從“數(shù)學(xué)化”的角度關(guān)注解決問題的教學(xué)

劉　瑋

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)在明確義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)時,從知識與技能、數(shù)學(xué)思考、解決問題、情感與態(tài)度四個方面作出了進一步的闡述。課改以來,一線的老師們往往對知識與技能、情感與態(tài)度這兩個方面的目標(biāo)關(guān)注甚多,而對解決問題和數(shù)學(xué)思考兩方面則關(guān)注較少。“形成解決問題的一些基本策略,體驗解決問題策略的多樣性,發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神”是《標(biāo)準(zhǔn)》確定的解決問題方面的課程目標(biāo)之一。蘇教版課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)實驗教材(以下簡稱蘇教版課標(biāo)實驗教材)從四年級(上冊)起,每一冊都編排一個“解決問題的策略”單元,就是為了更好地落實這一課程目標(biāo)。解決問題的策略是在長期的數(shù)學(xué)教學(xué)中,通過大量發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的活動逐漸培養(yǎng)的,其實這樣的過程就是“數(shù)學(xué)化”的過程。

一、關(guān)注問題與生活的關(guān)聯(lián)——注重問題情景的創(chuàng)設(shè)

為了讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中提高理解能力,增強數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識,必須讓數(shù)學(xué)問題向生活貼近。如在“求石頭的體積”的教學(xué)活動課上,老師設(shè)置“烏鴉喝水”的情境,這是與學(xué)生已有生活經(jīng)驗十分相聯(lián)的情境。

師出示一塊石頭,提問:同學(xué)們已學(xué)習(xí)了有關(guān)體積的知識,你們能算出這塊石頭的體積嗎?

同學(xué)們觀看了石頭,回答說:算不出來。

師:為什么呢?

生1:這塊石頭是一個不規(guī)則的物體。

生2:你無法知道求出它體積的所需條件。

師:現(xiàn)在我們看一看“烏鴉喝水”的動畫片,看從中能不能受到什么啟發(fā)。

師生觀看動畫片。

師:烏鴉是怎么喝到瓶子里的水的?

生1:瓶子里有了石頭,把水?dāng)D上來了。

生2:石頭在瓶子里也占有空間,所以水位升上來了。

師:你們能從中想出求石頭體積的方法嗎?

生1:水上升的體積也就是石頭的體積,只要算出水上升的體積就能知道石頭的體積。

生2:瓶子形狀上下不一樣,怎么去算呢?

停了停,有同學(xué)想出:把石頭放入一個有水的長方體或圓柱體的容器里,問題就可以得到解決。

大家都贊同這一做法,老師拿出盛著水的長方體和圓柱體容器,讓學(xué)生把石頭放進去進行試驗,進行驗證。

接著要求學(xué)生說一說,為什么石頭放在有水的長方體或圓柱體容器中就能求出它們的體積?

生1:石頭在水中占據(jù)了空間,上升的水就是石頭所占的空間,兩者體積相等。

生2:石頭是不規(guī)則的物體,但放到有水的規(guī)則容器里,石頭體積可以轉(zhuǎn)化為規(guī)則物體的體積。

生3:在有水的規(guī)則容器中,上升的水和石頭的體積相符,也是“等積變形”在“體積”中的運用。

師:懂得了這些,求石頭體積還能想到不同的方法嗎?

生1:也可將石頭放入水中,量出水的高度,然后取出石頭算出水下降了多少求出石頭體積。

師:還能想到其他方法嗎?

