ＧＡＲＣＨ族模型在中國股市中的應用

【摘要】 以1997年1月1日至2009年5月6日的上證綜合指數的日度收盤數據為樣本，運用帶學生-t分布的GARCH族模型對其進行實證分析，檢驗了在這一段時間內我國股票市場的波動情況以及波動的杠桿效應，分析結果表明了上證指數對數收益率服從非正態分布，具有尖峰厚尾和明顯的ARCH效應，并且股票的收益率具有明顯的風險溢價和杠桿效應。

【關鍵詞】 上證綜合指數；GARCH族模型；學生-t分布；波動性；風險溢價；杠桿效應

一、引言

在資本資產定價模型中，有一個很重要的假設，就是假定證券收益率服從方差不變的正態分布。然而，早在1965年，Fama(1965)就發現證券收益呈現出一種尖峰厚尾（相對于正態分布而言）以及波動聚集和持續性的特征，即如果當期市場波動是大的，則下一期的波動也將會是大的，而且它會隨著當期收益率偏離均值的程度而加強或減弱；反之，當期的波動小，則下一期的波動也會小，除非當期收益率嚴重偏離均值；Mandelbrot(1966)也證實了這一點。因此，資本資產定價模型在現實生活中很難得以運用，必須發展出來其他的理論來解決關于資本市場證券收益率所存在的尖峰厚尾以及波動類聚的現象。股票市場是證券市場中一個重要的組成部分，近年來廣大學者對于股票市場波動率的估計和預測，一直是證券市場研究的熱點問題。

在波動性建模研究中，Engle(1982)開創性地提出了自回歸條件異方差（ARCH）模型，并將該方法成功地應用于英國通貨膨脹指數的波動性研究。在此之后的20多年里，ARCH模型發生了很多的變化以及很大的改進，并且成為了現代計量經濟學飛速發展的一個重要領域。Bollerslev(1986)在ARCH模型基礎上又創立了廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型，該模型很好地彌補了在有限樣本下模型階數過大所帶來的計算效率以及精度上的不足，具有良好的處理厚尾能力；考慮到風險和收益的匹配關系，Engle、Lilien和Robins(1987)將條件方差引入均值方程中，提出了自回歸條件異方差均值（ARCH-M）模型，同樣也可以有廣義自回歸條件異方差均值（GARCH-M）模型，即這個模型是一個可以研究資產收益率和風險性關系的重要模型；Nelson(1991)提出指數GARCH（EGARCH）模型；Tsay(1987)提出的條件異方差自回歸滑動平均（CHARMA）模型等等。

另外，在國內，也有很多學者對GARCH類模型也做了研究與介紹。吳長鳳（1999）利用二元非對稱ARCH(1)模型初步探討了我國深滬股市中非對稱信息的互相傳播作用；李亞靜、朱宏泉、彭育威（2003）運用GARCH、EGARCH、TGARCH模型實證分析了上證30指數、上證綜合指數和深圳成分指數的波動性，并對香港恒生指數進行了模型預測；劉曉、李益民（2005）將GARCH族各類模型進行了對比分析，并將其應用于深圳成分指數波動性的研究，通過分析得到深圳股市波動性的一些形式特征等等。這些研究對于中國股市的發展以及后來人對于中國股票市場收益率波動性的研究起到了很大的促進作用。

本文將在前人研究的基礎上，通過自己對于GARCH族模型的一些了解與認識，對于中國股票市場上證綜合指數收益率波動性進行實證分析，并得出一些結論。

二、GARCH族模型概述

本文主要采用的主要方法是運用GARCH族模型，因此，接下來先簡要介紹一下GARCH族模型的具體形式及其相關的理論，這對與后面的研究與討論將會有很大的幫助。

1．ARCH模型

Engle在1982年提出了ARCH模型，成為了給波動率建模提供一個系統框架的第一個模型，ARCH模型的基本思想是：(a)均值修正的資產收益率?琢t是前后不相關的，但不是獨立的；(b) ?琢t的不獨立性可以用一個它的延遲值的簡單二次函數來表述。具體地說，一個ARCH(p)模型表示如下：

yt=?滋t+?琢t

?琢t=?滓t+?著t

?滓t2=?琢0+?撞i=1?籽?琢i?琢2t-i

其中，{?著t}是獨立同分布(iid)的隨機變量序列，均值和方差分別為0和1，實際中通常假定?著t服從標準正態分布或者標準化的學生-t分布；?琢0＞0，?琢i≥0，Ai＞0；同時上式中的系數還必須要滿足一些正則性的條件來保證?琢t的無條件方差是有限的。

