善待“錯誤”　妙用資源

湯衛紅

蘇教版課標本教材“分數除法”單元整理與練習中有這樣一道習題：“蘋果每千克5元，西瓜每千克3元，香蕉每千克2元，香梨每千克2.5元，葡萄每千克6元。小明、小華和小軍分別用4元各買一種水果。小明所買的水果重4/5千克，是小華所買水果的2/5，是小軍所買水果的3/5，他們各買了什么水果?”

教材的意圖是先分別求出小華、小軍所買水果的千克數，再求各人所買水果的單價。這樣一來，求小華、小軍買的是什么水果就是兩步計算的分數除法問題了，對于此前基本上是與典型的一步計算分數除法問題打交道的學生來說的確不太適應，他們總期望一步解決問題。于是，不少學生出現了這樣的做法：4÷4/5=5(元)……蘋果；5×2/5=2(元)……香蕉；5×3/5=3(元)……西瓜。盡管我心里明白：限于學生目前的知識水平，還不能作出令人信服的解釋，甚至本來就是“瞎貓碰了只死老鼠”，但我并沒有簡單否定這種做法，而是想讓同學們撞擊出思維的火花。很快，同學們分成兩派爭論起來。

贊成派：我們這樣也算出了正確的結果，有什么不可以?!

反對派：有什么道理!我看是巧合。

贊成派：才不是呢!比如，小英買香梨，4元錢能買8/5千克，小明所買的水果重量是小英的1/2，用5×1/2同樣能算出小英所買水果的單價。

反對派：答案是一樣，可這道理又怎么解釋?題中的2/5、3/5都說的是重量之間的關系，怎么可以直接用來求單價呢?

贊成派：小華和小軍所買水果的單價應該分別是小明的2/5、3/5。

反對派：為什么?

贊成派：道理我也說不清楚，但感覺這種做法一定是對的!

我覺得該我“出手”了：同學們，我們似乎都感覺到這種方法的簡潔與合理，卻不知道如何作出解釋。但可貴的是同學們有了這種刨根問底的精神，正如愛因斯坦所說“我沒有什么特別的才能，不過喜歡刨根問底罷了”，有了這種精神，還怕學不好數學嗎?咱們相約六年級下學期，那時，讓我們再來研究今天的解法。

在學習了“正比例和反比例”后，我再次呈現上述解法請同學們思考其中的道理。同學們恍然大悟，紛紛作出解釋。

謝天：小明和小華用同樣多的錢所買水果重量的比是2:5，那單價之比就是它的反比5:2，也就是小華所買水果的單價是小明所買水果的2/5。所以，可以用5×2/5來算。

孫辰：總價一定時，單價和數量成反比例，小明所買水果的重量是小華所買水果的2/5，所以小華所買水果的單價是小明所買水果的2/5。

張瑤：我們還可以用比例解，設小華買的水果每千克x元，列出比例式x:5=2:5，x=5×2/5。這也說明了5×2/5是有道理的。

反思：

在“分數除法”單元二次集體備課時，不少老師都談到在教學時否定了學生的這種做法，理由是學生并沒有理解題意、弄清數量關系，而是“誤打誤撞”出一個客觀上正確但主觀上卻無法解釋的方法。但我覺得既然誤入“真理”大門，為何不“將錯就錯”讓學生嘗試著自圓其說呢?作為教師是不是應該“高瞻遠矚”——為學生的自主探究打開一扇門，“前呼后應”——著眼學生認知結構的發展呢?

1.學生真的一點不理解嗎?

調查表明：的確有一些學生并沒有理清數量關系，“數據驅動”使其簡單機械地“張冠李戴”。但不能否認，有相當一部分同學憑著已有數學經驗直覺到方法可能正確，而且還能通過列舉其他的情形對方法的合理性進行驗證，而計算結果的一致性促進了包括意識到“錯誤”的學生在內的學習共同體的深入思考。事實上，隨著乘法認知結構的發展，學生已經積累了相當豐富的關于“單價”與“數量”關系的具體經驗，對其變化方向也有了一定的認識：總價一定時，單價越高數量就越少。學生正處于由“乘除法概念”向“比例概念”過渡階段，單價與數量的變化關系由定性描述逐步向定量刻畫過渡。所以，學生不用除法而用乘法求小華、小軍所買水果的單價則顯示出學生對單價與數量關系的良好直覺，因為他們隱約意識到：小華所買水果的單價是小明所買水果的2/5，只不過缺少“反比例”這一概念作為思維的工具表達自己的思想。

2.給學生創造怎樣的機會?

盡管寫出非“常規”方法的同學中不乏“不知者”，但“不知者無罪”。重要的是教師不能從主觀上漠視“不知者”，而應當用長遠的眼光由客觀上的正確承認其方法的合理性，讓“錯誤”成為寶貴的教學資源，生成一段精彩的對話。我真的很慶幸自己沒有輕易否定學生的想法，否則就扼殺了學生對問題的直覺思維，喪失了一次很好的對問題深入思考和交流的機會。實踐表明：雖然雙方的爭論似乎沒有達成什么一致意見，但卻促進了雙方對解法的進一步思考。贊成派由最初的“歪打正著”開始冷靜思考解法的普適性，反對派從開始的簡單否定注意到解法的合理性并將問題聚焦于如何由重量的關系推演出單價之關系這一方法內核。這何嘗不是學生對教師所給機會的“饋贈”呢?坦率地講，我以前也曾經浪費不少這樣的機會。看來，我們的課堂并不缺少深層次對話的內容與契機，而是我們漠視甚至親手葬送了許多看似偏執、離奇甚至荒謬的珍貴思想方法。因此，保持一顆善待學生思想的心，秉持一種開放與接納的態度，練就冷靜思考、巧點妙撥的教學機智，我們的學生將會幸福地獲得一次又一次展現自我的機會，難忘那充滿生命活力的數學課堂。

3.深化認知結構何以可能?

保護學生的直覺思維和探究精神固然可貴，如何讓學生由此邁向對認知結構的深層次建構是實現數學認識質的飛躍的關鍵。因此，教師必須具有統帥全局的戰略眼光和把握知識結構的戰術本領。從橫向來看，加強知識間的內在聯系可促進學生建構整合性較好的認知結構，其中可逆性(互補性和相互性)是思維訓練的關鍵。從縱向來看，教師根據兒童各階段的思維特點及認知結構的發展規律展開教學能促進學生認知結構的不斷深化。上述案例中，教師正是前瞻性地看到了學生方法中的“反比例”認知雛形，才珍視并珍藏這一方法并用其彌久的芳香吸引著學生在數學學習的道路上持續探究，直至正式學習比例知識。教師按照約定再現之前的方法就像打開窖藏的陳釀，怎能不散發出誘人的濃香?期待已久的學生用探究的熱情引爆智慧的火花，通過關系運算(比例)形成新的數學表征，作出合理的解釋。分數—分率—比例在學生形式化的思維中順利過渡，串成了“珍珠”，抽象成了可以自由轉換的概念系統，認知結構產生了質的飛躍，原有的認知結構被整合在具有包容性和開放性的新認識結構中。

(責編鐘園嫻)