接著學(xué)生想到的還有:

1.將石頭放入長方體或圓柱體的容器里,用沙子填滿求出總體積,再取出石頭求出沙子的體積,然后求出石頭的體積。

2.用橡皮泥先將石頭圍裹成長方體求出體積,再取出石頭,將橡皮泥搓成長方體算出體積后,從中求出石頭的體積。

二、關(guān)注解決問題的一般過程——注重學(xué)生問題意識的培養(yǎng)

愛因斯坦說:“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”;“只有善于發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的人,才能產(chǎn)生創(chuàng)新的沖動”。 無論是課堂的教學(xué)活動中,學(xué)校的學(xué)習(xí)環(huán)境中,還是家庭的日常生活中,都存在著值得研究的數(shù)學(xué)問題。教師要注意引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和提出各種數(shù)學(xué)問題。

尤其在課堂教學(xué)中,要注意改變由教師為主提出問題、解決問題的傳統(tǒng)教學(xué)模式,努力激發(fā)學(xué)生主動地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,進而運用已有的知識和經(jīng)驗尋找策略解決問題的積極性,培養(yǎng)學(xué)生自覺主動地用數(shù)學(xué)眼光看待生活中的問題。

問題解決教學(xué)從問題開始,其展開也應(yīng)緊緊圍繞問題,在讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的一般過程中,學(xué)會分析和解決問題。這與教材類型化教學(xué)不同的是:教師關(guān)注角度發(fā)生了質(zhì)的變化。即教學(xué)時將解決問題教學(xué)和運算教學(xué)結(jié)合起來,讓學(xué)生從問題情境與運算意義的角度出發(fā)進行思考,而不是從簡單的類型、結(jié)構(gòu)出發(fā)進行思考。如以學(xué)校實際呈現(xiàn)的簡單問題:實驗小學(xué)合唱隊有女生40人,男生20人,?(提出一個問題并解答)以你能解決嗎?為什么這樣做?讓學(xué)生根據(jù)運算的意義深入理解算法;再以解決這些問題時都是怎樣想的?來揭示解決問題的一般過程。同時期待學(xué)生在從加、減、乘、除意義的基礎(chǔ)上,可以提出不同的問題;并且明白“有兩個信息可以解決一個問題,解決一個問題一般需要兩個信息”。

三、關(guān)注問題解決過程的評價與反思——注重數(shù)學(xué)基本數(shù)量關(guān)系的理解和應(yīng)用

問題解決是一種帶有創(chuàng)造性的高級心理活動,其核心是思考與探索。認知心理學(xué)家認為,問題解決有兩種基本類型:一是需要產(chǎn)生新的程序的問題解決,屬于創(chuàng)造性問題解決;一是運用已知或現(xiàn)成程序的問題解決,是常規(guī)性問題解決。數(shù)學(xué)中的問題解決一般屬于創(chuàng)造性問題解決,不僅需要構(gòu)建適當(dāng)?shù)某绦蜻_到問題的目標(biāo),而且更側(cè)重于探索達到目標(biāo)的過程。

在學(xué)生能夠根據(jù)加、減、乘、除意義解決簡單問題的基礎(chǔ)上,有必要注重給學(xué)生滲透一些基本數(shù)量關(guān)系。比如:

學(xué)校女教師46人,比男教師多37人,男教師有多少人?

實驗小學(xué)合唱隊有女生40人,是男生人數(shù)韻2倍,男生多少人?

在此基礎(chǔ)上我們又能前進一步:

李老師給計算機室買了4臺同樣的電腦,每臺4500元,帶20000元夠嗎?

學(xué)校女教師46人,比男教師多37人,學(xué)校共有教師多少人?

實驗小學(xué)合唱隊有女生40人,是男生人數(shù)的2倍,女生比男生多多少人?

