念的形成和概念的同化這兩個環節。新知識的概念是學生初次接觸或較難理解的，所以在教學時應先列舉大量具體的例子，從學生實際經驗的肯定例證中，歸納出這一類事物的特征，并與已有的概念加以區別和聯系，形成對這一特性的一種陳述性的定義，這就是形成一種概念的過程。在這一過程中同時要做到與學生認知結構中原有概念相互聯系、作用，從而領會新概念的本質屬性，獲得新概念，這就是概念的同化。在進行數學概念教學時，最能有效促進學生創新能力的是對實例的歸納及辨析。通過對實例的歸納和辨析對新問題的特性形成陳述性的理解，繼而與原有的知識結構相互聯系，完成概念形成的兩個步驟。依據數學概念的兩種形式，可嘗試設計概念教學的兩種模式。

第一種模式：問題情境（抽象）—新概念分析（內涵、外延、正（反）例）—應用—反饋。其具實施步驟是：①構建問題情境，創設心理環境。針對新概念構建相應的問題情境，隱含新概念所描述事物的本質，觀察、認識到提出新概念的必需和合理，以形成合理心情，積極、大膽地進行思維；②考察本質屬性，抽象形成概念。分析問題情境，概括出它所反映事物的共同屬性，由此逐步抽象而提出新概念；③設計多向分析，深化概念理解。對新概念可從揭示內涵、外延、定義方式、合理性（和諧性）、正反例證等方面分析；④及時測試反饋（應用），評價思維訓練。這種模式一般適用于概念的形成，是一種發現學習的過程。

第二種模式：已有概念（類比、遷移）—新概念—比較（共性、異性）—創造（形成新概念體系）—應用—反饋。其實施步驟為：①精選已有概念，設置問題情境。數學概念體系的形成過程具有一定的層次性，如方程經歷了一元一次方程——二元一次方程——一元二次方程——高次方程——整式方程——分式方程——有理方程——無理方程。教學中應選擇最近的源概念，通過升維、加權、反向思考等設置；②擬定類比方案，遷移形成概念。考查概念情境的變化，擬定提出新概念的類比方案（概念誘發、類比途徑、類比可能的結果、驗證并完善）；③重比較促創造，強化概念理解。對類比、遷移提出的新概念，需與問題情境中的已知概念比較，弄清與原概念的共性、與已經知概念的異性；④及時測試反饋，評價思維訓練。這種模式一般適用于概念的同化，是一種接受學習的過程。

在平時概念教學中，教師只有對概念進行全面理解與合理把握，不斷探索新模式，做到目標明確、方法正確，才能使學生掌握好數學概念。

(作者單位:江蘇省泰興市黃橋初級中學)

責任編輯 王愛民