一策為主、多策并舉地學習解決問題的策略

朱春雷

數學教學應立足于培養學生的數學素養,教學是為了學生的發展而教。解決問題的策略的教學主要作用就是培養學生的數學素養,有效促進學生的發展。

小學生的數學素養主要有三方面的要求:

1.有一定的數學知識。

2.有數學眼光。能從數學角度觀察現象,了解信息,分析條件和問題,能數學地看問題。

3.能數學地思維。用數學方法去推想,考慮解決問題,發展數學思維。

小學生正是形象思維好,而抽象思維已經起步的階段。

從小學生必須具備的素養可以看出解決問題的重要性。解決問題是社會生活中的一項十分重要的活動,學生必須學會解決問題的常用方法、積累解決問題的相關經驗;學生必須具有解決新穎的、比較難的問題的信心與能力。掌握一定的解決問題的策略能提高解決問題的效率,獲得良好的解決問題效果。

解決問題是學校數學學習的核心問題。早在20世紀80年代中期,世界數學家大會上就提出解決問題,并確立解決問題的四個基點:問題意識、策略意識、合作意識和反思意識,策略從而進入教學范疇。學生不僅要會解常見的練習過的解答過的問題,也要解非常規的陌生的特殊的問題,每一個人必然會碰到非常規的問題,因此必須教給學生解決這些問題的思想、方法和策略。而形成解決問題的策略是發展學生思維的重要渠道,尤其對培養學生的實踐能力和創新精神具有積極意義。在解決問題策略的實際教學中,“一策為主、多策并舉”是學生學習和掌握解決問題的策略的較好的做法。下面結合“倒過來推想”的策略的教學從三個方面作具體闡述。

一、突出重點,著力建構解決問題的主要策略

蘇教版五(下)的“倒過來推想”(下面簡稱“倒推”)的策略是在學生已經學習了用“畫圖”和“列表”等解決問題的策略的基礎上教學的。“倒推”是一種應用于特定問題情境下的解題策略。已知某種數量或事物按照明確的方法和步驟發展、變化后的結果,又要追溯它的起始狀態,便適合用“倒推”的策略加以解決。使學生學會運用“倒推”的策略尋找解決問題的思路,并能根據問題的具體情況確定合理的解題步驟,從而有效地解決問題,是學習“倒推”的策略的主要目標。教學中我們就要幫助學生學會運用“倒推”的策略尋求解決問題的思路,并能確定合理的解決問題的步驟,這也是要突出的重點。一句話,我們就要幫助學生著力建構解決問題的策略——“倒推”。為了突出重點,建構“倒推”策略,教材分三個層次學習。

第一層次,確認方法,初步感受策略。讓學生學習例1,初步理解并掌握“倒推”的策略。

“例1,(省去情境圖)甲乙兩杯果汁共400毫升,甲杯倒入乙杯40毫升后,現在兩杯果汁同樣多。原來兩杯果汁各有多少毫升?”

例1提供了在兩個杯子之間倒果汁這樣一個操作性強、過程清晰、學生熟悉的問題情境。首先運用圖文結合的方式呈現兩個杯子果汁的變化情況,接著提出要解決的問題:“原來兩杯果汁各有多少毫升?”教學中要抓住解決這個問題的關鍵,一是根據給出的條件計算出現在甲、乙兩杯各有果汁多少毫升;二是從現在兩個杯子里果汁的毫升數,倒過來推算出原來兩杯果汁各有多少毫升。教學的核心處,是讓學生面對自己生活中感興趣、有體驗的倒果汁的實際問題,能自己想出“倒回去看看”,這時學生已經向“倒推”策略遷移了。當學生利用“倒推”策略解決問題后,還要求學生對解決問題的過程進行反思和交流,進一步明確解決這個問題時所運用的策略。

第二層次,掌握方法,感悟策略。讓學生學習例2,進一步體會適合用“倒推”策略解決的這類實際問題的特點,進一步掌握“倒推”的基本方法。

“例2,小明原來有一些郵票,今年又收集了24張。送給小軍30張后,還剩52張。小明原來有多少張郵票?”