在學(xué)生獨立解決之后,教師讓學(xué)生進行問題間的對比,發(fā)現(xiàn)問題間的內(nèi)在聯(lián)系。這樣的呈現(xiàn)方式,讓學(xué)生在經(jīng)歷了解決問題——對比發(fā)現(xiàn)——形成解決問題策略的整個探究活動中加深了對問題數(shù)量關(guān)系的理解,加深了對運算順序的理解。

學(xué)生解決問題的需求不再是把問題和類型相聯(lián)系,而是將思考情境中的問題與數(shù)學(xué)意義相聯(lián)系,在這一過程中獲得對數(shù)學(xué)知識的進一步理解,經(jīng)歷解決問題的一般感受與體驗。在這個過程中,學(xué)生才能更好地發(fā)展他們的數(shù)學(xué)概念和思維能力,逐步完善他們解決問題的能力。

四、關(guān)注問題解決過程的策略與方法——注重解決問題的思想和方法的滲透

解題策略對于學(xué)生來說是非常重要的,而對結(jié)果的及時反思也是非常重要的。弗賴登塔爾強調(diào):“反思是數(shù)學(xué)的重要活動,它是數(shù)學(xué)活動的核心和動力。”反思是通過從一個新的角度,多層次、多角度地對問題的思維過程進行全面的考察、分析和思考。它是發(fā)現(xiàn)的源泉,是訓(xùn)練思維、優(yōu)化思維品質(zhì)、促進知識同化和遷移的極好途徑。通過對解決問題的追問與反思,可以加深對問題的理解并獲得解決問題的經(jīng)驗。

課堂教學(xué)中,我們從問題入手思考還是從信息著手?怎么想?怎么做?這樣的方式適合嗎?哪種方法更好?對這些問題的思索過程,其價值指向并不是問題的結(jié)果,而是解決問題的方法與策略,是學(xué)生將策略內(nèi)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過程。教師關(guān)注問題解決的過程,能滿足學(xué)生形成較好的方法意識和策略意識的需求。這種需求,對學(xué)生自身解決實際問題能力的形成和發(fā)展起著至關(guān)重要的作用。而語言又是學(xué)生思維的直接反映,并在一定程度上促進著思維的發(fā)展。因此,教師應(yīng)注重對學(xué)生解決問題的思想和方法的逐步滲透。

課堂上教師問題的設(shè)計常常是由淺入深,逐步展開的。學(xué)生對于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題的思考也有一個一步步深入的過程。在理答學(xué)生思路時,教師要抓住關(guān)鍵,把握時機啟發(fā)、引導(dǎo),要善于運用追問、反思、探詢的方法幫助學(xué)生更深入思考,給出更完整的答案,最終達到滿意的效果。

一位教師在“找規(guī)律”中,學(xué)生在經(jīng)過了自主探索用文字、數(shù)學(xué)、字母、圖形、符號等自己喜歡的方法表示有規(guī)律排列的過程后,教師接著問:“除了剛才同學(xué)們用到的這些方法外,你還有什么方法可以很快得出第15個是什么呢?”學(xué)生聯(lián)系已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ),十分順利地得出可以用余數(shù)除法來解決這類問題:“要求第多少個是什么,先看它幾個一組,再用總個數(shù)除以每組的個數(shù);余數(shù)是幾,就是一組的第幾個,沒有余數(shù)就是一組的最后一個。”教師進一步延伸問題:“在計算這些方法中,你喜歡用什么方法?”學(xué)生眾口一詞:“計算好,因為簡單。”如同強調(diào)算法多樣化與最優(yōu)化的統(tǒng)一一樣,在解決“找規(guī)律”問題時,除了提倡策略的多樣化之外,同樣要注意策略的最優(yōu)化。因此教師反問:那么其他方法一點好處都沒有嗎?學(xué)生慢慢體會有人就說了:“文字、圖形那些方法比較清楚方便,一眼就能看清楚;但是麻煩,數(shù)字大了怎么畫呀!”各種意見進行碰撞,最后形成一致看法:“如果數(shù)字小,我們就可以選擇圖形、文字、數(shù)、字母等方法,比較直觀;如果數(shù)字大了,肯定就用計算的方法比較好。”教師這種追問或反思的價值和意義極高,它不是平面的追問,而是縱向的深層次追問,一種由表及里的追問。通過追問,教師啟發(fā)學(xué)生將不同方法進行類比,提煉出解決問題策略的最優(yōu)方法。