2．GARCH模型

我們看到，ARCH模型是個很簡單的模型，然而，在實際應用中，ARCH模型雖然能夠得出較為準確的擬合效果，卻往往需要很多的參數。為此，Bollerslev在1986年時提出了另外一個非常有用的推廣形式，被稱為推廣的ARCH（GARCH）模型。具體地說，GARCH模型與ARCH模型的區別就是在條件均值方程中加入了條件均值的自身滯后值的影響，因而簡化了高階的ARCH模型，一個具體的GARCH模型就是在具有與ARCH模型相同的均值方程之外的條件方差方程有所不同，舉個例子，模型GARCH(p，q)的具體形式可以表示如下：

3．GARCH-M模型

在金融市場中，證券的收益率往往會依賴于它的波動率。一般來說，證券的波動率越大的話，投資者對其期望的收益率也就會越大。因此，為了解決收益與波動之間的關系，對這種現象進行建模，1987年Engle、Lilien和Robins將條件方差引入到均值方程中，提出了著名的GARCH-M模型。該模型下的均值方程做了如下的修正：

在該模型下，若建模后得到的均值方程中?鬃的顯著地不等于0的話，那么就能夠說明該證券的收益率與其風險有著顯著的關系。

4．TGARCH模型

雖然GARCH模型很好地解決了利用ARCH模型需要較多參數的缺陷，但是它本身也存在一定的不足之處。GARCH模型不能夠解釋證券收益和收益變化波動之間出現的負相關的影響，因為在GARCH模型中，正的波動與負的波動對模型的影響是相同的，而現實生活中往往是負的波動的影響要大于同樣的正的波動。對于GARCH模型所不能解釋的收益的非對稱性，我們如果用TGARCH模型就可以很好地進行描述。該模型是由Glosten， Jagannathan和Runkle提出來的，亦被稱為GJR-GARCH模型，它的具體表現形式如下：

?滓2t=?琢0+?撞i=1q?琢i?琢2t-i+?姿?琢2t-1dt-1+?撞i=1?籽?茁i?滓2t-i

其中，dt-1={1 ?著t＜0；0 ?著t≥0

在該模型中，如果有?姿＞0顯著成立，則說明壞消息對于股價的影響要大于好消息的影響；相反，如果有?姿＜0顯著的成立的話，就說明好消息對于股價的影響大于壞消息。

5．EGARCH模型

上面的TGARCH模型解決了信息不對稱的問題，但是它卻沒有解決非負性的問題，因為如果在TARGH模型中，若?琢i是負的而且顯著地不為0，那么當?著2t-i足夠大的時候，條件異方差的最終結果有可能會變負的。因此，為了解決這個問題，在1991年Nelson提出了另外一個新的模型，被稱為EGARCH模型，其具體形式如下：

In(?滓2t)=?琢0+?撞i=1q[?琢i ?琢t-i/?滓t-i +?酌i(?琢i/?滓t-i)]+?撞i=1?籽?茁iIn(?滓2t-i)

通過EGARCH模型，我們可以解決所謂的波動信息的非對稱效應；同時，由于在模型的兩邊均取了對數，因此不論系數的符號以及殘差的大小，我們完全可以保證條件方差的非負性。

三、數據描述與實證分析

1．數據的選取及其基本特征

本文所運用的是上海股票市場上證綜合指數1997年1月1日至2009年5月6日的日收盤數據，共2981個觀測值。選取日收盤指數比較有代表性，它更能反映市場行情，體現經濟變化，無論是對投資者還是融資者來說，收盤指數都是很重要的；之所以采用1997年來的日數據，是因為1996年12月16日股票市場實施了漲跌停板制，而上證指數也具有廣泛的代表性。本文中用pt代表上海第t天的收盤價格，且日收益率定義為rt=lnpt-lnpt-1，對所截取的數據運用Eviews6.0軟件進行統計分析。

上證指數的走勢見圖1，可見對數收益率在0上下頻繁波動，并且我們從圖中可以看到波動率類聚的特征，即一次大的波動后往往伴隨著大的波動，一次小的波動后往往伴隨著小的波動，說明該對數收益率序列存在時變方差的特性。

從表1中可以看出，上證指數平均收益水平較低，僅為0.0348%，而其波動較大，標準差為1.7470%，意味著收益具有較強的不穩定性，投資風險較高。對于其他統計量的值，偏度=-0.174615，峰度=7.306455，J-B統計量值=2317.883，可見，上證指數的對數收益率序列不但不服從正態分布，而且還具有過度峰度、厚尾和左偏的特征，鑒于收益率序列具有的尖峰厚尾特性，在接下來建模的時候以收益率序列的條件方差近似服從學生-t分布來進行模型的設定。

