在數\\形之中孕育“化歸”思想

摘要：化歸，是指將有待解決或未解決的問題，通過轉化過程，歸結為一類已經解決或較易解決的問題中去，以求得解決。數學中充滿了矛盾，如已知和未知、復雜和簡單、熟悉和陌生、困難和容易等，實現這些矛盾的轉化，化未知為已知，化復雜為簡單，化陌生為熟悉，化困難為容易，都是化歸的思想實質。在教學時也經常用到它，如化生為熟、化難為易、化繁為簡、化曲為直等。

關鍵詞：化歸；數學思想；數形

一、什么是“化歸”思想

“化歸”思想。是世界數學家們都十分重視的一種數學思想方法。從字面意思上講，“化歸”理解為“轉化”和“歸結”兩種含義，即不是直接尋找問題的答案，而是尋找一些熟悉的結果，設法將面臨的問題轉化為某一規范的問題，以便運用已知的理論、方法和技術使問題得到解決。而滲透化歸思想的核心，是以可變的觀點對所要解決的問題進行變形，就是在解決數學問題時，不是對問題進行直接進攻，而是采取迂回的戰術，通過變形把要解決的問題，化歸為某個已經解決的問題，從而求得原問題的解決。化歸思想不同于一般所講的“轉化”或“變換”。它的基本形式有：化未知為已知，化難為易，化繁為簡，化曲為直。

二、化歸與數學思維

就問題解決與數學思維這一主題的研究而言，容易首先想到的是：與一般科學家(例如，物理學家)相比，數學家們在求解問題時，其思維方法是否真有一定的特殊性?對此一個可能的回答是：數學家們往往不是對問題進行直接攻擊，而是對此進行變形，使之轉化，直到最終把它歸成了某個(或某些)已經解決或較容易解決的問題。有人提出了這樣一個問題：“假設在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺及火柴，你想燒些開水，應當怎樣去做?”對此。某人回答說“往壺中放上水，點燃煤氣，再把壺放到煤氣上。”提問者肯定了這一回答。但是他又追問道：“如果其他的條件都沒有變化，只是水壺中已經有了足夠多的水，你又應當怎樣去做?”這時被提問者往往會很有信心地回答道：“點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。”但是，提問者指出，這一回答并-不能使他感到滿意，因為，更好的回答是這樣的：“只有物理學家才會這樣做，數學家則會倒去水壺中的水，并聲稱我已經把后一問題化歸成先前的問題了。”

利用化歸法解決問題的過程可歸結如下：問題→(化歸)→解答(或問題→解答→解答)。與原來的問題相比，化歸后所得到的問題或者已經得到了解決，或是變得較為容易、簡單。這也就是說，化歸的方向應是由未知到已知、由難到易、由繁到簡。

三、在數、形之中孕育“化歸”思想

1.數與數之間的化歸

如果說數(自然數、分數、小數等)的運算正是小學數學學習的主要內容，那么相應的計算方法或計算法則往往就可被看成化歸方法的具體應用，也即是將所面臨的新的計算問題轉化成了先前已經掌握的計算。例如，20以內自然數的加減法往往被認為具有特別的重要性，因為。這事實上就是豎式計算的本質所在，即將多位數的加減轉化成了20以內的自然數的加減——當然。對于位值制的很好掌握，也能夠熟練地進行“進位”“借位”，正是順利實現上述轉化的一個必要條件。再例如，對于自然數的乘法我們顯然也可作出同樣的分析。這就清楚地表明了牢固掌握“九九表”的重要性。最后，又正如除法的豎式計算所清楚地表明的，我們在此事實上是將自然數的除法這樣一個新的運算，轉化成了先前已經掌握的自然數的乘法(與加減法)。

2.形與形之間的化歸

除去數的計算以外，在幾何圖形方面我們可看到化歸法的大量實例。如：在教學平行四邊形的面積時初次孕育化歸方法，引導學生用“剪、移、拼”的方法，將平行四邊形轉化為長方形，再利用長方形的面積公式推導出平行四邊形的面積公式。學生在推導平行四邊形面積公式的過程中，初步獲得“把要解決的問題盡可能轉化成已學過的知識來解決”的化歸思想，初步體驗化歸的方法。在教學“三角形的面積”時進一步孕育化歸方法，要求學生設法將三角形轉化為平行四邊形、長方形等已學過的圖形，再利用平行四邊形和長方形的面積公式推導出三角形的面積公式。學生在推導三角形的面積公式的過程中，進一步感受化歸思想和方法。繼而在教學梯形面積時。可以啟發學生使用化歸方法，將梯形轉化成已經學過的圖形推導出面積公式。隨著體驗次數的增加。學生對某一思想方法的認識也會逐漸加深并最終內化。

3.數與形之間的化歸

利用數轉化為圖形來可以幫助學生解決問題。例如教學《解決問題的策略》一課。①試一試：1／2+1／4+1／8+1／16。②學生按順序通分求和：1／2+1／4+1／8+1／16=8／16+4／16+2／16+1／16=15／16。③觀察右邊正方形圖(圖略)。圖中哪一部分表示這幾個數的和?空白部分是大正方形的幾分之幾?能不能根據空白部分求出涂色部分?可以把這一算式轉化成什么算式來計算?④匯報：要求陰影部分的和可以從空白部分著想。空白部分占大正方形的1／16，用單位“1”減去空白部分的1門6就是陰影部分的和：1／2+1／4+1／8+1／16=1-1／16=15／16。⑧總結：用化歸的思想解決問題曲徑通幽，可以從反面入手，換個角度思考，你就會有全新的收獲。

又如：等積變形例題：一個圓柱形水桶，底面半徑為2分米，桶內水深3分米。把一塊不規則形的石頭放進桶內水中后，水面上升到4.5分米。這塊石頭的體積是多少立方分米?這道題中的石頭是不規則形狀。不能直接求出它的體積，必須通過等積變形，把石頭的體積化歸為桶內水上升的體積，求得與水上升等高的圓柱體積，也就求得了石頭的體積為18.84立方分米。等積變形這種方法適用于對所求問題無法直接求得，必須通過對所求問題進行變形。使不可求問題變為可求，從而實現由未知向已知的化歸，達到問題的解決。

當然，化歸的過程、化歸思想的應用，一般離不開其他思想方法的有機配合。例如，圓面積公式的推導——“化圓為方”思路的產生。實在少不了分析、綜合、函數極限等思想方法的支持。數學的各種思想方法之間總是相互依存、相互滲透的。沒有哪一種思想方法是萬能的，能夠孤立存在，“獨斷專行”。

由于數學思想只表現為一種意識，沒有一種外在的固定形式。因此，我們必須堅持長期滲透，才能使學生在潛移默化中達到理解和掌握。而在小學數學中蘊藏著各種可運用化歸的萬法進行解答的內容，教師應重視通過這些內容的教學，讓學生初步學會化歸的思想方法。