基于GARCH族模型對H股指數期貨的VaR與CVaR值的實證研究

摘要:本文以港交所H股指數期貨的收盤價格數據作為實證載體，基于GARCH族模型中殘差的正態(tài)分布、T分布和廣義誤差分布(GED)三種不同情形，分別采用GARCH、EGARCH及PARCH模型，計算H股指數期貨收益波動序列的VaR和CVaR值，結果表明基于廣義誤差分布的PARCH模型(GED-PARCH)無論在計算VaR值還是CVaR值方面都是最優(yōu)的。

關鍵詞:VaR值;CVaR值;GARCH族模型

Abstract:The stock index futures of H share is selected as the object for empirical research. By the model of GARCH group with three kinds of distributions， the important result is that the model of PARCH under generalized error distribution is the best method to estimate VaR and CVaR of stock index futures of H.

Key Words:value at risk，conditional value at risk，the model of GARCH group

中圖分類號:F830.91文獻標識碼:A文章編號:1674-2265(2010)06-0069-04

一、VaR值度量方法的特點及其改進

股指期貨作為一種重要金融衍生工具，其首要功能在于規(guī)避風險，有利于金融市場的發(fā)展;然而，股指期貨又是把雙刃劍，如運用不當可能成為重要的風險之源。2010年4月16日，我國滬深300股指期貨正式掛牌交易。因此對股指期貨風險度量方法的研究也就顯得尤為重要。

度量金融資產風險的方法有許多種，但目前最常用的是依據VaR值的測量方法。相對于傳統(tǒng)的均值方差分析方法和靈敏度分析方法，基于VaR值的測量方法的優(yōu)點主要在于:首先，VaR值是在一定置信水平下經過某段持有期的資產價值損失的單邊臨界值，在實際應用時它體現為臨界點的金額數目，簡潔明了;其次，VaR值適用于綜合衡量包括利率風險、匯率風險、股票風險以及商品價格風險和衍生金融工具風險在內的各種市場風險，從而統(tǒng)一了風險計量標準，管理者和投資者較容易理解掌握;最后，VaR值也可為確定必要的風險管理資本提供監(jiān)管依據。

然而，1999年學者Arzner et al. 提出了相容風險度量，同時，Delbaen亦指出了VaR是不相容的;而Palmquist與Basak等人已成功構造出投資組合的模型并通過實證分析，證明了CVaR相對VaR可得到更為合理的結果，VaR則存在誤導投資者錯誤選擇高風險的可能，對比VaR，CVaR更能夠捕捉極端市場條件下市場因子劇烈波動所產生的風險。因此Acerbi(2001)和Stefan(2001)提出用CVaR代替VaR作為金融風險的管理工具，CVaR的相容性使其成為更加完善的風險管理工具。

二、VaR值和CVaR計算的基本原理

全球風險管理協(xié)會(GARP)對風險值VaR的定義主要是一定時期金融資產的最大損失，它使得實際損失超出這個值的概率小于一個我們預先設定的值。首先是在既定損益的概率分布下用一個數字來概括整個分布，并把該分位數表示為損益水平(記為x)在某個置信水平下不會超過這個數值。如置信水平c=95%，這與右尾概率相對應，同樣也可用左尾概率 p=1-c來表示風險值。VaR度量的是損失值，其取值為正，若分布是離散的話，則VaR就是使得右尾概率至少是c的最小損失值。

VaR值測量雖然簡單方便，但簡捷的代價卻是其背后存在著隱患，畢竟VaR本質上僅是個分位數，而同樣的VaR值背后卻可能隱藏著不同的分布圖形。故人們采用條件VaR測量方法(Conditional var，CVar)，即當損失超出VaR值時的期望值是多少，測量在高出VaR值這個條件下，損失的平均值，其公式可表示為:

CVaR對損益分布的尾部損失度量是相對充分和完整的，尤其風險因子在非對稱分布情況下，CVaR比VaR能夠更全面有效地刻畫損失分布的特征。如給定置信水平c=95%，CVaR就是那5%的最大損失的平均值，故CVaR不會小于VaR。在投資組合優(yōu)化時，降低CVaR的同時，也降低了VaR，反之則不然。

