用判別式解題不可忽視它的存在性

〔關鍵詞〕 數學教學;判別式; 直線;拋物線;斜率

〔中圖分類號〕 G633.62〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463(2010)01(A)—0055—01

暴露錯解過程尋求原因

【題目】求過點A(0，1)與拋物線y2=4x有一個交點的直線有幾條.

錯解一:設過點A的直線的斜率為k，即方程為y-1=kx，聯立y2=4x，y-1=kx，消去y得，k2x2+(2k-4)x+1=0.

(1)當k=0時，x=■，而直線x=■與拋物線y2=4x有兩個交點，所以k≠0;

(2)當k≠0時， 由?駐=0，得k=1，即過點A(0，1)與拋物線y2=4x有一個交點的直線只有一條y=x+1.

錯解二:在錯解一的基礎上，如果注意到點斜式不能表示與軸垂直的直線，即方程y-1=kx不能表示過點A(0，1)且與拋物線y2=4x有一個交點的直線x=0，即得過點A(0，1)與拋物線y2=4x有一個交點的直線有兩條，分別為y=x+1和x=0.

分析:造成以上兩種錯誤解法的主要原因是，錯解二雖糾正了錯解一中沒有考慮到點斜式的存在性是正確的，但它仍然沒有搞清聯立方程判別式等于0并不是直線與拋物線有一個交點的充分必要條件， 而是充分不必要條件.即:聯立y2=4x，y-1=kx，消去y得，k2x2+(2k-4)x+1=0，當?駐=0時，直線與拋物線有一個交點，而反之不一定成立.

再現錯解背景得出結論

事實上，在很多資料中都有這樣的例題:求過點A(0，2)且與圓x2+y2=1有一個交點的直線方程.

解答如下:設過點A的直線斜率為k，即直線方程為y-2=kx.聯立x2+y2=1，y-2=kx，消去y得，(1+k2)x2+4kx+3=0.∵直線與圓有一個交點，∴ ?駐=0，得k=±■，即過點A(0，2)且與圓x2+y2=1有一個交點的直線有兩條，分別為y=■x+2和y=-■x+2.

首先，本題的解答是正確的，因為圓是封閉圖形，與圓有一個交點的直線一定是圓的切線.

結論: 直線與曲線相切是聯立這個兩方程消去y后，得到關于x的一元二次方程中?駐=0的充分必要條件.

由此求直線與橢圓有一個交點時，聯立這兩個方程消去y，得關于x的一元二次方程后，用?駐=0求解也是正確的.

但直線與拋物線、雙曲線有一個交點，聯立這兩個方程消去y，得關于x的一元二次方程后，用?駐=0求解一定是錯誤的.

給出對策化難為易

題目若用數形結合法來求解，則使解題過程化隱為顯，化難為易.

分析:如右圖所示，畫出拋物線y2=4x的圖象，過點(0，2)作與拋物線y2=4x有一個交點的直線，容易得到x=0，y=2這兩條直線. 與拋物線y2=4x相切的直線仍然要聯立兩個方程，由判別式為0，求得y=x+1.容易得過點(0，2)且與拋物線y2=4x有一個交點的直線有三條，分別為:x=0，y=2，y=x+1.

例題:已知雙曲線x2-y2=4，直線y=k(x-1)，求當實數取何值時，直線與雙曲線有一個交點.

分析: 由x2-y2=4，y=k(x-1)，消去y得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.

(1)當1-k2=0，即k=±1時，直線與雙曲線的漸近線平行，此時直線與雙曲線只有一個交點，即當k=±1時，直線與雙曲線只有一個交點;

(2)當1-k2≠0，即k≠±1 且?駐=0時，16-12k2=0，得k=±■.當k=±■時，直線與雙曲線相切.即當k=±■時，直線與雙曲線只有一個交點.

綜上(1)，(2)，得當k=±1或k=±■時，直線與雙曲線只有一個交點.

總之，在求解直線與曲線有一個交點時，聯立這兩個方程消去y得關于x的一元二次方程后，?駐=0只適用于求解直線與曲線相切的情況.