加強思維變通性訓練 提高學生解題能力

摘要:本文通過分析數(shù)學思維變通性的主要體現(xiàn)，重點分析了如何通過解題教學訓練學生的觀察能力、聯(lián)想能力、問題轉(zhuǎn)化能力，從而促進學生數(shù)學思維的發(fā)展，提高解題能力.

關(guān)鍵詞:數(shù)學思維的變通性;數(shù)學能力

數(shù)學思維的變通性是指善于根據(jù)題設的相關(guān)知識，提出靈活的設想和解題方案.數(shù)學思維的變通性是高中數(shù)學解題思維策略之一，它主要體現(xiàn)在善于觀察、善于聯(lián)想以及善于將問題進行轉(zhuǎn)化三個方面.O.K.吉霍米曾說過:在心理學中，思維被看作為解題活動，雖然思維并不是總等于解題，但可以斷言，訓練思維的最有效辦法是通過解題來實現(xiàn).因此，在平時的解題教學中，教師要努力提高每一道題的功效，有意識地訓練學生的觀察能力、聯(lián)想能力和轉(zhuǎn)化問題的能力，才能有效地提高學生的解題能力.

一、在解題的教學中，授學生以觀察的方法和技巧，訓練觀察能力.

觀察是解題過程中一種重要的思維能力。教師在指導學生解題時，可以從以下幾個方面進行觀察方法和技巧的訓練.

1.引導學生觀察條件之間的共性，培養(yǎng)觀察的精確性.

就數(shù)學而言，有些題目具有本身的結(jié)構(gòu)特征或數(shù)形特征，解題思路往往就蘊含在特征之中，因此揭示特征探索解題思路的過程就是培養(yǎng)觀察精確性的過程.

分析:本題若直接求解，無從下手，但如果仔細觀察式子的數(shù)量特征:+=1，+=1，…可以發(fā)現(xiàn)里面隱藏著解題的關(guān)鍵，所以將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f(x)=的結(jié)構(gòu)特征，得出f(a)+f(1-a)=1這一個一般性結(jié)論后就易于求解.

2.引導學生觀察已知與求知的聯(lián)系，培養(yǎng)觀察的針對性。

這是觀察的重要一環(huán)，充分利用已掌握的信息實現(xiàn)由已知求未知的目的.

例如，已知a，b為正數(shù)，且a+b=，則+的最大值是 .

通過觀察，發(fā)現(xiàn)函數(shù)+的平方和2-(a+b)是個定值，且本題是求最值，因此可以馬上聯(lián)想到不等式中一些含有平方和的公式，而柯西不等式(a+a)(b+b)≥(a1b1+a2b2)2的左邊剛好有一個平方和這一關(guān)系，因此可以逆用柯西不等式進行求解簡單明了得出本題答案.即+≤=.此外，本題也可以通過三角換元的方法進行解答，但過程比以上解法煩瑣.

從以上例子中可以看出，在解題的過程中，必須要注意審題.這樣不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)題目的特點，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件.因此，學生在解題時要認真全面地看問題，對每一個已知條件都要仔細推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題，真正地提高解題能力.

二、在解題教學中運用創(chuàng)造思維，訓練聯(lián)想能力.

聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁.稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識的聯(lián)系，都是不明顯、間接而復雜的.因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否利用觀察到的特征，靈活運用有關(guān)知識作出到位的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入.

1.運用聯(lián)想思維.

愛因斯坦認為，科學研究真正可貴的因素是直覺思維，同樣，數(shù)學解題中聯(lián)想靈感迸發(fā)也離不開直覺思維，在對問題進行全面的思考之后，不經(jīng)詳盡的推理步驟，直接觸及對象的本質(zhì)，迅速得出預感性判斷，可以說聯(lián)想是由靈感誘發(fā)而產(chǎn)生的.特別是在對一些問題無從下手的情況下，這時需由聯(lián)想來產(chǎn)生解題的靈感，使本來困難的題目迎刃而解.

例如，已知3(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，(a≠b)，求的值.

初看此題，只知道一個等式求一個比值，一個方程是不能求出三個未知數(shù)a，b，c的.這時就必須要用整體求解的方法.但在具體的實施過程中，我們發(fā)現(xiàn)(a-b)，(b-c)，(c-a)三者之間沒有直接必然的聯(lián)系.此時，我們運用聯(lián)想思維，由()2=3聯(lián)想到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可以看成一元二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0，(a≠b)而就是此方程的一個根，代入此方程也成立，故是方程的根，又因通過觀察知道1也是這個方程的根，因此可以把已知的知識和未知的知識聯(lián)系起來，使本來困難重重的解題過程變得非常通暢.