三、VaR和CVaR的檢驗

通過統(tǒng)計模型計算出VaR(CVaR)值之后，即需對結果進行相應的檢驗，即所謂的后驗測試，具體是比較一定置信水平下期望概率P與實際損失超過VaR值的比例(失敗率)，借此評估VaR模型的優(yōu)劣。假設風險測量期間總計是M天，測量失敗是N天，失敗天數與總計天數的比值為 (即 )，失敗比例服從伯努利分布，即 。設原假設

;備選假設。此處采用Kupiec提出的似然比率檢驗法對原假設進行檢驗，統(tǒng)計量為:

式(3)在原假設下， 統(tǒng)計量LR服從自由度為1的

分布，經查表知。

至于CVaR的檢驗，主要是測量超過VaR值的損失值與CVaR值之差的大小，可采用絕對額指標或相對數指標，本文采用的是絕對額指標，故定義DLC檢驗指標:

表示損失的平均數與CVaR平均數之差的絕對值，其中是大于VaR值的實際損失(在實際的計算過程中，需要對虧損額取絕對值)， 即上面的失敗天數，且DLC值的大小與CVaR模型優(yōu)劣成反比，該值愈小，模型愈佳。

四、VaR和CVaR值的計算方法

在計算VaR值時，通常有兩種方法，在已知分布時采用參數估計方法來確定VaR值;未知時則用非參數方法。參數方法主要包括單一資產不同分布法，投資組合多元正態(tài)法(即協(xié)方差矩陣法)和極值理論方法;非參數方法，主要包括歷史模擬法和蒙特卡羅模擬法等。而大量實證研究表明，金融資產的收益存在著尖峰厚尾特征、波動集聚性、非對稱性，在對計算VaR值的各種方法優(yōu)缺點進行比較的基礎上，同時考慮對H股股指期貨收益波動的研究僅僅是對單資產的風險測量問題，故選擇參數方法中的單資產不同分布方法計算VaR值。又因在對資產收益波動性的計算中，加權移動平均法中對權重的賦予過于簡單，而指數加權移動平均法又往往受衰退因子的影響，二者都難以很好地反映資產收益率的尖峰厚尾和集聚性特征，故本文采用GARCH族模型研究收益率的波動情況。

(一)GARCH族模型

1. GARCH(p，q)模型。若一個隨機變量有恒定的方差，則稱之為同方差，反之則為異方差。而金融資產、利率、匯率等波動序列，往往沒有恒定的均值和方差。資產持有者感興趣的是持有期間內的收益波動，故對風險的前瞻性說明，能夠估計和預測持有某一特定資產風險顯得非常必要。而條件異方差可以估計為一個自回歸過程，即ARCH模型(Engle，1982年)。其他學者在其基礎上又提出了廣義自回歸條件異方差模型(GARCH模型)，即引入了一種允許條件方差轉化為一個ARMA過程的方法。在 模型中具體包括:

均值方程:

條件方差方程:

公式(5)、(6)、(7)中，為收益率，為殘差，為條件標準差，為常數項， 與 為各期參數， 是GARCH項的最大滯后階數， 是ARCH項的最大滯后階數。在中，為保證其寬平穩(wěn)性， 。

2. EGARCH模型。資產價格的一個重要特征是利空信息對波動性的沖擊遠大于利好信息的影響，而就許多股票而言，當前收益和未來波動之間存在很強的負相關，這一趨勢通常被稱為“杠桿效應”(Leverage Effect)。為了反映信息影響的不對稱現象，Nelson(1991)提出不需要非負限制的指數GARCH模型(即Exponential GARCH)，EGARCH模型的表達式為:

