根軌跡繪制過程中的簡便方法探討

摘要本文針對自動控制原理的根軌跡繪制過程中出現的特殊情況，從理論上詳細證明了這種情況下根軌跡的簡便畫法，并給出了應用的實例。

關鍵詞自動控制 根軌跡 圓弧

中圖分類號:O1文獻標識碼:A

1 引言

在經典控制論中對自動控制系統進行性能分析時，常常采用根軌跡法，這是一種利用系統的開還傳遞函數研究閉環系統性能的圖解法，系統的根軌跡圖明確建立了系統的參數變化與性能之間的關系，因而無論對于系統靈敏度或抗干擾能力的研究，或是對自適應系統特性的研究，它都是一種恰當的方法。再者，由于系統零點、極點與系統時域性能指標之間的聯系，根軌跡法除了獲得系統時間響應的信息外，也是獲得系統頻率響應信息的有力工具。但是作根軌跡圖時傳統方法所依據的十條法則比較繁瑣，給系統性能分析帶來不便，為此當我們遇到一些特殊情況時，就可以采用特殊的方法繪圖，使作圖過程簡化。

2 問題分析

在利用根軌跡分析問題時常常會遇到這種情況(如圖1)所示，系統僅具有兩個開環極點和一個開環零點，這時的根軌跡有可能是直線，也有可能是圓弧，可以證明，若根軌跡一旦離開實軸，必然沿著圓弧移動。

證明如下:

設系統的開環傳遞函數為，零極點分布如圖所示。取非實軸上一點S，若S點在根軌跡上，則應滿足相角條件:

圖1

若幅角用反正切表示，則:

方程左邊用反三角函數得恒等關系得:

方程兩邊取正切后得:

經過化簡后整理得:

方程兩邊同時加Z2項，則有:

即這是個圓的方程。圓心(-Z，0)正好在開環零點上，半徑為兩個極點-P1，-P2到零點距離相乘的平方根

結論:當系統具有(如圖1所示)兩個開環極點和一個開環零點時，系統在復平面內的根軌跡部分為以零點(-Z，0)為圓心，以兩個極點-P1，-P2至零點的距離乘積的平方根R為半徑的圓。同樣可以證明，當極點為共軛復根(如圖2b所示)時，非實軸的根軌跡為圓弧。這樣我們以后遇到這種情況時，就可直接根據圓心及半徑繪出根軌跡，使作圖過程得到簡化。

3 應用實例

已知系統的開環傳遞函數為，

試畫出系統隨K*變化的根軌跡。

解:系統有兩個極點和一個零點，分別是P1=0，P2=-2，Z=-4零極點分布如圖所示。實軸根軌跡區間為(-2，0)以及(-∞，-4)，非實軸上的根軌跡根據前面得出的結論為以(-4，j0)為圓心，半徑R==2.83的圓(如圖3所示)。這樣我們就可以很快繪出根軌跡。

當我們用MATLAB繪圖時得到了同樣的結論。

4 結束語

文中證明了當采用根軌跡分析問題時，系統僅具有兩個開環極點和一個開環零點這種特殊情況存在時，繪制根軌跡的簡易方法，使在用根軌跡這種圖解法分析問題時的作圖得到了簡化。

參考文獻

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