例2中小明郵票的張數從“原來”到“現在”發生了兩次變化,需要學生理清變化順序和變化過程。例2在呈現問題后,教材直接提出“你準備用什么策略來解決這個問題”,目的是啟發學生利用例1學習中獲得的經驗進行思考。教材呈現了學生可能想到的解決這個問題的兩種不同方法,目的是鼓勵學生富有個性地思考,發展思維能力。在學生列式解答后,還要求學生根據求出的答案,按題意進行順推。讓學生檢驗答案是否正確,也讓學生進一步體會用“倒推”的策略解決問題的特點。

第三層次,經常反復體驗方法,理解方法的本質,從而達到意會策略。學習“練一練”和練習十六的第1、2題(其他練習題在課外和第二課時學習)。讓學生在應用鞏固中,掌握“倒推”策略,并能靈活利用“倒推”策略解決各種各樣的實際問題。

“練一練,小軍收集了一些畫片,他拿出畫片的一半還多1張送給小明,自己還剩25張。小軍原來有畫片多少張?”

“練一練”中的實際問題和例2既相似,又稍復雜一些,運用策略解決問題時,學生要認真準確地理解題中的數量關系,師要幫助學生理解“小軍拿出畫片的一半還多一張送給小明”的含義,知道這個條件可理解為“先把畫片一半送給小明,然后再送1張”;也可以理解為“如果只是把畫片一半送給小明,那么剩下的畫片就多了1張,也就是26張”。在理解數量關系的基礎上進行有條理的思考,按照事情發生發展的結果,有序倒推到原始狀態,做到有序整理,有序推算回去。這可以看出,在運用解決問題的策略時,分析實際問題中的數量關系也還尤為重要。

練習十六的第1題啟發學生用列表方法,再“倒推”解決。第2題重點是根據題意摘錄條件進行整理。

“練習十六第1題,冬冬和芳芳原來共有60張畫片,冬冬給了芳芳5張畫片后,兩人的畫片同樣多。原來兩人各有多少張畫片?”

“練習十六第2題,小娟和小磊做紙鶴,裁紙要用5分鐘,折紙鶴要用25分鐘,把紙鶴用線穿成一串要用10分鐘。如果要在上午10時全部完成,那么他們最遲從什么時間開始動手做?”

經過三個層次的教學,不僅使學生在解決實際問題的過程中學會用“倒推”的策略尋求解決問題的思路,并能根據具體的問題確定合理的解題步驟,有效地解決問題,而且使學生在對自己解決問題過程的不斷反思中,感受“倒推”的策略對于解決特定問題的價值,進一步發展分析、綜合和簡單推理的能力,進一步積累了解決問題的經驗,增強解決問題的策略意識,獲得了解決問題的成功體驗,提高了學好數學的信心。

二、多策并舉,讓學生掌握多種解決問題的策略

數學的學習是建立在學生原有知識經驗的基礎上,學生在學習新的策略之前,已經學習過并掌握了一些解決問題的策略。那么學生在接觸新的問題時,頭腦中就已經有了解決問題的思想、策略和方法,他們是有準備地面對新的問題的。原有的策略是我們學習新的解決問題的策略的基礎。在學習新策略時,我們要充分調動學生已有的策略經驗,幫助新策略學習;而學習新策略的同時,也會進一步掌握原有的策略。學習一種解決問題的新策略的過程中,我們也可以同時學習其他的策略,提高學習數學的效率。鑒于上面的認識,在教學“倒推”策略的過程中,我們又加入了“畫圖”“列表”和“整理信息”等解決問題的策略的學習。

“畫圖”的策略是學生已經掌握的,為了讓學生充分理解“倒回去看看”,我們啟發學生畫直觀圖表示出把乙杯中的40毫升果汁倒回甲杯的結果,學生經過正確的畫圖表示,很清楚地看出“現在”倒回“原來”后兩杯果汁的變化情況,從而由現在兩杯果汁的毫升數,想出原來兩杯果汁各有多少毫升。運用“畫圖”的策略更好地幫助學生如何“倒過來推想”,而“畫圖”也可以幫助學生直接解決這個實際問題。在后面做“練一練”時,為了幫助學生理解“小軍拿出畫片的一半還多1張送給小明”的含義,我們還可以讓學生運用“畫圖”的策略,畫出線段圖來表示,便于學生更好地理解數量關系。

在教學的過程中,為了幫助學生理解“倒推”策略,還要求學生運用“列表”的策略。例1學習中,學生經過畫圖想出原來的毫升數后,再讓學生根據畫圖操作的過程和結果把教材中的表格填寫完整,并要求學生邊填邊想表中的每個數據是怎么推算出來的。在做練習十六第1題時就可以直接提示學生用列表的方法幫助推理。