3. PARCH模型。Taylor(1986)和Schwert(1989)介紹了一種標準離差的GARCH模型，即將殘差的絕對值引入模型而非殘差。后來這一系列模型被Ding et al.(1993)總結為PARCH模型，公式為:

式中;為非對稱效應參數，當

時， 遠小于1;當 時， ，遠小于 。

(二)基于GARCH族模型中殘差不同分布下VaR和CVaR值的計算

1. GARCH族模型下收益殘差的三種分布假設。GARCH模型中的殘差分布常假定正態(tài)分布，但正態(tài)分布不足以反映股市收益率序列的厚尾特征。例如某一特定股票的收益率較正態(tài)分布給出的概率有更大的可能性遭受重大損失(或重大獲利)，即產生了所謂的“非正態(tài)誤差”。故嘗試T分布和廣義誤差分布(GED)來反映厚尾分布。正態(tài)分布密度函數較常見，為自由度參數，趨于 時，分布收斂于正態(tài)分布。

衡量GED分布的尾部厚度指標為 。當

時，GED分布表現為厚尾，當時GED為正態(tài)分布，當 則表現為瘦尾。GED分布的優(yōu)點在于，在密度函數中加入尾部厚度指標，利于對厚尾特征不同的金融數據進行細化研究;當其與含有非對稱效應參數 的PARCH模型組合時，將更好刻畫金融資產波動的特征。

2. 在收益殘差不同分布下VaR和CVaR值的計算。在參數方法中，計算VaR值公式為:

式中為資產的前一期價值; 為當期條件方差的標準差，本文根據GARCH族模型計算而得;

表示對應于某一置信水平的分位數，并且都是取單尾，在不同的分布下， 有不同的取值; 為資產持有當期。

CVaR是條件期望值，可在正態(tài)分布、T分布、GED分布三種情景下，分別計算CVaR值。

五、VaR與CVaR模型對H股指數期貨風險度量的實證研究

(一)數據的描述及正態(tài)性檢驗

本文選取2004年1月26日至2009年1月23日H股指數期貨交易數據，源自文華財經交易軟件，交易代碼7220，樣本總量1230個，采用Eviews5.0和 Mathemaitca5分析軟件。H股指數期貨日收益率定義為:，其中為H股指數期貨當日交易的收盤價格。

如做出H股指數期貨日收益率的線性圖，可以看出股指期貨收益率的波動較平穩(wěn)。但收益率異常值出現的頻率比較高，并會集中在一個特定的時期，這顯示出一種波動的聚類現象。進一步對H股指數期貨日收益率正態(tài)檢驗，其偏度值為-0.100900(負偏)，峰度為7.557013(表現出尖峰厚尾特征)，且其JB統(tǒng)計量為1065.496( )，該序列不呈正態(tài)分布。

(二)平穩(wěn)性檢驗

H股指數期貨收益率序列的ADF值為-36.17160，小于1%顯著性水平下的Mackinnon臨界值-3.435462，故拒絕單位根假設，即H股指數期貨收益率序列是平穩(wěn)的。同時通過對收益率的自相關檢驗，發(fā)現收益率與其滯后7階的自相關性比較明顯(顯著水平)，并在嘗試其他滯后階數的基礎上，認為收益率 的均值方程采用

(為殘差)比較合適。

(三)對殘差的自相關及ARCH-LM 檢驗

進一步對均值方程擬和后的殘差和殘差的平方進行自相關檢驗，結果表明H股指數期貨收益率殘差

不存在顯著的自相關，而殘差平方卻存在顯著的自相關。而且 的波動呈現出的特點為在較大幅度波動后面伴隨著較大幅度的波動，在較小幅度波動之后緊接著較小幅度的波動，即具有明顯的時間可變性和集簇性，適宜用GARCH族模型建模。故繼續(xù)對殘差項進行ARCH-LM 檢驗，結果表明無論是F統(tǒng)計量還是LM統(tǒng)計量在 5%的顯著水平處，都拒絕無異方差的原假設，即殘差中ARCH效應是很顯著的，因此需要使用GARCH族模型建模。

(四)GARCH族模型中參數的估計及VaR與CVaR值的計算

1. 正態(tài)分布下計算VaR和CVaR的值。表1是基于殘差的正態(tài)分布，GARCH、EGARCH及PARCH模型中不同參數的估計值，且在95%的置信水平下顯著;對各模型估計后的殘差做異方差效應檢驗，檢驗結果顯示各模型均不存在顯著的異方差現象，即表明模型能較好地反映股市對數收益率序列的異方差現象。