解:∵3(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，(a≠b)是一元二次方程，

∴，1是一元二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0，(a≠b)的兩個實根，

由韋達定理得+1=，+1=即=(+1)=3+.

2.由此及彼，拓展聯(lián)想空間.

聯(lián)系和重組的能力依賴于每個人的聯(lián)想空間，因此適時地引導學生對面臨的問題進行聯(lián)想是提高解題能力的有效途徑.

例如，已知a，b，c均為正實數(shù)，滿足關(guān)系式a2+b2=c2，又n為不小于3的自然數(shù)，求證:an+bn

思路分析:由條件a2+b2=c2聯(lián)想到勾股定理，a，b，c可構(gòu)成直角三角形的三邊，進一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法:

證明:設a，b，c所對的角分別為A、B、C，則C是直角，A為銳角，于是

sin A=，cos A=，且0

當n≥3時，有sinn A

于是有sinn A+cosn A

由以上例子可以看出，聯(lián)想思維在數(shù)學解題中有著不可低估的作用。因此，在數(shù)學的教學中，教師對學生的聯(lián)想思維的培養(yǎng)是很重要的，在授課特別是在解題的教學中要注重對學生聯(lián)想思維的培養(yǎng).

三、在解題的教學中，適時啟發(fā)引導，訓練問題轉(zhuǎn)化能力

轉(zhuǎn)化是解數(shù)學題的一種十分重要的思維方法.那么應該如何轉(zhuǎn)化呢?概括地講，就是把復雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題.在解題時，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系.

1.復雜向簡單轉(zhuǎn)化.

我們所遇見的數(shù)學題大都是生疏、復雜的.在解題時，不僅要先觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)知識，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡單的問題來解。恰當?shù)霓D(zhuǎn)化，往往能夠使問題很快得到解決.

例如，已知a+b+c=++=1求證a，b，c中至少有一個等于1.

結(jié)論沒有用數(shù)學式子表示，很難直接證明.因此，應該首先將結(jié)論用數(shù)學式子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式.a，b，c中至少有一個為1，也就是說a-1，b-1，c-1中至少有一個為零，這樣，問題就容易解決了:

證明 ∵++=1，∴bc+ac+ab=abc.

于是(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+ac+bc+1)+(a+b+c)=0，

∴a-1，b-1，c-1中至少有一個為零，即a，b，c中至少有一個為1.

很多學生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個為1，其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學式子，把陌生問題變?yōu)槭煜栴}。因此，多練習這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段.

2.正面向反面轉(zhuǎn)化。

某些問題，若正面求解比較困難，可從反面來考慮，往往能達到“柳暗花明又一村”的效果.

例如，已知函數(shù)f(x)=2x2+mx+n，求證f(1) 、f(2) 、f(3)中至少有一個不小于1.

證明 :(反證法)假設原命題不成立，即f(1) 、f(2) 、f(3)都小于1.

則f(1)<1f(2)<1f(3)<1?圯-1<2+m+n<1-1<8+2m+n<1-1<18+3m+n<1?圯-3

①+③得-11<2m+n<-9，與②矛盾，所以假設不成立，即f(1) 、f(2) 、f(3)中至少有一個不小于1.

反證法被譽為“數(shù)學家最精良的武器之一”，它也是中學數(shù)學常用的解題方法.當要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時，一般可考慮采用反證法.

古人云:“授人以魚，不如授人以漁.”教師不僅要教學生學會，而且更重要的是要學生會學.教師必須讓學生明確不要為解題而解題，在平時的解題教學中努力提高每一道題的功效，有意識地訓練學生的觀察能力、聯(lián)想能力以及轉(zhuǎn)化問題的能力，同時培養(yǎng)學生的思維能力，建構(gòu)學生自己獨特的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，從而增強解題意識，拓寬解題思路，提高思維的變通性，從而促進學生思維的發(fā)展.

(作者單位:潮州市職業(yè)技術(shù)學校)

參考文獻:

[1](美)波利亞.怎樣解題[M].北京:科學出版社，1982.

[2]王桂喜.優(yōu)化例題教學，提高思維能力[J].高中數(shù)學教與學，2007，(3).

責任編輯朱守鋰