“整理信息”的策略是我們解決問題時經常用到的,也可以說,只要解決問題就離不開整理信息。例2中小明的郵票數從“原來”到“現在”發生了兩次變化,為了便于學生理解,有必要從整理信息開始。教學中重點要抓住整理題目的條件這個環節,先按題意摘錄條件進行整理,再倒過來推算。啟發學生利用箭頭表示數量變化的過程:“原有?張→又收集了24張→送給小軍30張→還剩52張。”再用箭頭表示“倒過來推算”的思考步驟:“原有?張←去掉又收集的24張←跟小軍要回30張←還剩52張”。既利于學生理解,也便于學生操作。

在“倒推”策略學習的過程中,運用了“畫圖”“列表”和“整理信息”等解決問題的策略,不僅利于學生掌握“倒推”策略,也讓學生體會不同策略在解決問題過程中的不同價值,達到學習多種解決問題的策略的目的,即“多策并舉”地解決問題,解決問題中學習“多策”。

三、殊途同歸,豐富學生解決問題的思想方法

同一問題可以用不同策略來解決,這就是殊途同歸。在解決問題過程中,我們提倡學生能嘗試用多種思路、方法去分析和解決問題,這不僅是學生多元解決問題的需要,更是培養學生數學思考能力的需要。在“倒推”策略例2學習的過程中,學生在掌握基本策略的基礎上,我們可以從以下方面,啟發學生多方位思考,尋找其他解決問題的策略。

第一,運用“綜合法”對所給的條件從整體上進行分析。引導學生比較收集的張數和送出張數的相差數,學生根據思考習慣,也會想到由于收集的張數少,送出的張數多,因而剩下的張數要比原來的少。根據這個思路,學生會列出下面算式,并作出解答:“30-24=6(張),52+6=58(張),答:小明原來有58張郵票。”

第二,用“分析法”和“綜合法”綜合運用解決問題。“分析法”和“綜合法”是學生解決數學問題的基本思路,運用“分析法”和“綜合法”解決問題也是學生解決問題的思考習慣。我們在教學解決問題的策略時,既要關注非常規策略,也要兼顧常規策略,因為常規策略才是學生解決問題的常用策略和主要策略。在教學“練一練”中,學生從問題“小軍原來有多少張畫片”思考,認為只要用“送出的”加上“還剩的”即可求出“原來有多少張”。而通過綜合分析,學生把“還多1張”當做“還剩的”,即還剩“26張”,那么原來張數的一半也是26張,用“26+26=52(張)”就解決了問題。除了運用“分析法”和“綜合法”也還有其他的思路和方法能解決這個問題。當然教師要讓學生在通過這些思路解決問題的基礎上,把這些策略和方法與“倒推”策略進行充分的比較,讓學生發現,這些實際問題用“倒推”策略解決比較好,從而進一步認識,能用“倒推”策略解決的問題的特點,也能更好地掌握“倒推”策略。

第三,利用和算術法有對立統一關系的方程來解決問題。“倒推”即按照事情發生發展的結果,有序倒推到原始狀態。而學生對信息的理解順序正常的是從原始狀態開始,一直到事情的發生發展和結果。能用“倒推”策略解決的問題領域很廣,而利用順向思維來解決“倒推”策略能解決的有關數學計算問題莫過于方程了。當學生學習了兩、三步計算的稍復雜的方程后,學生就能運用方程知識來解決“倒推”策略能解決的有關數學計算問題。要解決例2的實際問題,學生通過分析問題中數量間的相等關系,并依據相等關系就可以列出下面方程:“x-24+30=52”,解答出:“x=58。”方程和算術法是對立統一的關系,方程思想和“倒過來推想”的策略對學生的數學理解也是互為啟示的。

如同我們提倡算法多樣化一樣,我們更倡導多方位思考,多策略解決問題,要在學習解決問題策略的同時,豐富學生解決問題的思想方法。

解決問題的策略的教學落實了《課程標準》關于數學思考的要求,從數學素養的培養角度看,也初步培養了學生思維的品質。從整體到部分解決實際問題經過兩次抽象,先抽象成數學問題,再抽象出數學方法,解決問題的深刻性表現在對問題的解決方法的本質認識。同一策略可以解決不同問題,同一問題可以用不同策略來解決。“一策為主,多策并舉”,能有效地幫助學生學習解決問題的策略,提高學生解決實際問題的能力,促進學生數學地思維。