表2是在正態(tài)假定及95%置信水平下，基于公式計算的各個歷史交易日的VaR值和CVaR值。表中失敗天數是實際損失超過所估計的VaR值所返回的結果，失敗率是失敗天數與樣本期(1222天)的比例。需注意的是在對VaR值進行返回檢驗時，所謂的實際損失指的是損益的絕對值序列

， 為H股股指期貨日收盤價，這是計算返回檢驗效果的關鍵。從三個模型計算出的VaR值的變異系數及返回失敗率來看:

EGARCH模型的失敗率最小，主要是因為EGARCH模型對VaR估計偏高，存在風險的高估;PARCH模型估計效果居中，GARCH估計的失敗率最大，但三者相差并不明顯，失敗率都接近5%，小于3.841，按照Kupeic提出的LR統(tǒng)計量檢驗，95%顯著水平下不能拒絕零假設，故各模型計算的VaR值結果比較準確，但綜合變異系數評價指標來看，正態(tài)分布下PARCH模型效果最優(yōu)，EGARCH模型最差，GARCH模型效果居中。

在CVaR的計算結果方面，CVaR的均值與標準差等均大于VaR，失敗率都小于相應模型下VaR的計算結果，其原因在于CVaR即定義為損失大于某給定的VaR值條件下的期望損失，而據CVaR的計算公式，95%置信水平下的條件分位數2.062216，大于

。同時DLC統(tǒng)計量結果表明，在VaR估計失效的交易時日里，實際損失的均值與CVaR均值比較接近，說明當VaR估計失敗時，CVaR對損失的估計是比較準確的。

經比較知:

說明在正態(tài)分布下，基于EGARCH模型的CVaR模型能夠較準確地度量左尾風險，DLC統(tǒng)計量數值較小，但與VaR估計方法相似，該模型計算的CVaR值變異系數比較大，易高估風險，導致管控成本的上升。

2. T分布下計算VaR和CVaR值。根據Eviews5.0軟件中給出的T分布下的自由度參數 值(即T-DIST. DOF)，即可求出T分布下分位數和條件分位數的值。

同理，求出T分布模型下的VaR估計結果，但因三種模型估計的LR統(tǒng)計量的值都大于3.841，在95%顯著水平下拒絕零假設，各模型計算的VaR值效果較差，但從劣中擇優(yōu)角度來看，T分布下PARCH模型效果最優(yōu)，EGARCH模型最差，GARCH模型效果居中。具體比較結果為:

不同模型下，CVaR值的測量的結果比較:

3. GED分布下計算VaR和CVaR的值。表5是GED分布下各模型的估計結果，Eviews5.0給出的GED分布下的尾部厚度指標的值正落在(0，2)的區(qū)間內，符合收益序列的厚尾特征，即可求出廣義誤差分布下相應的分位數和參數 值。

三種模型估計的LR統(tǒng)計量的值在95%顯著水平下均通過返回檢驗，但綜合比較GED分布下PARCH模型效果最穩(wěn)健，且失敗率較低，EGARCH模型計算出的VaR值波動過大，使其效果最差，GARCH模型效果則居中。

CVaR值測量結果表明，

即基于GED分布的PARCH模型計算出來的CVaR值的DLC返回檢驗值非常小，為1.180378，而且也明顯小于正態(tài)分布與T分布下計算出的結果，這表明在GED分布下，PARCH模型計算的CVaR期望值與實際損失的期望值非常接近，可見GED分布下的PARCH模型估計效果最佳。

六、結論

本文通過采用GARCH族模型分別在三種不同的概率分布下計算H股指數期貨收益率各日的VaR值，并進一步利用GARCH族模型分別在正態(tài)分布、T分布、GED分布計算CVaR值，發(fā)現基于廣義誤差分布的PARCH模型無論在計算VaR還是CVaR值方面都是最優(yōu)的重要結論。這點在測量未來我國滬深300股指期貨收益波動風險方面有著非常重要的借鑒意義。

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(特約編輯 齊稚平)