2．模型的檢驗

在對收益率序列進行分析之前，首先應該對該序列做平穩性檢驗，如果是非平穩性序列，則需要對其進行平穩化的處理。我們對rt進行單位根檢驗，結果如下表2所示：

從表2中可以看出，ADF=-54.82493，小于不同檢驗水平下的臨界值，所以我們可以認定收益率序列?酌t是平穩性序列。

在確定該序列是平穩時間序列之后，接下來對序列進行相關性檢驗，結果如表3：

通過表3中自相關和偏自相關滯后1階到6階的分析，根據表中Q統計量的值并結合Q統計量的伴隨概率可以看出，該序列從4階開始零假設（序列不存在自相關）被以5%的顯著性拒絕，表明上證指數的對數收益率存在自相關。

最后對該時間序列進行條件異方差（即ARCH）檢驗，首先對收益率序列運用回歸方程?酌t=?滋+?琢t進行回歸，然后將回歸的殘差運用ARCH-LM檢驗(取滯后5階)，結果如表4：

由表4可知，樣本量*R平方的伴隨概率0.0018<0.05，因此，此殘差序列存在ARCH(5)效應。當取滯后8階時，也存在明顯的異方差性，從而說明了該時間序列存在高階ARCH效應，必須使用高階ARCH模型才能擬合該時間序列，也同時說明了運用GARCH模型的必要性。

3．模型的建立與參數的估計

我們知道，在一般的情況下，運用GARCH(1，1)、GARCH(1，2)和GARCH(2，1)對實證分析的研究是合適的，下面我們就通過AIC和SC準則來在這三個模型中進行選擇。表5給出了上證指數對數收益率在以上3種GARCH模型中的擬合效果（選擇殘差服從標準化的學生-t分布），顯然，無論是從AIC和SC準則還是從變量系數的顯著性考慮，GARCH(1，1)模型是最適合的模型。

表6中列出了上證指數對數收益率序列運用如下4種GARCH族模型GARCH(1，1)、GARCH(1，1)-M、TGARCH(1，1)和EGARCH(1，1)的參數估計結果。仔細分析一下表6，可以得出：所有模型對應下的AIC與SC值相差不是很大，EGARCH(1，1)模型的AIC與SC值最小，因而從這個方面來說EGARCH(1，1)模型相對來說較好；從各模型中的系數的顯著性水平來說，各個模型中除了均值方程中的常數項不顯著以外，其余的各個系數均在1%的水平下顯著；GARCH(1，1)-M中?鬃＞0的且顯著，說明了存在明顯的風險溢價，股票的收益與風險存在明顯的正相關；TGARCH(1，1)中的?姿＞0且顯著，說明了一定程度的杠桿效應，即壞消息對于股價的影響大于好消息；EGARCH(1，1)中的?酌＜0且顯著，同樣也說明了杠桿效應的存在；另外，在以上的4種GARCH族模型中，所有的條件波動與滯后殘差平方的系數之和都很接近于1，這說明了上海證券市場的波動的影響時間較長，一旦出現較大的波動，在短期內很難消除，具有一定的持久性。

四、結論與分析

本文通過利用帶學生-t分布的GARCH族模型對上海證券市場的上證指數進行分析研究，得到以下的一些結論：

（1）我國股票市場的收益率和發達國家一樣是服從非正態分布的，具有一定的尖峰厚尾的特征，具有很強的波動集聚性和持續性，同時我國股市股價的波動確實存在較為顯著的ARCH效應，因而帶標準化的學生-t分布的GARCH族模型適合于擬合我國股市的日收益率序列。

（2）股票的收益率與風險存在明顯的正相關，存在明顯的風險溢價，也就是說，股市的風險越大，人們對于投資所要求的報酬也就越大，這從本文中的GARCH-M模型中可以得到驗證。因此，當股市處于波動較大的時候，政府更加要注重保護投資者的利益。

（3）上海股票市場上確實存在信息不對稱的現象，即壞消息對股市波動的影響與好消息的影響不同，壞消息的影響明顯要大于好消息的影響，這與大量的國際經驗是相同的。同時也說明了我國股票市場還不太成熟，主要是過多地依賴行政措施的干預而不是市場化的調節手段。

（4）最后，上海股票市場的波動性持續的時間較長，說明了當證券收益率受到宏觀政策、國際局勢等因素影響出現異常波動后，需要很長時間才能夠消除影響。管理當局在出臺政策時應更加穩健，對市場的調控也更應從長遠的角度考慮，把握好政策的調整力度。

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